人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义.pdf

1必修二直线与方程专题讲义必修二直线与方程专题讲义1 1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角1关于倾斜角的概念要抓住三点：.与 x 轴相交;.x 轴正向;.直线向上方向.2直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.3倾斜角的范围000180.4；090,tan0k90180,tan0k（2 2）直线的斜率）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.经过两点的直线的斜率公式是.),(),(222111yxPyxP211221()yykxxxx每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.2 2、直线方程的几种形式直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11xxkyy为直线上一定点，),(11yx为斜率k不包括垂直于 x 轴的直线斜截式bkxy为斜率，是直线在 y 轴kb上的截距不包括垂直于 x 轴的直线两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中是直线上两),(),(2211yxyx定点不包括垂直于 x 轴和y 轴的直线2截距式1byax是直线在 x 轴上的非零截a距，是直线在 y 轴上的非b零截距不包括垂直于 x 轴和y 轴或过原点的直线一般式0CByAx）不同时为其中0,(BA，为系数ABC无限制，可表示任何位置的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）),(),(222111yxPyxP（1）若，直线垂直于 x 轴，方程为；2121yyxx且1xx（2）若，直线垂直于 y 轴，方程为；2121yyxx且1yy（3）若，直线方程可用两点式表示）2121yyxx且3 3、两条直线平行与垂直的判定、两条直线平行与垂直的判定（1 1）两条直线平行两条直线平行斜截式：斜截式：对于两条不重合的直线，则有111222:,:lyk xb lyk xb121212/,llkk bb注：当直线12,l l的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行.一般式：一般式：已知,，则1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC1212211221/,llABA B ACA C注：1212211221=,llABA B ACA C与重合与相交1l2l01221BABA（2 2）两条直线垂直）两条直线垂直斜截式：斜截式：如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121llk k A注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，12ll与互相垂直.3一般式：一般式：已知,，则1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC0212121BBAAll4 4、线段的中点坐标公式、线段的中点坐标公式若两点，且线段的中点的坐标为，则),(),(222111yxPyxP21,PPM),(yx222121yyyxxx5 5、直线系方程直线系方程（1 1）过定点的直线系）过定点的直线系斜率为且过定点的直线系方程为k),(00yx)(00 xxkyy过两条直线,的交点的直线系方程为0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl（为参数），其中直线 l2不在直线系中0)(222111CyBxACyBxA（2 2）平行垂直直线系）平行垂直直线系平行于已知直线的直线系0AxByC10AxByC垂直于已知直线的直线系0AxByC10BxAyC6 6、两条直线的交点、两条直线的交点设两条直线的方程是,两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl坐标就是方程组的解，00222111CyBxACyBxA若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.7 7、几种距离、几种距离（1 1）两点间的距离）两点间的距离平面上的两点间的距离公式),(),(222111yxPyxP21221221)()(yyxxPP特别地，原点与任一点的距离)0,0(O),(yxP22yxOP（2 2）点到直线的距离）点到直线的距离4点到直线的距离),(00yxP0:CByAxl2200BACByAxd（3 3）两条平行线间的距离）两条平行线间的距离 两条平行线,间的距离0:11CByAxl0:22CByAxl2212BACCd注：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8 8、有关对称问题、有关对称问题（1 1）中心对称）中心对称若点及关于对称，则由中点坐标公式得),(11yxM),(22yxN),(baP1122ybyxax直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程.21/ll（2 2）轴对称）轴对称点关于直线的对称若两点与关于直线对称，则线段的中点),(111yxP),(222yxP0:CByAxl21PP在对称轴 上，而且连接的直线垂直于对称轴 上，由方程组l21PPl？1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx可得到点关于 对称的点的坐标（其中）1Pl2P),(22yx21,0 xxA直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.注：曲线、直线关于一直线对称的解法：换，换.例：曲线bxyyxxy5关于直线对称曲线方程是0),(yxf2 xy0)2,2(xyf 曲线关于点的对称曲线方程是0),(:yxfC),(ba0)2,2(ybxaf9 9、直线、直线 上一动点上一动点 P P 到两个定点到两个定点 A、B 的距离的距离“最值问题最值问题”：l（1 1）在直线）在直线 上求一点上求一点 P P，使，使取得最小值，取得最小值，lPBPA 1若点位于直线 的同侧时，作点（或点）关于 的对称点或,BA、lABl/A/B.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA2若点位于直线的异侧时，连接交于 点，则为所求点.BA、ABlPP可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2 2）在直线）在直线 上求一点上求一点使使取得最大值，取得最大值，lPPBPA 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”1若点位于直线 的同侧时，连接交于 点，则为所求点.BA、lABlPP2若点位于直线的异侧时，作点（或点）关于 的对称点或,BA、ABl/A/B.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA(3)(3)的最值：函数思想的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴转换成一元二次函数，找对称轴”.”.22PBPA 1010、直线过定点问题、直线过定点问题（1 1）含有一个未知参数，）含有一个未知参数，（1 1）12)1(axay1)2(xxay令令，将，将，从而该直线过定点202xx3)1(2yx式，得代入)3,2(（2 2）含有两个未知参数）含有两个未知参数 0)2()3(nynmxnm0)12()3(yxnyxm令 ，从而该直线必过定点.1203yxyx7371yx)73,71(