等差等比数列的性质总结.pdf

-1-一、等差数列一、等差数列1.等差数列的定义：（d为常数）（）；daann12n2 2等差数列通项公式：等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项:*11(1)()naanddnad nN1ana 推广：推广：从而；dmnaamn)(mnaadmn3 3等差中项等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或aAbAab2baAbaA2（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa4 4等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式：项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数特别地，当项数为奇数时，是项数为 2n+1 的等差数列的中间项21n1na（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）12121121212nnnnaaSna5 5等差数列的判定方法等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数)是等差数列 daann1daann1 Nn na（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa数列是等差数列（其中是常数）。nabknanbk,（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。na2nSAnBn6 6等差数列的证明方法等差数列的证明方法 定义法：若或(常数)是等差数列daann1daann1 Nn na7.7.提醒提醒：（1 1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、及，其中、称作n1adnnanS1ad为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2 2）设项技巧：）设项技巧：一般可设通项一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，（公差为）；2,2ad ad a ad add偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为注意；公差为 2 2）3,3ad ad ad add8.8.等差数列的性质：等差数列的性质：（1）当公差时，0d 等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)naanddnadnd前和是关于的二次函数且常数项为 0.n211(1)()222nn nddSnadnann（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。0d 0d 0d（3）当时,则有，特别地，当时，则有.mnpqqpnmaaaa2mnp2mnpaaa注：，12132nnnaaaaaa -2-（4）若、为等差数列，则都为等差数列 na nb12nnnabab，(5)若是等差数列，则，也成等差数列 na232,nnnnnSSSSS（6）数列为等差数列,每隔 k(k)项取出一项()仍为等差数列na*N23,mm kmkmkaaaa（7）设数列是等差数列，d 为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前 n 项的和 na奇S偶SnS1.当项数为偶数时，n2121135212nnnn aaSaaaana奇22246212nnnn aaSaaaana偶11nnnnSSnanan aa偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数时，则12 n21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）an+1（8）、的前和分别为、，且，nbnnAnB()nnAf nB则.2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB（9）等差数列的前 n 项和，前 m 项和，则前 m+n 项和namSnnSmm nSmn(10)求的最值nS法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nn。*nN法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和n即当 由可得达到最大值最大值时的值，001da001nnaanSn （2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。n即 当 由可得达到最小值最小值时的值，001da001nnaanSn或求中正负分界项 na法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p=S q则其对称轴为nS2pqn注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于基本量法：即运用条件转化为关于和和的方程；的方程；1ad巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量 -3-二、等比数列二、等比数列1.等比数列的定义：，称为公比公比*12,nnaq qnnNa0且q2.通项公式：，首项：；公比：11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq1aq推广：，从而得或n mnmaa qn mnmaqann mmaqa3.等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或,a A bAab2AabAab 注意：同号的同号的两个数才有才有等比中项，并且它们的等比中项有两个有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列 na211nnnaaa4.等比数列的前 n 项和公式：nS(1)当时，1q 1nSna(2)当时，1q 11111nnnaqaa qSqq（为常数）1111nnnaaqAA BA BAqq,A B A B5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有为等比数列 11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na（2）等比中项：（0）为等比数列211nnnaaa11nnaa na（3）通项公式：为等比数列0nnaA BA B na（4）前 n 项和公式：为等比数列,nnnnSAA BSA BAA B A B或为常数 na6.等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列*12,nnaq qnnNa0且1nnaqa na7.注意注意（1 1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、及，其中、称作n1aqnnanS1aq为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2 2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11nnaa q如奇数个数成等差，可设为，（公比为，中间项用表示）；22,aaa aq aqqqqa -4-8.等比数列的性质(1)当时1q 等比数列通项公式是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比1110nnnnaaa qqA BA Bqq前 n 项和，系数和常数项是互为相反1111111111nnnnnnaqaa qaaSqAA BA BAqqqq数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何 m,n,在等比数列中,有,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公*Nnan mnmaa q式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 m+n=s+t(m,n,s,t),则.特别的,当 n+m=2k 时,得*Nnmstaaaa2nmkaaa注：12132nnna aaaa a(4)列,为等比数列,则数列,(k 为非零常数)均为等比数na nbnkank aknannk abnnab列.(5)数列为等比数列,每隔 k(k)项取出一项()仍为等比数列na*N23,mm kmkmkaaaa(6)如果是各项均为正数的等比数列等比数列,则数列是等差数列等差数列nalogana(7)若为等比数列,则数列，成等比数列nanS2nnSS32,nnSS(8)若为等比数列,则数列,成等比数列na12na aa122nnnaaa21223nnnaaa(9)当时，当时，1q 1q 0,1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0na*nN354657281a aa aa a 9 46aa（3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 m302m1003m(4)等差数列an和bn的前 n 项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.。（=）1515ba6188例 2、设等差数列的前 n 项之和为 Sn，已知 a3=12，S120，S130ndnd 17.设 mN+，log2m 的整数部分用 F(m)表示，则 F(1)+F(2)+F(1024)的值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.若等差数列 5，8，11，与 3，7，11，均有 100 项，问它们有多少相同的项？19.在等差数列an中，若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项和最大.20.已知 f(x+1)=x24,等差数列an中,a1=f(x1),a2=,a3=f(x).23(1)求 x 值；（2）求 a2+a5+a8+a26的值.21.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2SnSn1=0(n2),a1=.21(1)求证：是等差数列；（2）求 an表达式；nS1（3）若 bn=2(1n)an(n2),求证：b22+b32+bn21.-9-