高一数学必修一---函数知识点总结.pdf

第 1 页 共 4 页3.函数值域的求法：函数值域的求法：配方法配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型的形式；),(,)(2nmxcbxaxxf逆求法（反求法）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，yxxy型如：；),(,nmxdcxbaxy换元法换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；常针对根号，举例常针对根号，举例：=2 1+2+95令 ，原式转化为：，再利用配方法。2 1=，则2=2+1=+(2+1)+95=25+2利用函数有界法利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；)0(kxkxy单调性法单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；单调性：单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）增函数：减函数：)()(,x212121xfxfxxbax对任意的)()(,x212121xfxfxxbax对任意的 注：函数上的区间 I 且 x1，x2I.若0（x1x2），则函数 f(x)在区间 I 上是增函数；2121)()(xxxfxf若0（x1x2），则函数 f(x)是在区间 I 上是减函数。2121)()(xxxfxf 用定义证明单调性的步骤用定义证明单调性的步骤:设 x1，x2M，且；则 21xx 作差整理；)()(21xfxf 判断差的符号；下结论；增+增=增 减+减=减 复合函数 y=fg(x)单调性:同增异减（内层）（外层）)(，则)(，)(（xfyxuufy（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区 u O 1 2 x 第 2 页 共 4 页间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：任取 x1，x2D，且 x1x2；1 作差 f(x1)f(x2)；2 变形（通常是因式分解和配方）；3 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；4 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）5(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；1确定 f(x)与 f(x)的关系；2作出相应结论：若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函3数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0 或f(x)f(-x)=1 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.奇偶性：奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较 f(x)与 f(-x)的关系）f(x)f(-x)=0 f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x)=f(-x)f(x)为奇函数。注:若 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(-x)=f(x);若 f(x)为奇函数且定义域中含 0,则 f(0)=0.如：若为奇函数，则实数f xaaaxx()2221（为奇函数，又，f xxRRf()()000即，）aaa22210100第 3 页 共 4 页周期性周期性:若 f(x+T)=f(x)且 T0 的常数,则 T 是函数 f(x)的周期;若 f(x+a)=f(x+b)，a、b 为常数且 ab,则 b-a 是函数 f(x)的周期。1.定义 函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域中的任意一个 x 的值若 f(xT)f(x)(T0)，则 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期；若 f(xa)f(xb)(ab)，则 f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期；2函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域中的任意一个 x 的值若 f(xT)f(x)(T0)，则 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期；若 f(xa)f(xb)(ab)，则 f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期；3有关对称性的几个重要结论一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的任意一个 x 的值若 f(xa)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 x对称特别地，若 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)的图象关于直ab2线 xa 对称；若 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于点(0,)中心对称特别地，若 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)的图象ab2关于点(a,0)中心对称4对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若 f(x)的图象有两条对称轴 xa 和 xb(ab)，则 f(x)必为周期函数，且 2|ba|是它的一个周期；若 f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ab)，则 f(x)必为周期函数，且 2|ba|为它的一个周期；若 f(x)的图象有一条对称轴 xa 和一个对称中心(b,0)(ab)，则 f(x)为周期函数，且 4|ba|是它的一个周期对称性对称性:若 f(x+a)=f(b-x),则函数 f(x)关于直线 x=对称;(即:一均二等的原则)2ba若函数 y=f(x+a)和函数 y=f(b-x),则函数 y=f(x+a)和函数 y=f(b-x)关于直线 x=对称.2ab你还知道函数 y=f(x)关于直线 x=0(即 y 轴),直线 y=0(即 x 轴),原点。9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10函数最大（小）值（定义见课本 p36 页）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值1 利用图象求函数的最大（小）值2 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：3如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；第 4 页 共 4 页例题：1.求下列函数的定义域：221533xxyx211()1xyx2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ f x()01，f x()23.若函数的定义域为，则函数的定义域是 (1)f x23，(21)fx4.函数，若，则=22(1)()(12)2(2)xxf xxxx x ()3f x x5.求下列函数的值域：223yxx()xR223yxx1,2x(3)(4)1 2yxx245yxx6.已知函数，求函数，的解析式2(1)4f xxx()f x(21)fx7.已知函数满足，则=。()f x2()()34f xfxx()f x8.设是 R 上的奇函数，且当时,则当时=()f x0,)x3()(1)f xxx(,0)x()f x 在 R 上的解析式为 ()f x9.求下列函数的单调区间：223yxx223yxx261yxx10.判断函数的单调性并证明你的结论13xy11.设函数判断它的奇偶性并且求证：2211)(xxxf)()1(xfxf