基于“合情推理能力”培养的高中数学教学.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）问题探索作者简介院于美娟（1987），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，海安市骨干教师.基于“合情推理能力”培养的高中数学教学于美娟江苏省海安高级中学226600咱摘要暂 虽然合情推理在日常生活中无处不在袁却难以达到数学精确水平.猜想是合情推理的主要形态袁合理猜想是具有良好直觉的高级认知活动过程.文章从合情推理的内涵与价值出发袁具体谈谈数学探究思维活动流程袁并从公式尧定理与例题教学三方面对合情推理能力的培养措施展开分析.关键词合情推理曰公式曰定理曰解题波利亚认为袁在我们的日常交流尧思维尧艺术表演以及最高学科成就中到处都充满了合情推理袁虽然合情推理无处不在袁却难以达到数学精确水平.他还提出袁不管是初等数学还是高等数学袁抑或其他学科袁都不能缺乏合情推理过程袁合情推理在所有的发现中都有着重要作用.新课标也着重强调数学教学要注重发展学生的应用意识与推理能力.合情推理的内涵与价值合情推理是指在认知心理活动过程中袁从感性直观到知性探究的过程袁它与演绎推理的逻辑形式有所不同袁直觉尧归纳与类比是它惯用的思维方式.猜想是合情推理的主要形态袁合理猜想是具有良好直觉的高级认知活动过程袁一般以知识的形成作为思维的起点.那么袁在什么情况下袁数学教学需要合情推理的辅助呢钥康德哲学学说认为袁主体一般会利用自身意识中直观性的先验格式来罗列万象袁整顿乾坤袁即外于主体的客体信息为人类已有的观念赋予了它结构与意义袁这种赋予外在信息意义的过程源于感性直观和知性探究.也就是说在学习者的思维活动中袁获得决定问题信息的本质结构袁才能组织好外在信息袁利用数学知识生成有价值的知识轮廓.那么袁赋予数学化信息结构与意义的过程是怎样的呢钥如图1所示袁首先袁主体从外在信息中确定支点信息袁而这个心理活动又由外在信息与已有的知识结构互相诱导尧调整而来曰其次袁支点信息形成野凝聚核冶后袁诸多外在信息则形成网络式轮廓曰最后袁信息轮廓提示主体选择相应的知识封装成网络式轮廓袁形成新的信息结构图.综上可知袁分析数学问题信息时袁主体对信息的结构并没有十足把握.因此需要从信息的某个支点出发袁将信息组织成带有结构意义的脉络袁这一切都离不开合情推理的作用.培养合情推理的具体措施概念尧公式尧定理尧法则等是数学教学的基础袁也是数学解题之源.原理命题的发现与证明过程袁都离不开数学化外在信息支点信息支点信息生成结构轮廓数学知识框架数学观念的作用意识机能的作用项目间比对匹配反馈与调控匹配失败重组信息图1数学探究思维活动框架图56投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（下旬）问题探索合情推理的应用.因此袁公式尧定理与解题教学也是发展学生合情推理能力的必经之路.1.立足公式教学袁培养合情推理能力有些教师认为袁学生只要记住公式就可以了袁至于公式的来龙去脉没有必要弄清楚.殊不知袁公式是解题的基础袁学生只有做到野知其然且知其所以然冶袁才能准确地应用公式.淡化公式推导过程不仅会严重消减学生对公式的重视程度袁还会阻碍学生合情推理能力的发展.案例1野等差数列的前n项和公式冶的教学.对于等差数列的前n项和公式袁基本上从特殊对象着手开始研究袁再逐步扩展到一般情况袁即应用从特殊到一般的数学思想方法推导公式.比如先提出问题野1+2+噎+100=钥 冶而后推广问题野1+2+噎+n=钥冶野a1+a2+噎+an=钥冶袁最后总结方法野配对求和冶野倒序相加求和冶.笔者按照上述思路在一个班上了一节课袁有两点感受院淤学生并不会将等差数列的前n项和公式与高斯算法联系到一起袁即使在教师的点拨下袁也无法顺利从高斯算法中得到启示袁自主实现倒序相加法的思维转换曰于讨论高斯算法时袁学生的兴致较高袁但对于其算理的研究以及倒序相加法的转换袁学生表现的是茫然的状态.因此只能将倒序相加法强硬地灌输给学生袁 在这种高压措施下袁野顺利冶 完成了等差数列的前n项和公式的推导.虽说最终完成了教学任务袁但学生并没有从本源上认识到倒序相加法的原理袁为后续实际应用埋下了隐患.为此袁在另一班授课时袁笔者进行了如下改进院与学生从求和符号开始进行讨论袁分析等差数列喳葬灶札的前灶项和用数学中常用的求和字母Sn来表示袁即Sn=a1+a2+噎+an淤.若对式淤进行逐项相加计算袁则计算过程冗长烦琐袁而且容易出现失误袁这就要考虑使用一种简单的求和方法进行计算袁由此引发了如下互动过程.生1院可以结合等差数列的性质袁探索式淤的简单表达式袁即求和公式.师院英雄所见略同袁那么表达式的结构是什么样子的呢钥如果表达式确实存在袁 那么在其结构形式中袁可能存在哪些组成元素钥渊学生沉默冤师院现在我们从以下几方面去思考院式淤的右边存在n项袁n为变量袁其变化必然引起Sn的变化曰结合等差数列的通项公式不难发现袁若能确定等差数列中的某两项袁或者确定公差与等差数列中的某一项袁那么这个数列也就明确了.这能给我们带来启示吗钥生2院如果一个等差数列明确了袁那么该数列的前n项和应该也是确定的.师院非常好浴 若这种猜想是正确的袁则Sn表达结构中的元素有哪些钥生3院若猜想正确袁则可能存在n袁因为前n项和的值会随着项数的变化而变化.生4院还可能存在式淤右侧n项中的两项.师院很好浴 对于生3的想法袁比较容易理解.如果n是确定的袁那么数列的前n项和必然也是确定的.现在请生4说说你的想法.生4院鉴于等差数列求和公式包含其所有项袁因此其表达式就必须反映出该数列的所有项.根据等差数列的特殊性袁若知道其中两项即可确定其所有项袁换个角度理解袁就是Sn的表达式仅需包含等差数列中的两项就能将问题表达清楚袁而且这两项必须是相加的关系.师院非常好浴你的洞察力很强袁提出的猜想也非常合理.如果这种猜想成立的话袁我们可以尝试在式淤右侧的n项中取两个特殊项袁如a1与an袁那么Sn的表达式则含有a1袁an与n三个元素袁而a1与an必然以加法算式整体呈现.生5院如果Sn的表达式含有这几个元素袁那么根据等差数列的通项公式袁是不是也可以用n袁a1袁d来表达Sn钥师院非常好浴生5的思路非常清晰袁希望大家能像他一样拥有钻研精神袁也希望你课后能继续研究下去袁相信一定会有所收获.现在我们以a1袁an与n三个元素来表达Sn袁鉴于a1袁an为等差数列中已知的项袁那么唯一会发生变化的元素只有n袁也就是说可以将Sn视为关于n的函数袁即Sn=f渊n冤.接下来就要思考如何确定函数Sn=f渊n冤的表达式.生6院可以从特例着手进行分析袁如S2=a1+a2于.师院这种探索思路对解决数学问题具有很大的帮助.之前猜想的是Sn为n的函数噎噎生7渊打断教师冤院我认为S2=a1+a2这个式子的右侧应该用n=2来表达袁即S2=2渊a1+a2冤2.师院太棒了浴那么S3=a1+a2+a3盂该怎么处理呢钥生8院结合之前的猜想袁S3可以用n袁a1袁a3来表达袁去掉a2即可.根据等差数列的性质可知a1+a3=2a2袁因此a2=a1+a32榆袁将式榆代入式盂袁得S3=a1+a1+a32+a3=3渊a1+a3冤2虞.师院这是关键的一步.现在我们来看看S4的表达式袁因为a1+a4=a2+a3袁所以S4=2渊a1+a4冤愚.式愚不含4袁这该怎么处理呢钥生9院式愚可以化为S4=4渊a1+a4冤2.57投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）师院很好浴综上分析袁咱们可以猜想出Sn的表达式了吗钥生10院Sn=n渊a1+an冤2.观察改进后的教学过程袁发现公式教学的真正价值并不在于公式推导或公式证明的逻辑过程袁而在于公式结构探索的过程.公式推导或证明只能说明该公式是正确尧可靠的袁而公式结构的探索则需要学生从零起点开始袁通过智力的投入与思维的介入袁才能促使公式诞生.该过程是助力学生合情推理能力和探究能力发展的过程.2.关注定理教学袁培养合情推理能力定理是数学解题的依据袁是在原命题的基础上袁通过证明获得的新命题袁它对发展学生的合情推理能力尧数学思维能力以及探究能力都有重要的促进作用.关注定理教学袁带领学生亲历定理形成与发展的过程袁是将课堂转移到野何以学会冶的基础.案例2 野正弦定理冶的教学.笔者首先呈现图2袁提出这是一个三条边与三个角各不相等的三角形袁要求学生判别这个三角形的三个角和它们各自所对的边具有怎样的关系.学生通过直观观察袁很快就提到野大角对长边或长边对大角冶.根据这个猜想袁获得结论院当C跃B跃A淤时袁则c跃b跃a于袁即在同一个三角形中袁角和边的大小呈一种互相依存的关系.ABCabc图2上述学生自主探索而来的结论属于定性结论袁定性是科学或哲学研究常用的方法袁数学对定性研究还需要进一步准确刻画袁增加定量的研究过程.师院对于式淤和式于这两个有一定联系的不等式袁是否可以定量刻画钥生11院从三角形的三个角与三条边的关联情况袁可以推测出定量关系Aa=Bb=Cc盂袁角度为弧度制单位.师院很好浴这个猜想是否成立呢钥生12院可以拿有仔6的直角三角形来验证袁式盂显然不成立.师院是否有其他意见或想法钥生13院尝试将式盂中的角分别取正弦值尧余弦值与正切值进行分析袁也就是sinAa=sinBb=sinCc榆袁cosAa=cosBb=cosCc虞袁tanAa=tanBb=tanCc愚袁再检验这三个式子是否成立.生14院式虞和式愚根本就不需要检验袁取C=仔2就可知袁这两个式子都不成立.师院式榆成立吗钥学生经讨论分析袁发现式榆是成立的.关于三角形的边角关系袁学生在初中阶段就有所接触.学生从野大角对长边或长边对大角冶出发袁猜想并构造式盂袁通过检验发现式盂并不正确袁由此引出新式榆尧新式虞和新式愚袁当式虞和式愚被直接否定后袁剩下的式榆需要想办法去证明.合情推理过程在定理教学中的作用不言而喻袁一环扣一环的猜想尧验证袁为知识的获得奠定了基础.教师若为了教学进度袁直接将定理展示给学生袁省略学生自主探索尧猜想与验证的过程袁则学生会因缺乏推理过程袁对定理感到陌生袁应用定理时难免出现各种问题.3.强化解题教学袁培养合情推理能力合情推理能力的发展对构建解题技巧尧提升解题能力具有直接影响.有些教师为了让学生接触更多的题型袁解题教学中常常关注学生野怎么解冶袁而忽略野为什么这么解冶.其实袁解题思路与方法的提炼尧总结袁是实现触类旁通的基础袁亦是培养学生数学合情推理能力的根本.案例3 野数列冶的解题教学.问题院已知数列喳葬灶札与喳遭灶札的各项都是正数袁且满足aa+1=an+bn葬2n+b2n姨渊n沂N*冤淤.bn+1=2 姨bnan渊n沂N*冤于.若喳葬灶札为等比数列袁分别求a1袁b1.式淤和式于难以配合在一起袁若将式于变形为bn+1bn=2 姨an袁则可以猜想院若数列喳遭灶札为等比数列袁则喳葬灶札必然是公比为1的常数列.由于题目没有直接给出喳遭灶札为等比数列的条件袁因此需要从猜想出发袁从式淤中探寻an是常数的条件.根据式淤的结构考虑到基本不等式袁从数列喳葬灶札与喳遭灶札都是正项数列的条件可知a2n+b2n问题探索58