数理统计试题及答案.pdf

数理统计考试试卷数理统计考试试卷一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）1、总体的容量分别为 10，15 的两独立样本均值差_；)3,20(NXYX 2、设为取自总体的一个样本，若已知,则1621,.,XXX)5.0,0(2NX0.32)16(201.0=_；81612iiXP3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为),(2NX2n的置信区间为，则的值为_；1),(XX4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已nXXX,.,21),(2NX知关于检验的拒绝域为2，则相应的备择假设为_；2)1(21n1H5、设总体，已知，在显著性水平 0.05 下，检验假设,),(2NX200:H，拒绝域是_。01:H1、；2、0.01；3、；4、；5、。)210(他NnSnt)1(220205.0zz二、选择题（本题 15 分，每题 3 分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。321,XXXX（A）（B）（C）（D）)(321XXX321XXX3211XXX231)(31iiX2、设为取自总体的样本，为样本均值，nXXX,.,21),(2NXX，则服从自由度为的 分布的统计量为（）。212)(1XXnSinin1nt（A）（B）（C）（D）他Xn(nSXn)(他Xn(1nSXn)(13、设是来自总体的样本，存在，,nXXX,212)(XD212)(11XXnSini则（）。（A）是的矩估计（B）是的极大似然估计2S22S2（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有2S22S2关4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别),(),(222211NYNX21,nn为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。2221,SS2221122210:,:HH（A）（B）)1,1(122122nnFss)1,1(12212122nnFss（C）（D）)1,1(212122nnFss)1,1(21212122nnFss 5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已),(2NX2nxxx,21知的置信水平为 0.95 的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假05.0设的结果是（）。0.5:,0.5:10HH（A）不能确定 （B）接受 （C）拒绝 （D）条件不足无法检验0H0H 1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题 14 分）设随机变量 X 的概率密度为：，其中未知他他xxxf0,0,2)(2参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。0nXX,1X解：(1)，322)()(022xdxxdxfxXE令，得为参数的矩估计量。32)(XXEX23(2)似然函数为：，),2,1(,022),(1212nixxxxLiniinnniii他而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。)(L,max21nXXX四、（本题 14 分）设总体，且是样本观察值，样本方差，),0(2NX1021,xxx22s（1）求的置信水平为 0.95 的置信区间；（2）已知，求的置2)1(222XY 32XD信水平为 0.95 的置信区间；（，）。70.2)9(2975.0023.19)9(2025.0解：（1）的置信水平为 0.95 的置信区间为，即为（0.9462，6.6667）；2)9(18,)9(182975.02025.0（2）=；32XD2222222)1(11DXD由于是的单调减少函数，置信区间为，2322XD2222,2即为（0.3000，2.1137）。五、（本题 10 分）设总体服从参数为的指数分布，其中未知，为取X0nXX,1自总体的样本，若已知，求：X)2(221nXUnii（1）的置信水平为的单侧置信下限；1（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16 的样本，测得样本均值为 5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为 0.90 的单侧置信下限。)585.42)32(,985.44)31(210.0205.0解：(1),1)2(2,1)2(222nXnPnXnP即的单侧置信下限为；（2）。)2(22nXn706.3764585.425010162六、（本题 14 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，今阶段)1,10(NX性抽取 10 个水样，测得平均浓度为 10.8（mg/L），标准差为 1.2（mg/L），问该工厂生产是否正常？（）220.0250.0250.9750.05,(9)2.2622,(9)19.023,(9)2.700t解：（1）检验假设 H0：2=1，H1：21；取统计量：；2022)1(sn 拒绝域为：2=2.70 或2=19.023，)9()1(2975.0221n2025.022)1(n经计算：，由于2，96.1212.19)1(22022sn)023.19,700.2(96.122故接受 H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。（2）检验假设；取统计量：；101010他他他HH10/10SXt)9(2t拒绝域为；2.2622，所以接受，2622.2)9(025.0tt1028.210/2.1108.10t0H即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10（mg/L）。综上，认为工厂生产正常。七、（本题 10 分）设为取自总体的样本，对假设检验问题4321,XXXX)4,(2NX，（1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域；（2）若=6，求上述检验所5:,5:10HH犯的第二类错误的概率。解：(1)拒绝域为;96.1254/45025.0zxxz（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6 时，接受的概率为0H。921.02608.12692.892.808.1XP八、（本题 8 分）设随机变量服从自由度为的分布，(1)证明：随机变量服从X),(nmFX1自由度为的分布；(2)若，且，求的值。),(mnFnm 05.0XP1XP证明：因为,由分布的定义可令，其中，),(nmFXFnVmUX/)(),(22nVmU与相互独立，所以。UV),(/1mnFmUnVX当时，与服从自由度为的分布，故有，nm XX1),(nnFXP1XP从而 。95.005.0111111XPXPXPXP数理统计试卷参考答案数理统计试卷参考答案一、填空题（本题 15 分，每题 3 分）1、；2、0.01；3、；4、；5、。)210(他NnSnt)1(220205.0zz二、选择题（本题 15 分，每题 3 分）1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题 14 分）解：(1)，322)()(022xdxxdxfxXE令，得为参数的矩估计量。32)(XXEX23(2)似然函数为：，),2,1(,022),(1212nixxxxLiniinnniii他而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。)(L,max21nXXX四、（本题 14 分）解：（1）的置信水平为 0.95 的置信区间为，即为（0.9462，6.6667）；2)9(18,)9(182975.02025.0（2）=；32XD2222222)1(11DXD由于是的单调减少函数，置信区间为，2322XD2222,2即为（0.3000，2.1137）。五、（本题 10 分）解：(1),1)2(2,1)2(222nXnPnXnP即的单侧置信下限为；（2）。)2(22nXn706.3764585.425010162六、（本题 14 分）解：（1）检验假设 H0：2=1，H1：21；取统计量：；2022)1(sn 拒绝域为：2=2.70 或2=19.023，)9()1(2975.0221n2025.022)1(n经计算：，由于2，96.1212.19)1(22022sn)023.19,700.2(96.122故接受 H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。（2）检验假设；取统计量：；101010他他他HH10/10SXt)9(2t拒绝域为；2.2622，所以接受，2622.2)9(025.0tt1028.210/2.1108.10t0H即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 10（mg/L）。综上，认为工厂生产正常。七、（本题 10 分）解：(1)拒绝域为;96.1254/45025.0zxxz（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6 时，接受的概率为0H。921.02608.12692.892.808.1XP八、（本题 8 分）证明：因为,由分布的定义可令，其中),(nmFXFnVmUX/，与相互独立，所以。)(),(22nVmUUV),(/1mnFmUnVX当时，与服从自由度为的分布，故有，nm XX1),(nnFXP1XP从而 。95.005.0111111XPXPXPXP