人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义.pdf

1必修二直线与方程专题讲义必修二直线与方程专题讲义1 1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角1关于倾斜角的概念要抓住三点：.与 x 轴相交;.x 轴正向;.直线向上方向.2直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.3倾斜角的范围000180.4；090,tan0k90180,tan0k（2 2）直线的斜率）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.经过两点的直线的斜率公式是.),(),(222111yxPyxP211221()yykxxxx每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.2 2、直线方程的几种形式、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11xxkyy为直线上一定点，),(11yx为斜率k不包括垂直于 x 轴的直线斜截式bkxy为斜率，是直线在 y 轴kb上的截距不包括垂直于 x 轴的直线两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中是直线上两),(),(2211yxyx定点不包括垂直于 x 轴和y 轴的直线2截距式1byax是直线在 x 轴上的非零截a距，是直线在 y 轴上的非b零截距不包括垂直于 x 轴和y 轴或过原点的直线一般式0CByAx）不同时为其中0,(BA，为系数ABC无限制，可表示任何位置的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）),(),(222111yxPyxP（1）若，直线垂直于 x 轴，方程为；2121yyxx且1xx（2）若，直线垂直于 y 轴，方程为；2121yyxx且1yy（3）若，直线方程可用两点式表示）2121yyxx且3 3、两条直线平行与垂直的判定、两条直线平行与垂直的判定（1 1）两条直线平行两条直线平行斜截式：斜截式：对于两条不重合的直线，则有111222:,:lyk xb lyk xb121212/,llkk bb注：当直线12,l l的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行.一般式：一般式：已知,，则1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC1212211221/,llABA B ACA C注：1212211221=,llABA B ACA C与重合与相交1l2l01221BABA（2 2）两条直线垂直）两条直线垂直斜截式：斜截式：如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121llk k A注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，12ll与互相垂直.3一般式：一般式：已知,，则1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC0212121BBAAll4 4、线段的中点坐标公式、线段的中点坐标公式若两点，且线段的中点的坐标为，则),(),(222111yxPyxP21,PPM),(yx222121yyyxxx5 5、直线系方程直线系方程（1 1）过定点的直线系）过定点的直线系斜率为且过定点的直线系方程为k),(00yx)(00 xxkyy过两条直线,的交点的直线系方程为0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl（为参数），其中直线 l2不在直线系中0)(222111CyBxACyBxA（2 2）平行垂直直线系）平行垂直直线系平行于已知直线的直线系0AxByC10AxByC垂直于已知直线的直线系0AxByC10BxAyC6 6、两条直线的交点、两条直线的交点设两条直线的方程是,两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl坐标就是方程组的解，00222111CyBxACyBxA若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.7 7、几种距离、几种距离（1 1）两点间的距离）两点间的距离平面上的两点间的距离公式),(),(222111yxPyxP21221221)()(yyxxPP特别地，原点与任一点的距离)0,0(O),(yxP22yxOP（2 2）点到直线的距离）点到直线的距离4点到直线的距离),(00yxP0:CByAxl2200BACByAxd（3 3）两条平行线间的距离）两条平行线间的距离 两条平行线,间的距离0:11CByAxl0:22CByAxl2212BACCd注：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8 8、有关对称问题、有关对称问题（1 1）中心对称）中心对称若点及关于对称，则由中点坐标公式得),(11yxM),(22yxN),(baP1122ybyxax直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程.21/ll（2 2）轴对称）轴对称点关于直线的对称若两点与关于直线对称，则线段的中点),(111yxP),(222yxP0:CByAxl21PP在对称轴 上，而且连接的直线垂直于对称轴 上，由方程组l21PPl？1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx可得到点关于 对称的点的坐标（其中）1Pl2P),(22yx21,0 xxA直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.注：曲线、直线关于一直线对称的解法：换，换.例：曲线bxyyxxy5关于直线对称曲线方程是0),(yxf2 xy0)2,2(xyf 曲线关于点的对称曲线方程是0),(:yxfC),(ba0)2,2(ybxaf9 9、直线、直线 上一动点上一动点 P P 到两个定点到两个定点 A、B 的距离的距离“最值问题最值问题”：l（1 1）在直线）在直线 上求一点上求一点 P P，使，使取得最小值，取得最小值，lPBPA 1若点位于直线 的同侧时，作点（或点）关于 的对称点或,BA、lABl/A/B.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA2若点位于直线的异侧时，连接交于 点，则为所求点.BA、ABlPP可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2 2）在直线）在直线 上求一点上求一点使使取得最大值，取得最大值，lPPBPA 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”1若点位于直线 的同侧时，连接交于 点，则为所求点.BA、lABlPP2若点位于直线的异侧时，作点（或点）关于 的对称点或,BA、ABl/A/B.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA(3)(3)的最值：函数思想的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴转换成一元二次函数，找对称轴”.”.22PBPA 1010、直线过定点问题、直线过定点问题（1 1）含有一个未知参数，）含有一个未知参数，（1 1）12)1(axay1)2(xxay令令，将，将，从而该直线过定点202xx3)1(2yx式，得代入)3,2(（2 2）含有两个未知参数）含有两个未知参数 0)2()3(nynmxnm0)12()3(yxnyxm令 ，从而该直线必过定点.1203yxyx7371yx)73,71(