多边形知识点及经典习题分析.pdf

第 1 页，共 12 页多边形多边形一一考点：三角形的角度，边长关系，内角和与外角和，用正多边形铺设地板考点：三角形的角度，边长关系，内角和与外角和，用正多边形铺设地板二二热点：内角和与外角和热点：内角和与外角和三三知识讲解知识讲解主要知识点：1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类.钝角三角形直角三角形锐角三角形)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、一般三角形的性质(1)三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和内角和等于 180180.推论 1：直角直角三角形的两个锐角互补锐角互补。推论 2：三角形的一个外角等于不相邻外角等于不相邻的两个内角的和和。推论 3：三角形的一个外角大于外角大于与它不相邻不相邻的任何一个内角内角。(2)三角形的三边关系：三角形任意任意两边之和大于和大于第三边,任意任意两边之差小于差小于第三边.(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。(4)三角形具有稳定性稳定性 (5)三角形的主要线段的性质(见下表)：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。名称基本性质角平分线三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；角平分线上任一点到角的两边距离相等。中线三角形的三条中线相交于一点。（重心);性质：到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍。高三角形的三条高相交于一点。（垂心）边的垂直平分线三角形的三边的垂直平分线三边的垂直平分线相交于一点（外心）（外心）；外心到三角形三个顶点的距离相等。中位线连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；性质：中位线平行第三边并且等于第三边的一半三角形(按角分按角分)三角形(按边分按边分)第 2 页，共 12 页常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。3.几种特殊三角形的特殊性质 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）这条线段所在的直线是等腰三角 形的对称轴。对称轴。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。（1）直角三角形的特殊性质：A/直角三角形的两个锐角互为余角；B/在直角三角形中如果 有一个角等于 30，那么这个角的对边等于斜边的一半；如果有一条边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角等于 30。C/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D/直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即222cba 4.三角形的面积一般三角形：S =a h（h 是a边上的高）214、多边形、1、任意任意多边形的外角和恒为外角和恒为 360360 2、多边形及多边形的对角线正多边形：各个角角都相等，相等，各条边边都相等相等的多边形叫做正多边形凸凹多边形：画出多边形的任何任何一条边所在的直线直线，若整个图形都在都在这条直线的 同一侧同一侧，这样的多边形称为凸多边形凸多边形；，若整个多边形不都不都在这条直线的同一侧同一侧，称这样的多边形为凹多边形凹多边形。多边形的对角线的条数:A.从 n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。B.n 边形共有条对角线。2)3(nn9、边形的内角和公式及外角和多边形的内角和等于（n-2）180(n3)。多边形的外角和等于 360。10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。第 3 页，共 12 页ACB第 8 第DCDBA第 14 第平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。平面镶嵌的条件条件：有公共有公共顶点点、公共边边；在一个顶一个顶点处各多边形的内角和为内角和为 360360。例 1：(基础题)在ABC 中，已知B=40，C=80，则A=（度）如图，ABC 中，A=60，C=50，则外角CBD=。已知，在ABC 中，A+B=C，那么ABC 的形状为（）A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、以上都不对下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm如果一个三角形的三边长分别为 x，2，3，那么 x 的取值范围是 。小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ 已知等腰三角形的一边长为 6，另一边长为 10，则它的周长为 在ABC 中，AB=AC，BC=10cm,A=80，则B=，C=。BD=_,CD=_如图，AB=AC，BC AD，若 BC=6，则 BD=。例 3：(提高)ABC 中，C=90，B-2A=30，则A=，B=在等腰三角形中，一个角是另一个角的 2 倍，求三个角？_：在等腰三角形中，周长为 40cm,一个边另一个边 2 倍，求三个边？_ 例 6.ABC 为等边三角形，D 是 AC 中点，E 是 BC 延长线上一点，且 CE=BC21求证：BD=DE一、选择题：等腰三角形中，一个角为 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A.150 B.80 C.50或 80 D.70 第 4 页，共 12 页2 在ABC 中，A50，B，C 的角平分线相交于点 O，则BOC 的度数是()A 65 B 115 C 130 D 1003如图，如果123，则 AM 为 的角平分线，AN 为 的角平分线。三、解答题：14、如图 4，1+2+3+4=度；15、如图；ABCD 是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在 AC 或 BD上钉上一根木条，现量得 AB=80，BC=60，CD=40，AD=50，试问所需的木条长度至少要多长？16、图 1-4-27，已知在ABC 中，AB=AC，A=40，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D.求：ADB 和CDB 的度数.18。已知等腰三角形的周长是 25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是 4。求等腰三角形各边的长。23、如图，BE、CD 相交于点 A，CF 为BCD 的平分线，EF 为BED 的平分线。试探求F 与B、D之间的关系，并说明理由。例 1、填空：（6）正二十边形的每个内角都等于 。（7）一个多边形的内角和为 1800，则它的边数为 。（8）n 多边形的每一个外角是 36，则 n 是 。（9）多边形的每一个内角都等于 150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。2C3NMB1A4 4 4 4 BCADEFDCBA 第 5 页，共 12 页（10）如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的内角和是 2160，那么原来的多边形的边数是 。（11）一多边形除一内角外，其余各内角之和为 2570，则这个内角等于 。一、三角形的基本概念：三角形的定三角形的定义义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形三角形具有稳定性三角形的内角三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角在同一个三角形内，大边对大角三角形的外角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角三角形的分三角形的分类类：()()():直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)二、与三角形相关的边三角形中的三种重要线段三角形的角平分三角形的角平分线线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部三角形的中三角形的中线线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部三角形的高三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，直角三角形有两条高分别与两条直角边重合反之也成立画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高与三角形有关的线段 第 6 页，共 12 页三角形三条边的关系三角形三三角形三边边关系关系：三角形任何两边的和大于第三边 三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边即、三条线段可组成三角形abc两条较小的线段之和大于最大的线段bcabc注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形一.三角形的周长小于 13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个2、为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.53、下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8 为估计池塘两岸、间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点，测得m，m，那么ABP16PA 12PB 间的距离不可能是（）ABA.5mB.15mC.20mD.28m4、如图所示，第 1 个图中有 1 个三角形，第 2 个图中共有 5 个三角形，第 3 个图中共有 9 个三角形，依次类推，则第 6 个图中共有三角形_个116.55.59678854厂 厂DCBAPBA 第 7 页，共 12 页5、已知三角形的两边为、，求第三边的范围，求周长的范围8106、下列长度的三条线段能组成三角形的是()A1，2，5 B4，5，9cmcmcmcmcmcmC5，8，15 D6，8，9cmcmcmcmcmcm 11、已知三角形的三边长分别为、，则不可能是()45xxA B C D 35714、已知三角形中两边长为 2 和 7，（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_（2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_15、有三条线段，其中两条线段的长为 和，第三条线段的长为，若这三条线段不能构成三角形，35x则的取值范围是 x16、已知有两边长为、，其中，则其周长 一定满足()ABCabablA B C D22()blab 22alb alab 2alab 17、为三角形的三边长，化简，若此三角形周长为，求上abcabcbcacab11面式子的值18、下列长度的线段能否组成三角形：、()；23a 24a 27a 0a 21、周长为整数的三角形三边长分别为、，且满足不等式，这样的三角形有 34xx12327xx 个22、如图，在中取一点，使，求证：ABCPCPCBABAPPCBA 第 8 页，共 12 页已知，如图，为三角形内两点，构成凸四边形，求证：P Q，ABCB P Q C，ABACBPPQQC多边形的内角和与外角和多边形的内角和与外角和 1.n 边形的内角和=_度，外角和=_度。2.从 n 边形(n3)的一个顶点出发，可以画_条对角线，.这些对角线把 n 边形分成_三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和_。.3.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是_边形。4.如果一个多边形的内角和等于它的外角和 5 倍，那么这个多边形是_边形。5.若 n 边形的每个内角都是 150，则 n=_。6.一个多边形的每个外角都是 36，这个多边形是_边形。7.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的 2 倍，那么这个边形的每个内角是_度，其内角和等于_度。8.若一个多边形的内角和是 1800，则这个多边形的边数是_。9.若一个多边形的边数增加，则它的内角和 （）.不变 .增加 .增加 180.增加 36010.当一个多边形的边数增加时，其外角和 （）.增加.减少.不变.不能确定 11.某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（）A.180 B.540 C.1900 D.108012.分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（）试写出用 n 边形的边数 n 表示对角线总条数的式子：_。（）从十五边形的一个顶点可以引出_条对角线，十五边形共有_条对角线：QPCBA 第 9 页，共 12 页（）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数。.13.n 边形的内角和等于_度。任意多边形的外角和等于_度。14.一个多边形的外角和是它的内角和的41，这个多边形是_边形。15.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于_度，每个外角都等于_度。16.若多边形的内角和是 1080，则这个多边形是_边形。17.如果一个多边形的内角和是 720，那么这个多边形的对角线的条数是（）.6 .9 .14 .2018.如果一个多边形的内角和是它的外角和的 n 倍，则这个多边形的边数是（）.n .2n-2 .2n .2n+219.一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和是 2520，那么原多边形的边数是（）.13 .14.15 .13 或 15 20.若两个多边形的边数之比为 1：2，两个多边形的内角和之和为 1440，求这两个多边形的边数。21.判断:外角和等于内角和的多边形一定是四边形。（）22.一个多边形的内角和是它的外角和的 4 倍，这个多边形是 （）.四边形 .六边形.八边形 .十边形23.一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是 120，则这个角的度数是（）.60 .80 .100 .12024.如果一个多边形的内角和等于 1800，则这个多边形是_边形；如果一个边形每一个内角都是 135，则_；第 10 页，共 12 页如果一个边形每一个外角都是 36，则_。25.某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为、，求zyx111的值。多边形及镶嵌同步练习 一选择题：1.n 边形所有对角线的条数是()A.B.C.D.(1)2n n(2)2n n(3)2n n(4)2n n2.如果多边形的内角和是外角和的 k 倍，那么这个多边形的边数是()A.k B.2k+1 C.2k+2 D.2k-23.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是 25200，那么原多边形的顶点数为()A.8 B.9 C.6 D.104.下列命题中，正确的有()没有对角线的多边形只有三角形内角和小于外角和的多边形只有三角形边数最少的多边形是三角形三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个5.某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是 A 正方形 B 正六边形 C 正八边形 D 正十二边形 4、C6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是().A 正方形 B 矩形 C 正八边形 D 正六边形7.下列边长为 a 的正多边形与边长为 a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是正（）边形.A三 B、五 C、六 D、八8.在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与图（1）拼接符合原来的图案模式？（）二填空题：1.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 边形.2.多边形的边数增加一条时，其外角和 ，内角和增加 .3.过 m 边形的一个顶点有 7 条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有 k 条对角线，则(m-k)n .4.正八边形的外角和是，每个内角是 .5.一个多边形有 14 条对角线，则这个多边形是 .6.如图 7-3-2，已知四边形 ABCD 中，1=2，3=4，5=6，7=8，则E+F=.第 11 页，共 12 页7.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就拼成一个平面图形.8.能用一种正多边形拼成地面的有 、.9.如图 7-4-2，分别指出下列图形组合是哪几种正多边形组合：(a);(b);(c);(d);(e);(f)10.如图用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空；当黑色瓷砖为 20 块时，白色瓷砖为 块；当白色瓷砖为 n2块时，黑色瓷砖为 。三.解答:1.一个五边形的五个外角的读数比是 12345，求这个五边形的五个内角的度数比.2.两个正多边形的边数之比为 12，内角和之比为 38，求这两个多边形的边数、内角和3.一个多边形出一个内角外，其余个内角的和为 20300，求这个多边形的边数.4.已知ABC 的边 BA、BC 分别于DEF 的边 ED、EF 垂直，垂足分别是 M、N,且ABC=700,求DEF 的度数.第 12 页，共 12 页