高一数学函数的基本性质知识点及练习题(含答案).pdf

第 1 页 共 4 页函数的基本性质函数的基本性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；1 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x2也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；1 确定 f(x)与 f(x)的关系；2 作出相应结论：3若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：()f x()g x12,D D奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；1 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)2（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y=fg(x)，其中 u=g(x),A 是 y=fg(x)定义域的某个区间，B 是映射 g:xu=g(x)的象集：若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，y=f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y=fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y=f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y=fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x1x2；1 作差 f(x1)f(x2)；2 变形（通常是因式分解和配方）；3 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；4 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。5（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；第 2 页 共 4 页 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增)(xf)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg函数；减函数增函数是减函数。)(xf)(xg3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)=M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)=M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I，使得 f(x0)=M；1 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI，都有 f(x)M（f(x)M）。2（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；1 利用图象求函数的最大（小）值；2 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：3如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；4周期性（1）定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(x+T)=f(x)，则称 f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)=f(x)常常写作若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为),2()2(TxfTxff(x)的最小正周期；若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f(x)（0）是周期函数，且周期为。|T第 3 页 共 4 页函数的基本性质函数的基本性质一、典型选择题一、典型选择题1在区间上为增函数的是（）A B C D（考点：基本初等函数单调性）（考点：基本初等函数单调性）2函数是单调函数时，的取值范围（）A B C D（考点：二次函数单调性）（考点：二次函数单调性）3如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（）A最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值（考点：函数最值）（考点：函数最值）4函数，是（）A偶函数 B奇函数 C不具有奇偶函数 D与有关（考点：函数奇偶性）（考点：函数奇偶性）5函数在和都是增函数，若，且那么（）A B C D无法确定（考点：抽象函数单调性）（考点：抽象函数单调性）6函数在区间是增函数，则的递增区间是（）A B C D（考点：复合函数单调性）（考点：复合函数单调性）7函数在实数集上是增函数，则（）A B C D（考点：函数单调性）（考点：函数单调性）8定义在 R 上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）A B C D（考点：函数奇偶、单调性综合）（考点：函数奇偶、单调性综合）第 4 页 共 4 页9已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）A BC D.（考点：抽象函数单调性）（考点：抽象函数单调性）二、典型填空题二、典型填空题1函数在 R 上为奇函数，且，则当，.（考点：利用函数奇偶性求解析式）（考点：利用函数奇偶性求解析式）2函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .（考点：函数单调性，最值）（考点：函数单调性，最值）三、典型解答题三、典型解答题1（12 分）已知，求函数得单调递减区间.（考点：复合函数单调区间求法）（考点：复合函数单调区间求法）2（12 分）已知，求.（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）一、BAABDBAAD 二、1；2和，；三、3 解：函数，故函数的单调递减区间为.4解：已知中为奇函数，即=中，也即，得，.