数列的概念与简单表示法知识点.pdf

数列数列一、数列的概念与简单表示法1、数列的概念 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为，或者,21naaa简记为，其中表示数列的通项。nanana注：研究对象:“数”(与集合相区别)。首项（第 1 项）：数列中的排在第 1 位的数。第 2 项：数列中的排在第 2 位的数。通项（第 n 项）：数列中的排在第 n 位的数。注意与含义的区别：nana ：表示数列中的第 n 项。nana：表示数列，简单记法。na,21naaa 数列的项性质：有序性 ：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。可重复性：数列中数可以重复出现。补充知识：集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。例：a 1、2、3、4、5、6 和 6、5、4、3、2、1 构成同一个结合，不同的数列b 1、2、2、3、5、5 可以表示数列，但不能构成集合。从函数的角度研究数列：对于任意一个数列，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：na序号（项数n）123n项1a2a3ana数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集1,2,3，,n)的*N函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型），其图像是一系列孤立的点。2、函数不一定是数列。2、数列的表示方法 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系 例：数列 6,66,666,6666,66666,666666 可以用下表表示序号（项数）123456项666666666666666666666 图像法：在平面直角坐标中，数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（,n）。na 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。3、数列的通项公式：数列的第 n 项叫做数列的通项。如果数列的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，nana那么这个公式叫做这个数列的通项公式。注：并不是所有的数列都可以用通项公式表示 例：小数点后每一位所构成的数列 1,4,1,5,9，2,6 精确到 1,0.1,0.01,0.001，的近似值组成的数列3,3.1，3.14,3.142，只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公式不能唯一确定。例：数列 1,4,7,10，通项公式可以是,也可以2n3 na43212n3nnnnan 数列通项公式的表示方法不唯一。例：数列-1，1,-1,1,-1，通项公式可以是,也可以是。)(cosnann1-）（na4、数列的递推公式：递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或 na前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列的递推公式。na 通项公式与递推公式异同点：相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。不同点：通项公式可以通过代入项数 n 直接求出项。简单直接na 递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项。赋值繁琐na所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）5、数列的前 n 项和：叫做数列的前 n 项和，记作nnkkaaaa211 nanS数列的通项与前 n 项和的关系：nanSnaaaS21n)2()1(11nnSSnSann注：1、不是对一切正整数 n 都成立的，而是对于的1nnnSSa2n一切正整数恒成立，因为当时，无意义。1n1nnnSSa0S 2、由前 n 项和求通项公式时，要分两种情况：和，nS1n2n然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当时，也适合的1n1ana表达式，则将两种情况统一合写。若不能，则需要采用分段形式来表示。例：（1）；nS*1-1nn）（2）；nnS2n2（3）；322nnnS（4）；nS2n（5）；32nnS6、数列的分类：分类标准名称含义举例有穷数列项数有限的数列1,2,3，n项的个数无穷数列项数无限的数列1,4,9,2n递增数列从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列3,4,5，n+2递减数列从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列1,2131n1常数列各项相等的数列6,6,6,6项的变化趋势摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4,7、数列的性质：单调性，周期性，有界性 单调性：递增数列：，*Nn1nana递减数列：，*Nn1nana摆动数列：有大有小常数列：，=*Nn1nana求数列的最大（小）项，一般先研究数列的单调性，可以用 或 求解，11nnnnaaaa*,2Nnn11nnnnaaaa*,2Nnn也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。周期性：，=（k 为正整数），那么称数列是以 k 为周期的周期函数。*Nnknana na例：、)(sinnan)cos(nannna)1(注意：，不是周期函数。sinnnancosan)(为常数ccan递推公式（创新题型）：，1-1-nnnaaa3121aa，有界性：，,那么称为 有界数列，否则称为无界数列。*NnMan na na例：1、等均为有界数列)(sinnan,n1nanna 2 2、等均为无界数列32 nan2nannna2