导数及其应用高考题精选(含答案).pdf

导数及其应用高考题精选导数及其应用高考题精选1.（2010 海南高考理科 T3）曲线2xyx在点1,1 处的切线方程为（）（A）21yx （B）21yx （C）23yx （D）22yx【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选 A.因为 22(2)yx，所以，在点1,1 处的切线斜率1222(12)xky，所以，切线方程为12(1)yx，即21yx，故选 A.2.（2010山东高考文科8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为31812343yxx，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）(A)13 万件 (B)11 万件(C)9 万件 (D)7 万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选 C，281yx,令0y得9x 或9x （舍去），当9x 时0y；当9x 时0y，故当9x 时函数有极大值，也是最大值，故选 C.3.（2010山东高考理科7）由曲线 y=2x,y=3x围成的封闭图形面积为（）（A）112(B)14(C)13(D)712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线 y=2x,y=3x的交点坐标，再利用定积分求面积.【规范解答】选 A,由题意得:曲线 y=2x,y=3x的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1230 x-x)dx=（1111-1=3412,故选 A.4.（2010辽宁高考理科10）已知点 P 在曲线 y=41xe 上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）(A)0,4)(B),)4 2 3(,24 (D)3,)4【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即 tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选 D.224,1444411(1)()211222100,101tan0,30D4xxxxxxxxxxxxyeeeyeeeeeeeexeyy A当且仅当，即时“”成立。又。设倾斜角为，则又，。故选5.（2010湖南高考理科4）421dxx等于（）A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住x1的原函数.【规范解答】选 D.421dxx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.（2010江苏高考8）函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,kN其中，若 a1=16，则 a1+a3+a5的值是_【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由0y，即可求得切线与 x 轴交点的横坐标。【规范解答】由 y=x2(x0)得，2yx，所以函数 y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y 时，解得2kax，所以1135,164 1212kkaaaaa.【答案】217.（2010江苏高考4）将边长为 1m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S 梯形的周长）梯形的面积,则 S 的最小值是_ _。【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将 S 用 x 表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx方法一：利用导数的方法求最小值。224(3)()13xS xx，22224(26)(1)(3)(2)()(1)3xxxxS xx 2222224(26)(1)(3)(2)42(31)(3)(1)(1)33xxxxxxxx 1()0,01,3S xxx，当1(0,3x时，()0,S x递减；当1,1)3x时，()0,S x递增；故当13x 时，S 的最小值是32 33。方法二：利用函数的方法求最小值令11 13,(2,3),(,)3 2xt tt，则：2224418668331tStttt故当131,83xt时，S 的最小值是32 33。【答案】32 33【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。8.（2010陕西高考理科3）从如图所示的长方形区域内任取一个点 M（x,y）,则点 M 取自阴影部分的概率为 ；【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可【规范解答】阴影部分的面积为11230031.Sx dxx阴影所以点 M 取自阴影部分的概率为113 13SPS阴影长方形答案：139（2010 海南高考理科 T13）设 y=f(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有 0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx,先产生两组（每组 N 个）区间0,1上的均匀随机数1x,2x,Nx和1y,2y,Ny,由此得到 N 个点(,)iix y（i=1,2,N）,在数出其中满足1y1()f x（i=1,2,N）的点数1N，那么由随机模拟方法可得积分10()f x dx的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知，,x y所有取值构成的区域是一个边长为1 的正方形，而满足iy()if x的点(,)iix y落在 y=f(x)、0y 以及1x、0 x 围成的区域内，由几何概型的计算公式可知10()f x dx的近似值为1NN.答案：1NN10.（2010北京高考理科8）已知函数f(x)=In(1+x)-x+22kx，(k0)。()当k=2 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；()求f(x)的单调区间。【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。【思路点拨】（1）求出(1)f，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由k讨论()fx的正负，从而确定单调区间。【规范解答】（I）当2k 时，2()ln(1)f xxxx，1()121fxxx 由于(1)ln2f，3(1)2f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 3ln2(1)2yx 即 322ln230 xy（II）1(1)()111x kxkfxkxxx，(1,)x .当0k 时，()1xfxx.所以，在区间(1,0)上，()0fx；在区间(0,)上，()0fx.故()f x的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当01k时，由1()()01kkx xkfxx，得10 x，210kxk所以，在区间(1,0)和1(,)kk上，()0fx；在区间1(0,)kk上，()0fx 故()f x的单调递增区间是(1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk.当1k 时，2()1xfxx故()f x的单调递增区间是(1,).当1k 时，1()()01kkx xkfxx，得11(1,0)kxk，20 x.所以在区间1(1,)kk和(0,)上，()0fx；在区间1(,0)kk上，()0fx 故()f x得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk【方法技巧】（1）()yf x过00(,()xf x的切线方程为000()()()yf xfxxx。（2）求单调区间时要在定义域内讨论()fx内的正负。11.（2010安徽高考文科20）设函数 sincos1f xxxx，02x，求函数 f x的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数()f x求导，分析导数()fx的符号情况，从而确定()f x的单调区间和极值。【规范解答】()12()4xx 解：由f(x)=si nx-cosx+x+1,0 x0,所以“32()3af xxbxcxd在（-，+）内无极值点”等价于“2()20fxaxbxc在（-，+）内恒成立”。由（*）式得295,4ba ca。又2(2)49(1)(9)bacaa 解09(1)(9)0aaa 得1,9a即a的取值范围1,9【方法技巧】（1）当()fx在0 x的左侧为正，右侧为负时，0 x为极大值点；当()fx在0 x的左侧为负，右侧为正时，0 x为极小值点（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。2yaxbxc恒大于 0，则00a ；2yaxbxc恒小于 0，则00a ；13.（2010安徽高考理科17）设a为实数，函数 22,xf xexa xR。(1)求 f x的单调区间与极值；(2)求证：当ln2 1a 且0 x 时，221xexax。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】(1)先分析()f x的导数()fx的符号情况，从而确定()f x的单调区间和极值；(2)设2()21xg xexax，把问题转化为：求证：当ln2 1a 且0 x 时，()0g x。【规范解答】（1）()22xf xexa，()2xfxe令()0fx，得ln2x，x,ln2ln2ln2,()fx0()f xA极小A值()f x在,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增；当ln2x 时，()f x取得极小值为22ln22a（2）设2()21xg xexax，()22()xg xexaf x由（1）问可知，()g x22ln22a恒成立，当ln2 1a 时，则()g x0 恒成立，所以()g x在R上单调递增，所以当0 x 时，()(0)0g xg，即当ln2 1a 且0 x 时，221xexax。【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；2、证明函数不等式问题，如证12()()f xfx，通常令12()()()g xf xfx，转化为证明：()0g x。14.（2010天津高考文科20）已知函数 f（x）=3231()2axxxR，其中 a0.（）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间1 1,2 2上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。【规范解答】（）当 a=1 时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f(x)=233xx,f(2)=6.所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为 y-3=6（x-2），即 y=6x-9.（）f(x)=2333(1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=1a.以下分两种情况讨论：若110a2a2，则，当 x 变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，0120，f(x)+0-f(x)A极大值A 当1 1xfx2 2，时，（）0等价于5a10,()0,8215a()0,0.28ff即 解不等式组得-5a2，则110a2.当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01a0，1a1 1a 2，f(x)+0-0+f(x)A极大值A极小值A当1 1x2 2，时，f（x）0 等价于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式组得252a或22a .因此 2a5.综合（1）和（2），可知 a 的取值范围为 0a5.