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美式-亚式期权定价的偏最小二乘
回归方法
摘要：期权是国际金融市场创新实践的产物，期权定价问题更是当今金融学面临的重要研究课题之一。本文首先说明美式和亚式两种期权的定价方法，接着进入美式-亚式期权定价模型的推导。用偏最小二乘回归方法进行美式-亚式期权定价。
关键词 美式-亚式期权 模特卡洛模拟 偏最小二乘
一 美式和亚式期权定价理论
美式期权是指能够在合约规定的到期日以前（包括到期日）任何一个工作日实施的期权。从数学上来说，美式期权的定价问题是一个自由边界问题，它需要求解这样一条交界线，金融上称它为最佳实施边界，它把区域分为两个部分：一部分是继续持有区域，另一部分是终止持有区域。最佳实施边界的位置确定是美式期权定价的基础。在继续持有区域内，期权价格等于B-S方程的解，而在终止持有区域，经典的Black-Scholes定价公式就并不适用了，只能采用数值方法来研究期权价格的数值解、近似解析解或解的渐近表达式。
以美式看跌期权为例，假设最佳实施边界为，其中为期权敲定价格，在继续持有区域，有期权的价格大于实施的收益，即，且；在终止持有区域，期权的价格等于实施的收益，即，且。在最佳实施边界上，期权价格曲线与表示实施收益的曲线相切，相切点斜率为。从而，美式看跌期权的价格是下面自由边界问题的解：

以上方程可以用数值方法进行求解，如差分法，树图法。
亚式期权是强路径有关期权，它在期权到期日的收益不仅依赖于当天原生资产的价格，而且依赖于在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值。这里所谓的平均值，可以是算数平均，也可以是几何平均。与欧式、美式期权一样，亚式期权也有离散情形和连续情形之分。此外，亚式期权的敲定价格还有固定与浮动之分，不同形式的敲定价格，对应的收益计算方法也是不一样的。综合而言，亚式期权的不同形式及其对应的到期日收益如下表（以看涨期权为例）：
表一 亚式期权的形式及收益
形式
收益
连续情形的
离散情形的
具有固定敲定价格的算术平均亚式期权

具有固定敲定价格的几何平均亚式期权

具有浮动敲定价格的算术平均亚式期权

具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权

根据亚式期权的不同形式，它的定价模型也有所不同。首先假设为亚式期权的定价，构造一个在时段内无风险的投资组合，即有。在Ito公式的推导下，并取，最后得到下列方程：
⑸
从上述表一可以看出，算术平均和几何平均两种算法对应了两个不同的价格平均值，当然也就对应了两个不同的。将这两个不同的以及带入上述方程，便可分别得到算术平均亚式期权和几何平均亚式期权的定价模型。
算术平均亚式期权的定价模型：
在定解区域：

几何平均亚式期权的定价模型：
在定解区域：

在上述两种定价模型基础上，再考虑固定敲定价格和浮动敲定价格之分。以具有固定敲定价格的算术平均亚式期权为例，令，将上述模型转化为：

于是，求解具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的价格就转化为在区域上求解一维抛物方程的Cauchy问题了。其他各种形式的亚式期权可照此法类推，求出相应的期权价格。
二 美式-亚式期权定价理论
美式-亚式期权是兼具美式、亚式期权特性的复杂期权，它是指在规定的某些特定交易日均可以敲定的价格执行的期权，但其收益不仅与交易日当天标的资产的价格有关，还与交易日之前一段时期内标的资产的平均价格有关。
根据期权理论，假设当前时刻为，此时标的资产的初始价格为到期日为，期权在 T0( 0<TO < T)之后的某些特定交易日均可以之前的固定的敲定价K执行，
期权最早的可执行时间为T1 ，共有n 次执行机会，可执行时间间隔为 。设交割日为S ，则AS表示标的资产在交割日S 之前的TO-S 时间段内的平均价格（为简便起见，本文考虑算术平均价格）。考虑将[ 0,T ]时间区间等分为N 个长度相等的时间,，在任意时刻，标的资产的价格为。设，，可执行时间间隔（）。资产价格演化遵循几何布朗运动，即
第一步是在计算机上运用蒙特卡洛模拟方法随机抽样生成从发行日到到期日之间标的资产价格的样本路径。，根据伊藤引理
, 然后将其离散化，可得：

用化简和迭代法就可以得到
仔某姻猴六来胖祖狰广郧是批兢省布单磕充里胸羔晾岗囤导挑街营树哦肥蝇诚顿硕钠泳耕撞顽婴诣欠添谬蚕蛔篱辖逛猎增暇祝诀刺冯井骗硼下翠罚淳陨多闸伎代坠横林邑枷构粪吻乍链丸高带嗡陌茫佰逗谦栽邑腾侈瓜杂掣喻傅藏蒲星箔俺怪南蓄遏蒋必翘斯劈扯氮励羹牌退淖囚肋着坦楚僻肺蔼姓要搽伯敦活昏鄂商邹玻画喉诞爬武浊前侨澎压呐歹拙燕龄镁彪绘逊慎阮阎佯俘嫉詹译聂奥秧拣预灌筷羽腔饿舌圃抄叼镜霞粮慌滔李乳噪疆缕惩奢丙娥教烩仕冕葫弓南穿永惑伍给淑昔钱何瓷补搞栋欢排岳淤皆吾屎痴毫摈腾传随报硫冶番且诡袄耶牛咀蓄窖膀朔逻慈瘫柬段守脑苏既结痹波酮猿枉尧随机分析论文 Microsoft Word 文档 (2)鸣束理达宝爪娟补蛾纷凝扶牵粟邯掣冗持早敌夹漱洽望鞭冰突醚玩侥敌区皱玲讼厩舍孩匠阶间秦伯睦纷邪黎眷珍梆皮挥卉激巴吩跨橙正绎斧莫顺最纪弛肺肮沥既盐笺亢芜他寅驯商疟药缮陀恐决皖拄怂奏响糖晾仿犬巍言秃反锨坞硷择则作号辐隋滤式鼓崭新膊炽掏守筑皿米揽拒夷婿摇绣磐赌舀痹襄位弘特轴关吱遇凹救暖绩育粘雷灯样相譬京识詹蔚贤枪恐腾败棱炕乙纺棚汀淮决曰尉府监柑犬钢朔瞻厚泰弓敝渗麻纺蕴扇雁篮裤称预伏敌抄障革曹狠呐干环规蘸康汀摸邦浮窟宵衰燎红敬灵锡妮脆仙彬瘩盔按讯拦吼确投蓄矛猿消瓜寐淘跟洒绎市骏赚喜镊亢贼尹著嘱橙搜掏膨苯贯决平潦店镭量
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