高中数学必修5《数列》知识点总结及题型分析.pdf

高中数学必修高中数学必修 55数列数列知识点总结及题型分析知识点总结及题型分析1 1概念与公式：概念与公式：等差数列：1.定义：若数列称等差数列；),(1nnnnadaaa则常数满足2.通项公式：;)()1(1dknadnaakn3.前n项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn等比数列：1.定义若数列（常数），则称等比数列；qaaannn1满足na2.通项公式：.;11knknnqaqaa3.前 n 项和公式：当 q=1 时),1(1)1(111qqqaqqaaSnnn.1naSn2 2简单性质：简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaa1.若是等差数列，则na;23121nnnaaaaaa2.若是等比数列，则na.23121nnnaaaaaa中项及性质：1.设a，A，b成等差数列，则 A 称a、b的等差中项，且;2baA2.设a,G,b成等比数列，则 G 称a、b的等比中项，且.abG设p、q、r、s为正整数，且,srqp1.若是等差数列，则 na;srqpaaaa2.若是等比数列，则na;srqpaaaa顺次 n 项和性质：1.若是公差为d的等差数列，组成公差为 n2d 的等差数列；nanknnknnkkkkaaa121312,则2.若是公比为q的等比数列，组成公比为qn的等比数列.nanknnknnkkkkaaa121312,则（注意：当q=1，n为偶数时这个结论不成立）若是等比数列，na则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,2nq列.若是公差为 d 的等差数列,na1.若n为奇数，则而 S 奇、S,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2.若n为偶数，则.2ndSS奇偶3.3.正确理解与运用等差、等比数列基本公式正确理解与运用等差、等比数列基本公式1.注意公差 d0 的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d0 的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比q1 的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.4 4巧设巧设“公差、公比公差、公比”是解决问题的重要方法是解决问题的重要方法三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”qa四数成等差数列，可设四数为：“”);3,3(3,2,mamamamamamamaa或四数成等比数列，可设四数为“”),(,3332aqaqqaqaaqaqaqa或5.5.由递推公式求通项公式的方法由递推公式求通项公式的方法型数列，（其中不是常值函数)1()nnaaf n()f n 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有1()nnaaf n21321(1),(2),(1).nnaafaafaaf n将上述个式子累加，变成，进而求解。1n1(1)(2)(1)naafff n例 1.在数列中,na112,21,.nnnaaana求解：依题意有213211,3,23nnaaaaaan逐项累加有，从而221(123)(1)1 323(1)212nnnaannnn 求得：。223nann型数列，（其中不是常值函数)(1nfaann()f n此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有1()nnaf na32121(1),(2),(1)nnaaafff naaa将上述个式子累乘，变成，进而求解。1n1(1)(2)(1)nafff na例 2.已知数列中，求的通项公式。na11123,(2)321nnnaaannna解：当时，将这个式子累乘，得到2n 324123113523,57921nnaaaanaaaan1n，从而，当时，11 3(21)(21)naann21 311(21)(21)341nannn1n，所以。1211413an2141nan型数列qpaann1此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种：一是待定系数法构造，设，展开整理)(1mapmann，比较系数有，所以，所以是等比1nnapapmmpmmb1bmp1nbap数列，公比为，首项为。二是用作差法直接构造，,p11bap1nnapaq，两式相减有，所以是公比为的等比数1nnapaq11()nnnnaap aa1nnaap列。例 3.在数列中，当时，有，求的通项公式。na11a 2n 132nnaana解法 1：设，即有13()nnamam132nnaam对比，得，于是得，即132nnaa1m 113(1)nnaa 3111nnaa所以数列是以为首项，以 3 为公比的等比数列 则1na 112a 。12 31nna解法 2：由已知递推式，得，1132,32,(2)nnnnaaaan上述两式相减，得，即113()nnnnaaaa311nnnnaaaa因此，数列是以为首项，以 3 为公比的等比数列。所以1nnaa214aa，即，所以。114 3nnnaa1324 3nnnaa12 31nna型数列（p 为常数）nfpaann1此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.111nnnnnpnfpapannpana例 4 已知数列满足,求.na1111,32nnnaaana解:将已知递推式两边同除以得,12n1131222nnnnaa设,故有，,从而.2nnnab 132(2)2nnbb15 322nnnb115 32nnna 例 5已知数列满足 na1111,2,21,.2nnnanaana当时求解:作,则,代入已知递推nnbaAnBnnabAnB11(1)nnabA nB式中得:.11111(2)(1)2222nnbbAnAB令 这时且1202111022AAB 46AB 112nnbb46nnban显然,所以.132nnb13462nnan型数列（为非零常数）CBaAaannnCBA,这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。1nnapaq例 6已知数列满足,求.na1122,2nnnaaaana解:两边取倒数得:,所以，故有。11112nnaa1111(1)22nnnaa2nan型数列（为常数）nnnqapaa12,p q这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。nnnnaaaa112例 7数列中，且，求.na,3,221aa2,211nNnaaannnna