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(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识集锦（精选试题附答案）高中数学选修一知识集锦 单选题 1、如图 1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E：2222=1(0,0)的左、右焦点分别为1，2，从2发出的光线经过图 2 中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos=35，则E的离心率为（）A52B173C102D5 答案：B 分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|2|表示|1|,|1|,|，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线,都过点1，如图，有 1，cos1=35，设|2|=，则|1|=2+，显然有tan1=43，|=34|1|=34(2+)，|2|=32 14，因此，|1|=2+|2|=72 14，在Rt 1，|2+|1|2=|1|2，即916(2+)2+(2+)2=(72 14)2，解得=23，即|1|=83,|2|=23，令双曲线半焦距为c，在Rt 12中，|2|2+|1|2=|12|2，即(23)2+(83)2=(2)2，解得=173，所以E的离心率为173.故选：B 小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：定义法，通过已知条件列出方程组，求得,得值，根据离心率的定义求解离心率；齐次式法，由已知条件得出关于,的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2、平面的一个法向量是 =(12,1,13)，平面的一个法向量是 =(3,6,2)，则平面与平面的关系是（）A平行 B重合 C平行或重合 D垂直 答案：C 分析：由题设知 =6 ，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.平面的一个法向量是 =(12,1,13)，平面的一个法向量是 =(3,6,2)，=6 ，平面与平面的关系是平行或重合 故选：C 3、已知正方体 1111的棱长为a，则平面11与平面1的距离为（）A2B3C23D33 答案：D 分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解 由正方体的性质，1 1,11，1 11=1，1 =，易得平面11平面1，则两平面间的距离可转化为点B到平面11的距离 以D为坐标原点，DA，DC，1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，则(,0,0)，(,0)，1(,0,)，(0,0)，1(,)，1(0,0,)所以1=(,)，=(0,0)，1=(0,)，11=(,0)连接1，由1 1=(,)(0,)=0，1 11=(,)(,0)=0，且1 11=1，可知1 平面11，得平面11的一个法向量为 =(1,1,1)，则两平面间的距离=|=3=33 故选：D 4、已知圆：2+2=4，直线：=+，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为2，则的取值为（）A2B2C3D3 答案：C 分析：由直线过定点(0,)，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.直线：=+恒过点(0,)，由于直线被圆所截的弦长的最小值为2，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是22=(12 2)2+|2=1+2，解得=3.故选：C 5、若直线l的斜率k=2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（）A(0，4)B(4，0)C(0，4)D(2，1)答案：B 分析：利用斜率公式逐个验证即可 对于 A，=4203=23 2，不符合题意；对于 B，=2034=2，所以 B 正确；对于 C，=2(4)30=2 2，不符合题意；对于 D，=213(2)=15 2，不符合题意，故选：B 6、若圆1:2+2 2=0(0)与圆2:2+2 4+3=0相外切，则的值为（）A12B23C1D32 答案：D 分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由2+2 2=0(0)可得2+()2=2，所以圆1的圆心为(0,)，半径为，由2+2 4+3=0可得(2)2+2=1，所以圆2的圆心为(2,0)，半径为1，因为两圆相外切，所以4+2=+1，解得=32，故选：D 7、已知1，2是椭圆236+29=1的两个焦点，是椭圆上任意一点，过1引12的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）A5B4C3D2 答案：C 分析：由|1|可知|2|+|2|，又已知OQ是F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知|1|1|+|2|212|2|+|2|212 由题意知OQ是F1F2M的中位线|6 Q点的轨迹是以O为圆心，以 6 为半径的圆 当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离 6 33 故选：C 8、若椭圆:24+23=1的左、右焦点分别为1、2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A当点P不在x轴上时，12的周长是 6 B当点P不在x轴上时，12面积的最大值为3 C存在点P，使1 2 D|1|的取值范围是1,3 答案：C 分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项 A；当点位于上下顶点时，12面积的最大即可判断选项 B；当点为椭圆短轴的一个端点时，12为最大与90比较即可判断选项 C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项 D.由椭圆方程可知=2，=3，从而=2 2=1 对于选项 A；根据椭圆定义，|1|+|2|=2=4，又|12|=2=2，所以 12的周长是2+2=6，故选项 A 正确；对于选项 B：设点(1,0)(0 0)，因为|12|=2，则12=12|12|0|=|0|因为0 0)上一点(0,0)(0 0)和焦点1(,0),2(,0)为顶点的 12中，若12=，则（1）焦点三角形的周长为2+2；（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，12=为最大；（3）12=121 2 sin，当|0|=时，即点为椭圆短轴的一个端点时12取最大值，为；（4）12=2tan2.9、设1,2是椭圆212+224=1的两个焦点，是椭圆上一点，且12=13.则 12的面积为（）A6B62C8D82 答案：B 分析：利用椭圆的几何性质，得到|1|+|2|=2=46，|12|=2=43，进而利用12=13得出|1|2|=18，进而可求出 12 解：由椭圆212+224=1的方程可得2=24,2=12，所以2=2 2=12，得=26,=23 且|1|+|2|=2=46，|12|=2=43，在 12中，由余弦定理可得 cos12=|1|2+|2|2|12|22|1|2|=(|1|+|2|)22|1|2|12|22|1|2|=42422|1|2|2|1|2|=422|1|2|2|1|2|=4122|1|2|2|1|2|，而cos12=13，所以，|1|2|=18，又因为，cos12=13，所以sin12=223，所以，12=12|1|2|sin12=12 18 223=62 故选：B 10、过点(3,23)且倾斜角为135的直线方程为（）A3 43=0B 3=0 C+3=0D+3=0 答案：D 分析：由倾斜角为135求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 解：因为直线的倾斜角为135，所以直线的斜率为=tan135=1，所以直线方程为+23=(3)，即+3=0，故选：D 填空题 11、若三点(2,2),(,0),(0,6)共线，则a的值为_ 答案：3 分析：由三点共线得=，即可求出答案.由三点(2,2),(,0),(0,6)共线 故=2 02 =6 20 2 =3 所以答案是：3.12、已知圆1:2+2=4与圆2:2+2 8+6+=0外切，此时直线:+=0被圆2所截的弦长_ 答案：34 分析：将圆2的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算2到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.由题可知：1:2+2=4 2:2+2 8+6+=0，即(4)2+(+3)2=25 且25 0 0），则|1|=4.利用椭圆的定义表示出|1|,|,|1|，由勾股定理求出=3，即可得到tan21=|1|2|=2，进而求出直线2的斜率.如图，连接1.设|2|=（0），则|1|=4.因为|1|+|2|=2，|1|+|2|=2，所以|2|=2 4，|1|=2 .在 1中，1=90，所以|1|2+|2=|1|2，即(4)2+(2 4+)2=(2 )2，整理得=3，所以tan21=|1|2|=424=464=2，所以直线2的斜率为=tan(180 21)=2 所以答案是：-2.14、已知双曲线223=1的左、右焦点分别为1，2，离心率为，若双曲线上一点使21=60，则2 21 的值为_ 答案：3 分析：在 12中，设2=，则1=+2或1=2分别运用余弦定理可求得答案.解：由已知得21=2=4在 12中，设2=，则1=+2或1=2 当1=+2时，由余弦定理，得(+2)2=2+42 2 4 12，解得=32，所以2 21=32 4 12=3 当1=2时，由余弦定理，得(2)2=2+42 2 4 12，无解 故2 21=3 所以答案是：3.15、如图，在棱长为 4 的正方体 1111中，E为BC的中点，点P在线段1上，点 到直线1的距离的最小值为_.答案：455#455 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点 到直线1距离的函数关系，再求其最小值作答.在正方体 1111中，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,4,0),1(0,0,4),(2,4,0),1(0,4,4)，=(2,0,0),1=(0,0,4),1=(2,4,4)，因点P在线段1上，则 0,1，=1=(2,4,4)，=+=(2 2,4,4)，向量 在向量1 上投影长为=|1|1|=4，而|=(2 2)2+(4)2+(4)2，则点 到直线1的距离 =|2 2=252 2+1=25(15)2+45455，当且仅当=15时取“=”，所以点 到直线1的距离的最小值为455.所以答案是：455 解答题 16、已知直线1与直线2:3+4 5=0平行，直线1与两坐标轴所构成的三角形的面积为 12，求直线1的方程.答案：3+4 122=0 分析：设直线的方程为3+4+=0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线1的方程为3+4+=0.令=0，得=3；令=0，得=4.由题设得12|3|4|=12.解得=122，因此直线1的方程为3+4 122=0.17、已知椭圆:22+22=1(0)一个顶 点(0,2)，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为45（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与直线交y=-3 交于点M，N，当|PM|+|PN|15 时，求k的取值范围 答案：（1）25+24=1；（2）3,1)(1,3 分析：（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,，从而可求椭圆的标准方程.（2）设(1,1),(2,2)，求出直线,的方程后可得,的横坐标，从而可得|+|，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|+|，从而可求的范围，注意判别式的要求.（1）因为椭圆过(0,2)，故=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12 2 2=45，即=5，故椭圆的标准方程为：25+24=1.（2）设(1,1),(2,2)，因为直线的斜率存在，故12 0，故直线:=1+21 2，令=3，则=11+2，同理=22+2.直线:=3，由=342+52=20 可得(4+52)2 30+25=0，故=9002 100(4+52)0，解得 1.又1+2=304+52,12=254+52，故12 0，所以 0 又|+|=|+|=|11+2+22+2|=|11 1+22 1|=|212(1+2)212(1+2)+1|=|504+52304+522524+523024+52+1|=5|故5|15即|3，综上，3 1或1 0），(33,0)，(0,3)都在圆上，(33)2+2=202+(3 )2=2，解得=32=36.圆的标准方程是2+(+3)2=36.（2）设限高为，作 ，交圆弧于点，则=+0.5.将点的横坐标=11代入圆的方程，得(11)2+(+3)2=36，得=2或=8（舍去）.=0.5=(2+2)0.5=3.5(m).故车辆通过隧道的限制高度为3.5m.19、已知圆C：2+2 4=0，直线l恒过点(4,1).(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|=23时，求l的方程.答案：(1)=4或3+4 16=0(2)=1或4 3 13=0 分析：(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.（1）由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径=2，当直线l的斜率不存在时，即l的方程为=4时，此时直线与圆相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为 1=(4)，化为一般式：+1 4=0，若直线l与圆相切，则=|12|2+1=2，即1 4+42=42+4，解得=34，：34 +4=0，即l：3+4 16=0，综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为=4或3+4 16=0；（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，直线l的方程为 1=(4)，即 +1 4=0，设圆心到直线l的距离为d，则=|12|2+1，由垂径定理可得，2+(|2)2=4，即(21)22+1+3=4，整理得，32 4=0，解得=0或=43，则直线l的方程为=1或4 3 13=0.