第9讲-二元一次方程的整数解(含答案).pdf

-1-（9 9）二元一次方程的整数解）二元一次方程的整数解【知识精读知识精读】1、二元一次方程整数解存在的条件：二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1,5x2y=7,9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x2y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2、二元一次方程整数解的求法：二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。方法一：整除法方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x=(1),5111yyyyy2515101 设是整数），则 y=15k(2),kky(51把（2）代入（1）得 x=k2(15k)=11k2原方程所有的整数解是（k 是整数）kykx51211方法二：公式法方法二：公式法：设 ax+by=c 有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）00yyxxakyybkxx003、求二元一次方程的正整数解：求二元一次方程的正整数解：i.出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值ii.用观察法直接写出。【分类解析分类解析】例例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解解：x=53235310155918yyyyy-2-设（k 为整数），y=35k,代入得 x=99k ky53 原方程整数解是（k 为整数）kykx5399又解：当 x=o 时，y=2，方程有一个整数解它的通解是（k 为整数）20yxkyyx5290从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解解：x=(1)，52056100yyy 设(k 为整数)，则 y=5k,(2)ky5把（2）代入（1）得 x=206k，解不等式组得 0k,k 的整数解是 1，2，3，00yx050620kk620正整数解是514yx108yx152yx例例 3 甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？解：设甲种书买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得 3x+5y=38（x,y 都是正整数）x1 时，y=7，是一个整数解71yx通解是（k 为整数）kykx3751解不等式组得解集是整数 k=0，1，2037051kk3751k把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。-3-【实战模拟实战模拟】，1、求下列方程的整数解公式法：x+7y=4,5x11y=3整除法：3x+10y=1,11x+3y=42,、求方程的正整数解：5x+7y=87；5x+3y=1103、一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4、兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁数。5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）4x2y=11,10 x5y=70,9x+3y=111,18x9y=98,91x13y=169,120 x+121y=324.6、一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同学得 48 分，他最多得几分？7、用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解：y=142x=371y-4-参考答案参考答案1.公式法由特解得通解（k 为整数）04yxkykx074由特解得通解（为 k 整数）25yxkykx52115 整除法x=3y,通解是（k 为整数）3101y31ykykx31310通解是（k 为整数）kykx115132.11669112yxyxyxkykx503220322k3.有 6 种截法345乙甲2810乙甲2215乙甲1620乙甲1025乙甲519乙甲4.16，135.A，D.6.127.（略）