图形中的趣题.doc

《图形中的趣题》活动方案
一、活动目的
人们普遍把数学教学视为“思维的体操”，这自然是有道理的。但在实际上又常常仅侧重于逻辑思维，这就偏狭了。针对我国数学“双基”教学的薄弱环节，特别强调在培养学生发散思维、创造思维上进行教学设计是适当的。根据现实的需要，我们必须适当拓展中学数学习题的观念，构建基础性训练与探索性训练相结合的习题体系，通过设计数学问题，培养学生的发散性、创造性思维，有效改进学生的学习。下面是一个探索性课题。
二、活动内容
一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线。我们可以看到图1中三角形的三条中位线把这个三角形分成了4个小的三角形，而且这些小的三角形都是全等的。

图1 图2 图3
把三条边都分成三等分，再按图2将分点连起来，可以看到整个三角形被分成了9个小的三角形，而且这些小的三角形也都是全等的。我们还可以把三条边都分成四等分如图3，再似图1、图2那样将分点连起来，可以看到整个三角形被分成了一个个更小的全等三角形。
现在请你和你的同学起参与如下的探索活动：
（一）、收集数据:
1． 数一数图1、图2中的点、线段和全等三角形的个数，用一张表记录下来；
2． 再把三条边都分成四等分，似图1、图2、图3那样将分点连起来，数一数这时的点、线段和全等三角形的个数，也记录在相应的表格中；
三角形的边的等分数k
点的个数
线段的个数
全等三角形的个数
2

3

4

（二）、数据分析
3． 仔细分析所得到的一些数据，相互交流讨论，想一想其中有什么关系；
三角形的边的等分数k
点的个数
线段的个数
全等三角形的个数
2
6
9
4
3
10
18
9
4
15
30
16
猜想1：全等三角形的个数等于等分数的平方。即，， 。
猜想2：线段的条数都是3的倍数。
猜想3：点的个数，，
猜想4：线段的条数和点的个数的关系：，，
猜想5：线段的条数，，
猜想6：＝，，，
猜想7：┉┉┉┉┉
继续把三条边都分成五、六……等分、似图1、图2那样将分点连起来，数一数这时的点、线段和全等三角形的个数，看看与你的猜想是否符合；

三角形的边的等分数k
点的个数
线段的个数
全等三角形的个数
2
6
9
4
3
10
18
9
4
15
30
16
5
21
45
25
6
28
63
36
…
…
…
…
n

通过对当k＝2,3,4,5,6时，，，的值的观察，探究它们之间的关系，
＝，，，
下面我们研究的求和：
不妨设，那么对这一组数进行倒序即。把两个数组对齐上下逐逐项累加，得

所以＝，，
（三）、结构分析
以上我们对它们从代数方面进行考虑，通过找数据的规律得出了点、线段、小三角形个数与边的等分数k之间的关系。那么由它们的几何结构我们能否得到相应的结论呢？
1. 如果我们仅看图形中的点不难发现每一层都比上一层多一点，那么等分成k份就有了k+1层的点，这就解释了为什么
所以
2. 如果我们把图形中的线段也用分层的方法来看，每三条线段看成是一个三角形的三条边，不难发现每一层都比上一层多一个三角形。那么等分成k份就有了k层三角形，所以
即
3. 对于图中三角形的个数就比较容易一些，把两个相同的图形拼成一个平行四边形，按照三角形的等分方法可以看出平行四边形被等分成个小平行四边形，每一个小平行四边形由两个小全等三角形构成。所以一共有个小全等三角形。即＝，＝。
（四）、归纳总结
问题解决思路：一、是通过观察图形搜集数据；二、是运用数据分析发现事实并进行猜想；三、是通过数据的结构分析进行严格证明；四、是基于直觉和图形的几何结构创造性地理解事实。通过数形的结合，最后给出问题的解答。
活动总结和反思
要培养学生的创造力，这是个较好的例子，可供学生在自我监控的思路下，找到不同的解题思路，提出不同的猜想，从不同方面去解决问题。于是，可以对它隐含的知识和能力标准作出如下分析：
(1)几何和测量概念(观察平面图形，想象小三角形递增序列的几何模型)；
(2)函数和代数概念(用公式对给出的情境构建模型，运用和处理变量表达式，运用函数作结构分析；
(3)数学技能和工作(学生制作和运用粗略的表格和图式，提高理解力)；
(4)数学交流(由学生自行筹划工作，系统、简明、清晰、准确地表示出数学步骤和结果)。