垂线习题(含答案).pdf

试卷第 1 页，总 23 页2019 年年 4 月月 16 日初中数学作业日初中数学作业学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点脚跟的点 A 处开始并与起跳线处开始并与起跳线 1 垂直于点垂直于点 B，然后记录，然后记录 AB 的长度，这样做的理由是的长度，这样做的理由是()A过一点可以作无数条直线过一点可以作无数条直线B垂线段最短垂线段最短C过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线D两点之间线段最短两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短 故选：B【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理2下列说法下列说法一个角的余角一定是锐角；一个角的余角一定是锐角；因为因为 1 2，所以，所以 1 与与 2 是对顶角；是对顶角；过一点与已知直线平行的直线只有一条；过一点与已知直线平行的直线只有一条；从直线外一点到这条直线的垂线段叫做从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；点到直线的距离；两条直线被第三条直线所截，同位角相等两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（其中正确的个数为（）A1B2C3D4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】试卷第 2 页，总 23 页解：一个角的余角一定是锐角，所以正确；相等的角不一定是对顶角，所以错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以错误故本题答案应为：A【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3如图，直线如图，直线 AB 和和 CD 相交于相交于 O，那么图中，那么图中 DOE 与与 COA 的关系是（的关系是（）A对顶角对顶角B相等相等C互余互余D互补互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到AOE=BOE=90，则DOE+BOD=90，再根据对顶角相等得到BOD=AOC，所以DOE+AOC=90，然后根据互余的定义进行判断【详解】解：OEAB，AOE=BOE=90，DOE+BOD=90，BOD=AOC，DOE+AOC=90，即DOE 与COA 互余故选：C【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直也考查了对顶角和两角互余4下列说法正确的是下列说法正确的是()试卷第 3 页，总 23 页A直线一定比射线长直线一定比射线长B过一点能作已知直线的一条垂线过一点能作已知直线的一条垂线C射线射线 AB 的端点是的端点是 A 和和 BD角的两边越长，角度越大角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线 AB 的端点是 A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B【点睛】本题考查了直线、射线和线段相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹向两个方向无限延伸过两点有且只有一条直线 射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸5如图，如图，BD AC 于点于点 D，EC AB 于点于点 E，AF BC 点点 F，AF、BD、CE 交于点交于点 O，则图，则图中能表示点中能表示点 A 到直线到直线 OC 的距离的线段长是（的距离的线段长是（）AAEBAFCADDOD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答【详解】解：点 A 到直线 OC 的距离的线段长是 AE，故选：A试卷第 4 页，总 23 页【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念6如图，如图，A、B、C、D 都在直线都在直线 MN 上，点上，点 P 在直线外，若在直线外，若 1=60，2=90，3=120，4=150，则点，则点 P 到直线到直线 MN 的距离是（的距离是（）AP，A 两点之间的距离两点之间的距离BP，B 两点之间的距离两点之间的距离CP，C 两点之间的距离两点之间的距离DP，D 两点之间的距离两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可【详解】2=90，点 P 到直线 MN 的距离是 P，A 两点之间的距离，故选 A【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键7如图如图,直线直线 AB、CD 相交于点相交于点 O,OE AB 于于 O,EOC=35,则则 AOD 的度数为的度数为A125B115C55D35【答案】A【解析】【分析】根据图形求得COB=COE+BOE=125；然后由对顶角相等的性质，求AOD 的度数【详解】解：EOAB，试卷第 5 页，总 23 页EOB=90又COE=35，COB=COE+BOE=125AOD=COB（对顶角相等），AOD=125故选：A【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点本题也可以利用邻补角的定义先求得BOD=55，再由邻补角的定义求AOD 的度数8下列说法中不正确的是下列说法中不正确的是()A两点之间的所有连线中，线段最短两点之间的所有连线中，线段最短B两点确定一条直线两点确定一条直线C小于平角的角可分为锐角和钝角两类小于平角的角可分为锐角和钝角两类D在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选 C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类9在同一平面内，下列判断中错误的是在同一平面内，下列判断中错误的是()A过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C垂直于已知直线的垂线只有一条垂直于已知直线的垂线只有一条D连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短试卷第 6 页，总 23 页【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。【详解】A、B、D 根据性质可知都是正确的，故不符合题意；C 中 垂直于一直直线的垂线有无数条，本项错误，故符合题意；故本题答案应为：C【点睛】本题考查了垂线的定义及性质，是基础题，熟记概念和性质是解题的关键10如图，直线如图，直线 a 与与 b 相交于点相交于点 O，MO a，垂足为，垂足为 O，若，若 235，则，则 1 的度数为的度数为()A75 B65 C60 D55【答案】D【解析】【分析】根据平角和垂线的性质解答即可【详解】2=35，MO直线 a，1=18090 35=55.-故选 D.【点睛】本题考查垂线,平角，熟练掌握垂线和平角的性质是解题的关键.11如图，要把河中的水引到水池如图，要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸中，应在河岸 B 处（处（AB CD）开始挖渠才能使水）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）A两点之间线段最短两点之间线段最短 B点到直线的距离点到直线的距离C两点确定一条直线两点确定一条直线 D垂线段最短垂线段最短试卷第 7 页，总 23 页【答案】D【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答【详解】要把河中的水引到水池 A 中,应在河岸 B 处(ABCD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，故选：D.【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短.12如图，如图，OM NP，ON NP，所以，所以 ON 与与 OM 重合，理由是重合，理由是()A两点确定一条直线两点确定一条直线B经过一点有一条直线与已知直线垂直经过一点有一条直线与已知直线垂直C过一点只能作一条直线过一点只能作一条直线D同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】【分析】利用在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而得出答案即可【详解】OMNP，ONNP，所以 ON 与 OM 重合，理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.故选 D.【点睛】本题考查垂线，同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.二、填空题二、填空题13在直线在直线 AB 上任取一点上任取一点 O，过点，过点 O 作射线作射线 OC、OD，使，使 OC OD，当，当 AOC=30o 时，时，BOD 的度数是的度数是_试卷第 8 页，总 23 页【答案】60或 120【解析】【分析】此题可分两种情况，即 OC，OD 在 AB 的一边时和在 AB 的两边，分别求解【详解】解：当 OC、OD 在 AB 的一旁时，OCOD，COD=90，AOC=30，BOD=180-COD-AOC=60；当 OC、OD 在 AB 的两旁时，OCOD，AOC=30，AOD=60，BOD=180-AOD=120故答案为：60或 120【点睛】此题主要考查了直角、平角的定义，注意分两种情况分析，理清图中的角之间的关系14平面内四条直线两两相交，最多有平面内四条直线两两相交，最多有_ 个交点个交点【答案】6【解析】【分析】画出符合条件的所有情况，即可得出答案【详解】四条直线两两相交有以下情况：试卷第 9 页，总 23 页交点个数最多有 6 个，故答案为：6【点睛】本题考查了直线两两相交时交点的情况，关键是能画出符合的所有图形15如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段他的跳远成绩是线段_的的长度长度.【答案】AP【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断【详解】解：根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则，可得：他的跳远成绩是线段 AP 的长度故答案为：AP【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则16若若 A 与与 B 的两边分别垂直的两边分别垂直,则这两个角的等量关系为则这两个角的等量关系为_.【答案】互补或相等【解析】【分析】根据垂直的定义，作出草图即可判断【详解】如图 1，A+B=360-902=180，如图 2，由三角形外角的性质可得：1=B+90=A+90，试卷第 10 页，总 23 页A=B所以A 与B 的关系是互补或相等故答案是：互补或相等【点睛】考查了垂直的定义和角的比较，注意作出图形有助于题意的理解，更形象直观并且不容易出错17如图，直线如图，直线 AB，CD，EF 相交于点相交于点 O，且，且 AB CD，130，则，则 2_【答案】60【解析】【分析】根据题意由对顶角相等先求出 FOD，然后根据 ABCD，2 与 FOD 互为余角，求出即可【详解】CD、EF 相交于点 OFOD=1=30ABCD2=90FOD=9030=60故本题答案应为：60【点睛】对顶角相等和垂线的定义及性质是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键.18如图，直线如图，直线 AB，CD 相交于点相交于点 O，OE OF，OC 平分平分 AOE，且，且 BOF2 BOE，则，则 BOD_.试卷第 11 页，总 23 页【答案】75【解析】【分析】首先根据 OEOF，BOF=2BOE，求出BOE=30；然后求出AOE=150，再根据 OC 平分AOE，求出AOC 的度数；最后根据BOD 和AOC 互为对顶角，求出BOD 的度数即可【详解】OEOF，EOF=90，BOF=2BOE，3BOE=90，BOE=903=30，AOE=180BOE=18030=150，又OC 平分AOE，AOC=AOE=150=75，1212BOD 和AOC 互为对顶角，BOD=AOC=75.故答案为：75.【点睛】本题考查垂线，对顶角、角平分线，解题的关键是熟练掌握垂线，对顶角、角平分线的性质.三、解答题三、解答题19如图，点如图，点 在直线在直线上，上，求，求的度数的度数.=34试卷第 12 页，总 23 页【答案】118【解析】【分析】根据垂直的定义得到，得到，根据已知条=90+=90件即可得到结论.【详解】解：，=90，+=90，=34，=28.=+=118【点睛】本題考查了垂线以及角的计算，正确把握垂线的定义是解题关键.20如图，所有小正方形的边长都为如图，所有小正方形的边长都为 1 个单位，个单位，A、B、C 均在格点上均在格点上过点过点 C 画线段画线段 AB 的平行线的平行线 CD；(1)过点过点 A 画线段画线段 BC 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 E；(2)过点过点 A 画线段画线段 AB 的垂线，交线段的垂线，交线段 CB 的延长线于点的延长线于点 F；(3)线段线段 AE 的长度是点的长度是点_到直线到直线_的距离；的距离；(4)线段线段 AE、BF、AF 的大小关系是的大小关系是_ 用用“”连接连接(5).()【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）线段 AE 的长度是点 A 到直线 BC的距离（5）A，BC，【解析】【分析】利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可；(1)(2)(3)利用垂线段的性质直接回答即可；(4)利用垂线段最短比较两条线段的大小即可(5)【详解】试卷第 13 页，总 23 页直线 CD 即为所求；(1)直线 AE 即为所求；(2)直线 AF 即为所求；(3)线段 AE 的长度是点 A 到直线 BC 的距离；(4)，(5)，故答案为：A，BC，【点睛】考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图21画图题：画图题：（1）在如图所示的方格纸中，经过线段）在如图所示的方格纸中，经过线段 AB 外一点外一点 C，不用量角器与三角尺，仅用直，不用量角器与三角尺，仅用直尺画线段尺画线段 AB 的垂线的垂线 CD 和平行线和平行线 CE（其中（其中 D、E 为格点）为格点）（2）连接）连接 AC 和和 BC，若图中每个最小正方形的边长为，若图中每个最小正方形的边长为 1，试求三角形，试求三角形 ABC 的面积是的面积是_【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）过点 C 作 31 的矩形的对角线所在的直线，可得 AB 的垂线和平行线；（2）设小方格的边长为 1，利用三角形的面积求解即可【详解】解：（1）如图所示，直线 CD 和 CE 即为所求；试卷第 14 页，总 23 页（2）如图，连接 AC 和 BC，设小方格的边长为 1，则三角形 ABC 的面积=33-13-22-13=4121212故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本作图，割补法求图形的面积等知识.解题的关键是利用方格纸的特点正确的作出图形22（认识概念）点（认识概念）点 P、Q 分别是两个图形分别是两个图形 G1、G2 上的任意一点，当上的任意一点，当 P、Q 两点之间两点之间的距离最小时，我们把这个最小距离叫作图形的距离最小时，我们把这个最小距离叫作图形 G1、G2 的亲密距离，记为的亲密距离，记为d（G1，G2）例如，如果点例如，如果点 M、N 分别是两条相交直线分别是两条相交直线 a、b 上的任意一点，则上的任意一点，则d（a，b）0（初步运用）如图（初步运用）如图 1，长方形四个顶点分别是点，长方形四个顶点分别是点 A、B、C、D，边，边ABCD5，ADBC3那么那么 d（AB，CD），d（AD，BC），d（AD，AB）各等于多）各等于多少少（深入探究）（深入探究）（1）在图）在图 1 中，如果将线段中，如果将线段 CD 沿它所在直线平移（边沿它所在直线平移（边 AB 不动）不动），且使，且使d（CD，AB）不变，那么线段）不变，那么线段 CD 的中点偏离它原来位置的最大距离为多少；的中点偏离它原来位置的最大距离为多少；（2）如图）如图 2，线段，线段 AB 直线直线 CD，AB1，点，点 A 到到 CD 的距离为的距离为 3，将线段，将线段 AB 绕点绕点 A 旋旋转转 90后的对应线段为后的对应线段为 AB，则，则 d（AB，CD）等于多少）等于多少试卷第 15 页，总 23 页【答案】【初步运用】d（AB，CD）3，d（AD，BC）5，d（AD，AB）0；【深入探究】（1）CD 的原中点 E 和平称后的中点 F 的最大距离为：5；（2）d（AB，CD）2 或 3，【解析】【分析】初步运用根据图形 G1、G2的亲密距离的定义可得结论；深入探究（1）在图 1 中，注意线段 CD 平移的最远距离，可得结论；（2）如图 2，要分情况讨论，可以顺时针和逆时针旋转，根据亲密距离的定义解决问题【详解】解：初步运用如图 1，AB 与 CD 的距离为 AD3，d（AB，CD）3，AD 和 BC 的距离为 5，d（AD，BC）5，AD 和 AB 交于点 B，d（AD，AB）0，深入探究（1）如图所示：CD 的原中点 E 和平称后的中点 F 的最大距离为：5；（2）将线段 AB 绕点 A 旋转 90后的对应线段为 AB或 AB，如图 2，延长 AB交CD 于 E，ABABAB1，试卷第 16 页，总 23 页AE3，BE2，则 d（AB，CD）2 或 3【点睛】本题考查了学生的理解能力和创新能力，题中通过介绍“亲密距离”来引出学生对动态图象最小距离的识别，这是新课标要求我们掌握的技能在深度理解亲密距离定义、特点后难度并不高，并且再讨论运动路径的时候需要学生动手作图理解运动过程，是一道非常值得学生锻炼的题目23如图，已知直线如图，已知直线 AB 以及直线以及直线 AB 外一点外一点 P按下述要求画图并填空：按下述要求画图并填空：（1）过点）过点 P 画直线画直线 MN AB；（2）过点）过点 P 画直线画直线 PC AB，垂足为点；，垂足为点；（3）量出点）量出点 P 到直线到直线 AB 的距离约是多少的距离约是多少 cm（精确到（精确到 0.1cm）【答案】（1）如图，直线 MN 为所作；见解析；（2）如图，PC 为所作；见解析；（3）量得点 P 到直线 AB 的距离约是 4.3cm【解析】【分析】（1）利用网格特点，过 P 点作小正方形的对角线得到 MNAB；（2）利用网格特点，过 P 点作小正方形的对角线得到 PCAB；（3）用刻度尺测量 PC 的长即可【详解】解：（1）如图，直线 MN 为所作；（2）如图，PC 为所作；（3）量得点 P 到直线 AB 的距离约是 4.3cm（精确到 0.1cm）【点睛】试卷第 17 页，总 23 页本题考查了作图基本作图：熟练正方形网格的性质对角线与变成 45角是关键24如图，三角形如图，三角形 ABC 是钝角三角形，用三角尺按下列要求画图；是钝角三角形，用三角尺按下列要求画图；（1）画出过点）画出过点 A 到线段到线段 BC 所在直线的垂线段所在直线的垂线段 AE;（2）画出表示点）画出表示点 B 到直线到直线 AC 的距离的线段的距离的线段 BF.【答案】见解析【解析】【分析】（1）把三角板的一条直角边与 BC 对齐，使另一条直角边经过点 A，即可画出垂线段AE；（2）先延长 CA，然后用三角板的两条直角边画图即可.【详解】如图，【点睛】本题考查了垂线段的画法在解答此题时，用到的作图工具是三角尺，正确掌握基本作图的作法是作图的关键同时考查了点到直线的距离的定义25如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，A、B、C 都在格点上，利用网格都在格点上，利用网格画图：（注：所画线条用黑色签字笔描黑）画图：（注：所画线条用黑色签字笔描黑）（1）过点）过点 C 画画 AB 的平行线；的平行线；（2）过点）过点 B 画画 AC 的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点 G；过点；过点 B 画画 AB 的垂线，交的垂线，交 AC 的延长线于的延长线于 H试卷第 18 页，总 23 页（3）点）点 B 到到 AC 的距离是线段的距离是线段 的长度，线段的长度，线段 AB 的长度是点的长度是点 到直线到直线 的距离的距离（4）线段）线段 BG、AB 的大小关系为：的大小关系为：BG AB（填（填“”、“”或或“=”），理由是，理由是 .【答案】（1）如图见解析；（2）如图见解析；（3）BG、A、BH；（4），直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【解析】【分析】（1）利用网格进而得出过点 C 画 AB 的平行线；（2）利用网格得出过点 B 画 AC 的垂线，以及画 AB 的垂线，交 AC 的延长线于 H；（3）利用点的直线以及线段的距离定义得出答案；（4）利用点到直线的距离性质得出答案【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）点 B 到 AC 的距离是线段 BG 的长度，线段 AB 的长度是点 A 到直线 BH 的距离故答案为：BG、A、BH；（4）线段 BG、AB 的大小关系为：BGAB，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（填垂线段最短也算对）故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（填垂线段最短也算对）试卷第 19 页，总 23 页【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格是解题关键26如图，根据下列要求画图：如图，根据下列要求画图：（1）画直线）画直线 AC，线段，线段 BC 和射线和射线 BA；（2）画出点）画出点 A 到线段到线段 BC 的垂线段的垂线段 AD；（3）用量角器（半圆仪）测量）用量角器（半圆仪）测量 ABC 的度数是的度数是 （精确到度）（精确到度）【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）70【解析】【分析】（1）根据直线、线段、射线的定义进行画出即可；（2）利用直角三角板，将三角板中直角的一边放在 BC 上，然后移动三角板，当另一条直角边经过点 A 时，过点 A 及直角顶点画线段即可；（3）利用量角器进行测量即可【详解】（1）如图所示；（2）如图，AD 为所作；（3）量出ABC 的度数为 70，故答案为 70【点睛】本题考查了作图知识的把几何语言转化为几何图形的能力，三角板的使用，量角器的使用等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作27如图，已知直线如图，已知直线 a，b，点，点 P 在直线在直线 a 外，在直线外，在直线 b 上，过点上，过点 P 分别画直线分别画直线 a，b试卷第 20 页，总 23 页的垂线的垂线【答案】图形见解析.【解析】【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可【详解】解：如答图所示，PA 为直线 a 的垂线，PB 为直线 b 的垂线【点睛】垂线的作法是本题的考点，熟练掌握作图方法是解题的关键.28如图，已知如图，已知 O 为直线为直线 AB 上的一点，上的一点，CD AB 于点于点 O，PO OE 于点于点 O，OM 平分平分 COE，点，点 F 在在 OE 的反向延长线上的反向延长线上(1)当当 OP 在在 BOC 内，内，OE 在在 BOD 内时，如图内时，如图所示，直接写出所示，直接写出 POM 和和 COF 之间的之间的数量关系；数量关系；(2)当当 OP 在在 AOC 内且内且 OE 在在 BOC 内时，如图内时，如图所示，试问所示，试问(1)中中 POM 和和 COF 之间之间的数量关系是否发生变化？并说明理由的数量关系是否发生变化？并说明理由【答案】（1）POM COF，理由见解析；（2）POM COF，理由见解析1212【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，CDAB，POEO，等量代换得COP=BOE，利用角平分线的性质，得POM=POB=(90-POC)，COF=90-COP，得出结论；1212（2）利用垂直的定义，同角的余角相等可得COPAOF，可推出COPCOBAOFAOC，即BOPCOF，由对顶角相等得AOFBOECOP，利用角平分线的性质，得试卷第 21 页，总 23 页COPCOMBOEMOE，即POM BOP，等量代换得出结论12【详解】解：(1)POM COF.12证明：CDAB，COP+BOP=90，OPOE，BOE+BOP=90，COP=BOE，OM 平分COE，POM=MOB=POB=(90POC)，1212COF=90COP，POM=COF；12(2)不发生变化理由：CDAB 于点 O，AOPCOP90.POOE 于点 O，AOPAOF90，COPAOF.又AOCCOB90，COPCOBAOFAOC，即BOPCOF.AOFBOE，COPBOE.OM 平分COE，COMMOE，COPCOMBOEMOE，POM BOP，12POM COF.12故答案为：（1）POM COF，理由见解析；（2）POM COF，理由见解1212析.【点睛】本题考查垂线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的性试卷第 22 页，总 23 页质.29如图，已知直线如图，已知直线 AB 和和 CD 相交于点相交于点 O，射线，射线 OE AB 于点于点 O，射线，射线 OF CD 于点于点O，且，且 AOF25.求求 BOC 与与 EOF 的度数的度数【答案】BOC115,EOF65【解析】【分析】由 OFCD，得FOD=90，已知AOF25，从而由平角的性质可求得AOC 的度数，然后由邻补角的性质可知BOC 的度数，由 OEAB，AOE90，可得FOE=AOE-AOF【详解】因为 OFCD，所以DOF90.因为AOCAOFDOF180，AOF25，所以AOC65.因为AOCBOC180，所以BOC115；因为 OEAB，所以AOE90，所以AOFEOF90.因为AOF25，所以EOF65.故答案为：BOC115；EOF65.【点睛】本题考查垂线,邻补角，熟练掌握垂线和邻补角的性质是解题的关键.30已知：如图，直线已知：如图，直线 AB，CD 相交于点相交于点 O，140，BOE 与与 BOC 互补，互补，OM 平分平分 BOE，且，且 CONNOM2 3.求求 COM 和和 NOE 的度数的度数【答案】COM120，NOE52【解析】试卷第 23 页，总 23 页【分析】如图，首先根据对顶角相等可得6=40，再根据同角的补角相等可得2+3=40，根据角平分线定义可得2 和3 的度数，结合角的和差关系可得COM 的度数，再利用条件CON：NOM=2：3 计算出MON 的度数，进而可得NOE 的度数【详解】如图，140，640.6BOC180，BOE 与BOC 互补，6BOE40，BOC140，COE100.OM 平分BOE，2320，COM120.CONNOM23，NOM120 72，35NOE722052.故答案为：COM120；NOE52.【点睛】本题考查对顶角、邻补角,角平分线的定义,余角和补角.关键是熟练掌握对顶角相等，同角的补角相等，角平分线定义.