沪教版七年级第九章整式.doc

第九章 整式1. 关于整式的有关概念（1）用含字母的式子表示数 在我们学方程的时候，学会了用x来表示一个未知的、题目中未出现、我们需要求的数，或者是我们必须要知道的中间量。这个时候我们就在开始学习用字母来表示数了。我们通常设未知数的时候，常用的是字母x，在学了二元一次和三元一次方程后，也会使用y、z来表示未知数字。所以在用字母表示数的时候，并不局限于几个字母。 用字母表示数时，可以使用x或者其他字母例如m（2）代数式 用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。例如一个式子3x+9或者，同时需要注意的是，（单独的数字或字母也是代数式） 代数式的书写 A、数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常不写或写成“ ”。但数和数相乘不遵循此原则。 B、数字与字母相乘，数字写在字母前面，有理数要写在无理数前面。一般情况，就是分数和整数要写在根式前面。 C、数字是1或者-1时，“1”省略不写。如ab和-ab。 D、若字母因数是带分数，要化成假分数。 E、式子中出现除法时，要写成分数形式。 F、相同字母相乘通常不把每个因式都写出来，而是写成幂的形式。 G、代数式不能含有“=、”符号。 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，根据代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。 A、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加乘号。 B、若带入的值是负数，应添上括号。 C、解题的格式，“当x/y/x=时，原式=”。 D、实际问题中代数式的所取的值应使实际问题有意义。（3）整式 单项式 A、定义：由数字与字母的乘积组成的代数式称为单项式，单独有一个数字或字母也是单项式。单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式； B、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。a或-ab这种只有字母的单项式，系数分别为1或-1。单项式的系数应该包括它前面的符号。特别的，是无线不循环小数（无理数），应该看作系数的一部分。 C、次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如a2b3c4d，次数就是2+3+4+1=10。其中d的次数是1.字母的指数是1时，指数省略不写。 多项式 A、定义：几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。为什么说是几个单项式的“和”，例如x-y，其实是x+（-y）。所以多项式的每一项都包括它前面的符号。 多项式的项数指多项式中所包含的单项式的个数。 B、次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如x2+2x+8中次数最高项是二次项x2，所以这个多项式的次数是2.并不是所有项的次数和。 C、多项式的次数依赖于其中各单项式的次数，由其中各单项式的最高次数决定整个多项式的次数。多项式中次数最高的项不一定只有一项，有可能有很多项，甚至每一项的次数都是一样的。 D、一个多项式，可根据次数和项数将其叫做“几次几项式”。例如x2-2x+y2，叫做二次三项式。 整式 单项式和多项式统称为整式。2. 整式的加减（1）合并同类项 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 合并同类项 A、定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 B、法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数。（2）整式的加减 整式的加减运算法则 一般的，几个整式相加，有括号就先去括号，然后再合并同类项。 此时会涉及到使用去括号法则，需要注意括号前的符号，去括号后括号内的项是否需要变号。 如有必要，有时候会涉及到添括号法则，需注意添加的括号前的符号，以及添加括号后括号内的项是否需要变号。 整式的化简求值 整式的化简求值是以整式的加减为基础的，具体步骤为： A、化简：通过去括号，合并同类项将整式化简。 B、把一直的字母或某个整式的取值带入化简后的式子。 C、依据有理数的混合运算法则进行计算。3. 整式的乘除（1）幂和乘方 同底数幂的乘法 am，a是底数，m是幂。 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：aman=am+n（m、n都是正整数） A、三个或三个以上同底数幂相乘，法则也同样适用。 B、不要忽略掉指数是1的因数，因为a=a1 C、底数可以是数，也可以是单项式或者多项式。 D、有时候需要法则的逆用，既：amn=aman（m、n都是正整数） E、同底数幂的乘法和整式的加法不可混淆。 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减：aman=am-n（m、n都是正整数） 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘：（am）n=amn（m、n都是正整数） A、此法则可推广为（am）np=amnp（m、n、p都是正整数） B、此法则同样可以逆用。 积的乘方 积的乘方，就是把每一个因式分别乘方：（abc）n=anbncn（n是正整数） A、三个或三个以上因式，法则也同样适用。 B、此法则同样可以逆用。 任何一个不为零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数：（a0，p是正整数） 任何不等于0的数的0次幂都等于1：a0=1（a0） 若a=0，式子无意义。（2）整式的乘法 单项式与单项式相乘 把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式与多项式相乘 先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式乘多项式，实际上是用分配率【a（b+c）=ab+ac】向单项式相乘转化。 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。既：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd 在计算整式的乘法过程中应注意一下几个问题： A、无论是多项式还是单项式相乘，每一项都包括前面的符号，运算过程中需要注意和确定积中各项的符号。 B、相乘所得的积中，有同类项的必须要合并同类项，以得到最简的结果。 C、尤其在多项式乘以多项式中，要防止漏项。（3）整式的除法 单项式除以单项式 把系数与同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式 先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。4. 因式分解（1）乘法公式 平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 平方差公式是多项式乘法（a+b）（c+d）的特殊形式，既c=a，d=-b。 公式中的字母a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。 完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2， （a-b）2=a2-2ab+b2， 完全平方公式是多项式乘法（a+b）（c+d）的特殊形式，既c=a，d=b。（2）因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法都是整式的变形，但是过程相反。 分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止。 因式分解的结果必须是几个因式积的形式，若有相同的因式，则写成幂的形式。 因式分解的方法 A、提公因式法 公因式：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑：对于数字系数，如果是整数系数，取各项系数的最大公约时作为公因式的系数；对于字母，一是取各项相同的字母，二是各相同的字母指数取次数最低的。 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式。ab+ac+ad=a（b+c+d） B、公式法 平方差公式与完全平方公式 C、十字相乘法 形如 x2+（a+b）x+ab 型式子的因式分解。 x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）（3）公式拓展 立方和公式 a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2） 立方差公式 a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2） （a-b）（a+ab+ab2+a2b+ab+b）=a-b （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2 （a-b）3=a3-b3-3a2b+3ab2