高等数学上学期期末考试试卷及答案四份.pdf

.高等数学试卷（高等数学试卷（B B 卷）答案及评分标准卷）答案及评分标准2004-20052004-2005 年度第一学期年度第一学期科目科目:高等数学高等数学 I I 班级班级:姓名姓名:学号学号:成绩成绩:一、填空题（一、填空题（）51531 1、的定义域是_ 3)2ln(xxxf2 2、2 )1sin2sin(lim0 xxxxx3 3、e)31(lim3xxx e)31(lim3xxx4 4、如果函数，在处有极值，则xxaxf3sin31sin)(3x2a5 5、34d)1(sincos2 23xxx二、单项选择题（二、单项选择题（）51531 1、当时，下列变量中与等价的无穷小量是（）0 x2xA A .B B .C C .D D .xcos12xx 1xexx sin)ln(12 2、。)A ()(,)(的是则下列极限中等于处可导在设afaxxfA A B Bhhafafh)()(lim0hhafhafh)()(lim0C C D D hafhafh)()2(lim0hhafhafh3)()2(lim03 3、设在上函数满足条件则曲线在该区间上（ba,)(xf 0)(,0 xfxf xfy）A.A.上升且凹的 B.B.上升且凸的 C.C.下降且凹的 D.D.下降且凸的4 4、设函数具有连续的导数，则以下等式中错误的是（）xf A.A.B.B.)(d)(dd xfxxfxbaxxfttfxad)(d)(d C.C.D.D.xxfxxfd)(d)(dCtfttf)(d)(.5 5、反常积分（）0 d2xxex A.A.发散 B.B.收敛于 1 C.C.收敛于 D.D.收敛于2121三、算题（三、算题（）488 61 1、求极限 xxxx30sinsintanlim2 2、求22)2()ln(sinlimxxx3 3、求曲线在当处的切线方程和法线方程tytx2cossin4t4 4、已知函数，计算 0,sinxxyxxydd5 5、求积分xexd6 6、求积分xxeedln 1 7 7、计算曲线与轴围成的图形面积，并求该图形绕y轴所产生的xxy0,sinx旋转体体积。.8 8、计算星型线的全长.0,20,cos,sin33attaytax四、四、求函数求的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（）10123xxy 7五、五、设,证明：方程在0,1上有)(0 10)(xfxf且上连续，在1d)(0 xttfx且仅有一根（）5六、六、设f(x)连续,计算（）ttxftxxd)(dd0 22 5 七、七、,计算：（）01062ttttetft，）（设xttfxF d)(）（5 答案：答案：一、填空题1、（2，3）（3，+）2、2 3、e)31(lim3xxx4、2 5、34d)1(sincos2 23xxx二、.1、D 2、A 3、B 4、A 5、C3、计算题1、解：=xxxx30sinsintanlimxxx20sincos1lim21 2 2 4 42、解：解：=22)2()ln(sinlimxxx)2(4cossin1lim2xxxx)2(4coslim2xxx813、解:当曲线过点,由于,4 44t)0,22(22dd4xy所以,当处的切线方程和法线方程分别为:1 14t)22(22xy 1 1)22(42xy4、解:)sinln(cos)sinln(cosd)(dddsinlnsinlnsinxxxxxxxxxexexyxxxxx解:令,则:1 1uuxxud2d,解:令,则:1 1uuxxud2d,5、令,uuxxud2d,xexd=cexceuueueuuexuuuu)1(2)1(2d22d26 6、解:=xxeedln 1 exxxxxxxxxxeeeeee22dlndlndlndln1111111117 7、解:面积 2 202dsinxxs 体积微分元 1 1xxxVdsin2d 所求体积 3 320004dcos2cos2dsin2xxxxxxxV8 8、解:弧微分 2 2ttasd2sin23d弧长 4 420206d2sin6d2sin23attattas.四、解四、解:112,2,0,123212xxyxy得驻点令 0,0,6 3xyxy得点令由上可知:函数的单调增区间为:(-,-2),(2,+);函数的单调减区间为:(-2,2)2函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6)1凹区间为:(0,+),凸区间为:(-,0)1拐点为:(0,10)五、证:构造函数,函数在0,1上连续,在区间内可导 )(x1d)(0 xttfx1,0d)()1(,1)0(10 xxf由连续函数的零点定理知,存在在(0,1)内使 2 20)(又因为所以函数在(0,1)的零点唯一.20)(1)(xfx原命题得证.六、解:令:,222txuttud2d=ttxftxxd)(dd0 22)(d)(21dd20 x2xfxuufx七、解:当 2 2xxtetexFxd)(0时，当当xxtxttttettfxFx36200arctan311d1dd)()(0时，.高等数学高等数学 IV1IV1课程考试试卷课程考试试卷（A A 卷）卷）学院学院 专业专业 班级班级 学号学号 姓名姓名 题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分一、选择题（每小题 3 分，共 12 分）1、设使存在的最高阶数为（）2()3,f xxx x()(0)nfn(A)(B)(C)(D)01232、函数有极大值点（）dtetyxt2 0 )1(（A）（B）（C）（D）1x1x1x0 x3、已知函数的一个原函数是，则（）()f xx2sin()xfx dx (A)(B)2 cos2sin2xxxC2 sin2cos2xxxC(C)(D)2 sin2cos2xxxCsin2cos2xxxC4、是函数的 （）2x 1()arctan2f xx（A）连续点 （B）可去间断点（C）第一类不可去间断点 （D）第二类间断点二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）1、函数的图形的拐点是 。xyxe2、曲线的渐进线是 。21xey得分得分.3、设，则 dtexfxt02)(0()()limhf xhf xhh。4、。xxx20)1(lim三、求下列极限（每小题 6 分，共 12 分）。1、。2301 cos(1)limtansinxxexx2、。011limln 1xxx四、计算下列微分或导数（每小题 6 分，共 18 分）。1、，求。21xlnxarctanxy dy2、。cos(sin),xdyxdx若y求3、设，求。cossinxRtyRt22d ydx得分得分.五、计算下列积分（每小题 6 分，共 18 分）。1、。dx)x(x 112、求。1(12ln)dxxx3、。dxxx10221六、若，证明不等式（8 分）。01xxexx211得分得分.七、,0423412所围成的平面图形与直线为曲线设yxxyD求：(1)D的面积S；(2)D绕轴旋转一周所得的旋转体体积。xV（10 分）八、求微分方程的通解（10 分）。522(1)1dyyxdxx得分得分.高等数学高等数学 IV1IV1统考试题（统考试题（A A）答案及评分标准）答案及评分标准一、选择（每题 3 分，共 12 分）、B、D、A、C二、填空（每题 3 分，共 12 分）、4、)2 ,2(2e1y22xe21e三、计算下列极限（每小题 6 分，共 12 分）。1、解：原式=（2 分）4202)1(lim2xexx （4 分）4402limxxx （6 分）212、解：原式=（3 分）200ln(1)ln(1)limlimln(1)xxxxxxxxx （3 分）2121lim2111lim00 xxxxxxx四、求下列导数和微分（每小题 6 分，共 18 分）。1、解：（3 分）22tan11xxdyarcxdxxx （6 分）arctan xdx、解：（2 分）cos lnsin()xxye （4 分）cos lnsin(sin lnsincotcos)xxexxxx.=（6 分）cos(sin)(sinlnsincotcos)xxxxxx、解：解：（3 分）tdxdycot （6 分）22311(cot)sinsintd ydxRtRt 五、计算下列积分（每小题 6 分，共 18 分）。1、解：（3 分）1(1)dxxx2121()dxx （6 分）2arctanxc2、解：)2(lnln211)ln21(1分xdxdxxx11(12ln)4 2 12lndxx（分）（6 分）cx|ln21|ln213、解：令,(1 分)txsin原式=（6 分）202024)2cos1(21sindttdtt六、解：即证 ，（1 分）0)1()1(2xexx令 ，（2 分）)1()1()(2xexxfx ,（4 分）xxxexfexxf224)(1)21()(，当时,且,.（6 分）10 x0)(xf)(xf0)0(f0)(xf 且 （8 分）)(xf.0)(,0)0(xff七、解：解:(1 分).4,4()1,2(0423412和的交点为与直线曲线yxxy (1)D=；(5 分)31)41243(4 2 2dxxx(2)。(10 分)58)41()243(4 2 222dxxxV八、解：首先求对应的齐次方程的通解：.（1 分）201dyydxx 21dydxyx （4 分）2(1)yc x用常数变易法，把变成，即令c()u x，则有 （5 分）2()(1)yu x x （6 分）2()(1)2()(1)dyu x xu x xdx代入到原方程中得 ，两边积分得 （8 分）12()(1)u xx ，故原方程的通解为 （9 分）322()(1)3u xxc （10 分）3222(1)(1)3yxc x.高等数学高等数学 A A 参考答案及评分标准参考答案及评分标准考试科目：考试科目：高等数学高等数学 A A 上上 考试班级：考试班级：考试方式：考试方式：闭卷闭卷 命题教师：命题教师：一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）1已知当时，与是等价无穷小，则常数 0 x1)1(312 axxcos1a。2，则 。2122)0(cos21coscosttuduuttytxdxdy3微分方程的通解为 。0)4(2dyxxydx4 。exxdx12)ln2(二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）1如果处处可导，则（）。0),1(0,)(2xxbxexfax；。1)(baA1,0)(baB0,1)(baC1,2)(baD2函数在处连续，且取得极大值，则在处必有（）。)(xfy 0 xx)(xf0 x；0)()(0 xfA0)()(0 xfB；。或不存在0)()(0 xfC0)(0)()(00 xfxfD且3若为的一个原函数，则（）。xxln)(xfdxxf x)(；。CxxAln)(CxxB2ln1)(CxC1)(CxxxDln21)(4微分方程的通解是()。xysin .；322121cos)(CxCxCxyA1cos)(CxyB；322121sin)(CxCxCxyCxyD2sin2)(三、解答下列各题（本大题共解答下列各题（本大题共 2 2 小题，共小题，共 1414 分）分）1（本小题（本小题 7 7 分）分）求极限xxdttextx4020sin)1(lim2（本小题（本小题 7 7 分）分）设，求。)121(,)2()(2tanxxxyxdy四、解答下列各题（本大题共解答下列各题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 2828 分）分）1（本小题（本小题 7 7 分）分），求的极值及在上的最值。xdtttxF1)4()()(xF)(xF5,12（本小题（本小题 7 7 分）分）。xxxd123求3（本小题（本小题 7 7 分）分），计算。dxetftx22 1 )(设10)(dtttfI 7 分4（本小题（本小题 7 7 分）分）求积分。dxxxx4321)1(arcsin五、解答下列各题（本大题共五、解答下列各题（本大题共 3 3 小题，共小题，共 2626 分）分）1（本小题（本小题 9 9 分）分）求由曲线，轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。xey2x.2（本小题（本小题 9 9 分）分）求微分方程的通解。xeyyyx23442 3（本小题（本小题 8 8 分）分）设可导，且，证明)(xf0)0(fxnnndttxftxF01)()(。)0(21)(lim20fnxxFnx答案：1、填空题1、2、3、423atdxdyCxyx4)4(22arctan21I2、选择题1、B 2、C 3、D 4、A3、计算题1、解：=3 分xxdttextx4020sin)1(lim5020)1(limxdttextx4205)1(limxxexx3020)1)(1(2limxexexxx3020)1(2limxxxexx2010)1(limxxexx201201lim0 xexx2、解：取对数 2 分)2ln(2tanlnxxy两边对求导：5 分xxxxxyy2tan21)2ln(2sec22dxxxxxxdxydyx2tan21)2ln(2sec2)2(22tan四、1、解：2 分3723)4()(231xxdtttxFx.则，令，解得xxxF4)(204)(2xxxF4,0 xx，所以时，的极大值是；42)(xxF04)0(F0 x)(xF37，所以时，的极小值是；5 分04)4(F4x)(xF325，比较得在上的最大值是，最小值是。0)1(F6)5(F)(xF5,1373252、解：令，txsin 5 分Ctttdttdtttxxx32323cos31coscos)cos1(coscossind1 Cxx32213113、解：3 分10210210210)(21)(21)(21)(dttfttftdttfdtttfI)1(414122111010244eedttettt4、解：4 分dxxxx4321)1(arcsinxdxx4321)1(arcsin2xdx arcsinarcsin24321 2432121447)(arcsinx五、1、解：设切点为，则切线方程),(020 xex)(202200 xxeeyxx又切线过原点，将代入得切点，则切线 5 分)0,0(),21(eexy2 4)2(210202edxexedxeSxx2、解：齐方程的特征方程，特征根0442 rr221 rr齐方程的通解是 4 分xxxeCeCY2221设非齐次方程的一个特解为，代入原方程CBxeAxyx22*解得，故 8 分21,21,23CBA212123*22xexyx非齐次方程的通解；212123222221xexxeCeCyxxx3、证明：令，则nntxudtntdun 1 3 分nnxxxnnnduufnduufndttxftxF0001)(1)(1)()(.)0(212)0()(lim2)(lim)(lim)(lim0121020020fnnxfxfnxnnxxfnxduufxxFnnxnnnxnxxnxn 8 分课程名称：高等数学高等数学 A A (上上)课程类别：必修必修 考试方式：闭卷闭卷 注意事项：1、本试卷满分100 分。2、考试时间 120 分钟。一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3 3 分，分，共共 1818 分）分）1.D；2 C；3 B；4 B；5 B；6 A。二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）1.；2 2 ；3 0()()lim1()(0)xf xfxg xg3(0,0),(3,12)e4 ；5；6(50)sin50cosyxxx 1121()1lim12xxf t dtx1sinyxc 三、计算下列各题（每小题三、计算下列各题（每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）1.10lim(cossin)xxxx 解：（2 分）1ln(cossin)00lim(cossin)limxxxxxxxxe （4 分）sincoscossin0limxxxxxe （5 分）1e2.已知可导，求()f u22ln(yfxxay解 （4 分）2222221ln()xxayfxxaxxa题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八得分得分得分得分评阅人评阅人得分得分得分.（5 分）22221ln()fxxaxa3.由方程确定，求.()y x1yyxey解：解：两边同时求导得：0yyyexe y （2 分）1yyeyxe对上式两边同时求导得：20yyyyye ye yxeyxe y即：2(1)20yyyxeye yxey所以：（5 分）232332(3)(1)(2)yyyyexeeyyxey4 221(1)(1)xdxxx 解：（3 分）222111111(1)(1)2121(1)xdxdxdxdxxxxxx （5 分）211ln|1|21xcx5 1154xdxx 解：设 （2 分）2554,42ttxt xdxdt （4 分）112131(5)854xdxtdtx （5 分）331111(5)|836tt6 220cosxexdx解：解：（2 分）22222200011coscos|sin22xxxexdxexexdx （4 分）22220011 11(sin|cos)22 22xxexexdx.（5 分）2202cos5xeexdx 四设四设选择合适的选择合适的，使得，使得处处可导。处处可导。（本题（本题 6 6 分）分）220()10 xeaxf xxbxx,a b()f x 解：解：因为在处连续，所以有()f x0 x 200lim(2)lim(1)xxxeaxbx 即 （3 分）1a 又因为在处可导，所以有()f x0 x 00lim 2lim(2)xxxexb 即 （6 分）2b 五五.设设，常数，常数，证明，证明 （本题（本题 6 6 分）分）0 x ae()aa xaxa解：解：设 （2()ln()()lnf xaxaaxa分）()ln0afxaxa所以单调减少，而，当时，（5 分）()f x(0)0f0 x()(0)f xf即 （6 分）()aa xaxa六六 设函数设函数，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性()lnsec,(,)2 2f xx x （本题（本题 6 6 分）分）解：解：（2 分）()tanfxx 在，所以函数在单调减少 （3 分）(,0),()02fx()f x(,0)2 在，所以函数在单调增加 （4 分）(0,),()02fx()f x(0,)2 ，所以该函数的图形是凹的 （6 分）2()sec0fxx七七 解微分方程解微分方程（本题（本题 6 6 分）分）22dyydxxxy得分得分得分得分.解解 微分方程变形为 （1 分）211()ydyxdxyx 令 ，则 （2 分）yux211duuuxdxu 将上式分离变量两边积分得 （4 分）22111udxduxuu 则 2ln(11)ln|uxc 即 （6 分）22()yc xc八八 设曲线设曲线上某点上某点处作一切线，使之与曲线以及处作一切线，使之与曲线以及轴围成的面积为轴围成的面积为，2(0)yxxAx112试求试求（1 1）过切点）过切点的切线方程的切线方程A（2 2）有上述所围成的平面图形绕）有上述所围成的平面图形绕轴一周所得旋转体的体积（本题轴一周所得旋转体的体积（本题 1010 分）分）x 解：解：（1）设的坐标为，那么过的切线方程A00(,)xyA可表示为 （2 分）2002yx xx切线与轴的交点，所以所围成的面积为x0(,0)2x （5 分）200022232000021(2)12xxxSx dxxx xxdxx所以，即 （6 分）01x(1,1)A（2）平面图形绕轴一周所得旋转体的体积为x （10 分）114102(21)30Vx dxxdx得分