高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套).pdf

1/13高等数学（下册）考试试卷（一）高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、=的定义域为 D=。z)0()(log22ayxa2、二重积分的符号为 。1|22)ln(yxdxdyyx3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 xyln1eyx1y。4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 。),()()(xtytxds5、设曲面为介于及间的部分的外侧，则 。922 yx0z3zdsyx)122（6、微分方程的通解为 。xyxydxdytan7、方程的通解为 。04)4(yy8、级数的和为 。1)1(1nnn二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）1、二元函数在处可微的充分条件是（）),(yxfz),(00yx （A）在处连续；),(yxf),(00yx（B），在的某邻域内存在；),(yxfx),(yxfy),(00yx（C）当时，是无穷小；yyxfxyxfzyx),(),(00000)()(22yx（D）。0)()(),(),(lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx2、设其中具有二阶连续导数，则等于（）),()(xyxfyxyfuf2222yuyxux（A）；（B）；(C)；(D)0。yx xy3、设：则三重积分等于（）,0,1222zzyxzdVI（A）4；（B）；2020103cossindrrdd200102sindrrdd 2/13（C）；（D）。2020103cossindrrdd200103cossindrrdd4、球面与柱面所围成的立体体积 V=（）22224azyxaxyx222 （A）；（B）；20cos202244adrrad20cos202244adrrard （C）；（D）。20cos202248adrrard22cos20224adrrard5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数在 D 上具有一阶连续偏导数，),(),(yxQyxP则LQdyPdx)(（A）；（B）；DdxdyxQyP)(DdxdyxPyQ)(（C）；（D）。DdxdyyQxP)(DdxdyyPxQ)(6、下列说法中错误的是（）（A）方程是三阶微分方程；022 yxyyx（B）方程是一阶微分方程；xydxdyxdxdyysin（C）方程是全微分方程；0)3()2(22232dyyxydxxyx（D）方程是伯努利方程。xyxdxdy2217、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 满足微分方程)(xyy 062 yx)(xy，则曲线的方程为（）052 yyyy （A）；（B）；xex2sin)2cos2(sinxxex （C）；（D）。)2sin2(cosxxexxex2sin8、设 ,则（）0limnnnu1nnu （A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计 15 分）1、（7 分）设均为连续可微函数。，gf,)(),(xyxgvxyxfu 3/13求。yuxu,2、（8 分）设，求。txtxdzzftxu)(),(tuxu,四、求解下列问题（共计 15 分）。1、计算。（7 分）I2022xydyedx2、计算，其中是由所围成的空间闭区域（8 分）dVyxI)(22x21,222zzzy及五、（13 分）计算，其中 L 是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的LyxydxxdyI22xoy)0,0(O封闭曲线的逆时针方向。六、（9 分）设对任意满足方程，且存在，求。)(,xfyx)()(1)()()(yfxfyfxfyxf)0(f)(xf七、（8 分）求级数的收敛区间。11212)2()1(nnnnx高等数学（下册）考试试卷（二）高等数学（下册）考试试卷（二）1、设，则 。zyxzyx32)32sin(2yzxz2、。xyxyyx93lim003、设，交换积分次序后，。202),(xxdyyxfdxII4、设为可微函数，且则 。)(uf,0)0(f222)(1lim2230tyxtdyxft5、设 L 为取正向的圆周，则曲线积分422 yx 。Lxxdyxyedxyey)2()1(6、设，则 。kxyzjxzyiyzxA)()()(222Adiv7、通解为的微分方程是 。xxececy2218、设，则它的 Fourier 展开式中的 。xxxf0,10,1)(na 4/13二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）。1、设函数 ,则在点（0，0）处（）0,00,),(2222422yxyxyxxyyxf （A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。2、设在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu 及 ，02yxu22xu022yu则（）（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上；（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上；（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。3、设平面区域 D：，若，1)1()2(22yxDdyxI21)(DdyxI32)(则有（）（A）；（B）；（C）；（D）不能比较。21II 21II 21II 4、设是由曲面及 所围成的空间区域，则=（）1,xxyxyz0zdxdydzzxy32 （A）；（B）；（C）；（D）。36113621363136415、设在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ，其中在),(yxf)()(tytx)(t)(),(tt上具有一阶连续导数，且，则曲线积分（）,0)()(22ttLdsyxf),(A)；(B)；dtttf)(),(dtttttf)()()(),(22(C)；(D)。dtttttf)()()(),(22dtttf)(),(6、设是取外侧的单位球面，则曲面积分1222zyx=（）zdxdyydzdxxdydz(A)0；(B)；(C)；(D)。247、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（）21,yy21yy (A)；(B)；0)()(xqyxpy0)()(yxqyxpy 5/13(C)；(D)。)()()(xfyxqyxpy 0)()(xqyxpy8、设级数为一交错级数，则（）1nna (A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若，则必收敛。)0(0nan三、求解下列问题（共计 15 分）1、（8 分）求函数在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2，2）)ln(22zyxu的方向的方向导数。2、（7 分）求函数在由直线所围成的闭区域 D 上的最大)4(),(2yxyxyxf0,0,6xyyx值和最小值。四、求解下列问题（共计 15 分）1、（7 分）计算，其中是由及 所围成的立体3)1(zyxdvI0,0,0zyx1zyx域。2、（8 分）设为连续函数，定义，)(xfdvyxfztF)()(222其中，求。222,0|),(tyxhzzyxdtdF五、求解下列问题（15 分）1、（8 分）求，其中 L 是从 A（a，0）经到LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(2xaxyO（0，0）的弧。2、（7 分）计算，其中是 的外侧。dxdyzdzdxydydzxI222)0(222azzyx六、（15 分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分)(x与路径无关，求函数。Lxdyxydxxexx)()(2)(32)(x高等数学（下册）考试试卷（三）高等数学（下册）考试试卷（三）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设，则 。yzxztdteu2zu2、函数在点（0，0）处沿的方向导数)2sin(),(yxxyyxf)2,1(l 6/13=。)0,0(lf 3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再0,122zyxzdvzyxfI),(z对最后对三次积分，则 I=。yx 4、设为连续函数，则 ，其中。),(yxfIDtdyxft),(1lim20222:tyxD 5、，其中。Ldsyx)(22222:ayxL 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，),(zyxP，在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：),(zyxQ),(zyxR，该关系式称为 公式。7、微分方程的特解可设为 。96962 xxyyy*y 8、若级数发散，则 。11)1(npnnp二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）1、设存在，则=（）),(bafxxbxafbaxfx),(),(lim0 （A）；（B）0；（C）2；（D）。),(bafx),(bafx21),(bafx 2、设，结论正确的是（）2yxz（A）；（B）；022xyzyxz022xyzyxz（C）；（D）。022xyzyxz022xyzyxz3、若为关于的奇函数，积分域 D 关于轴对称，对称部分记为，在 D 上连续，),(yxfxy21,DD),(yxf则（）Ddyxf),(（A）0；（B）2；（C）4；(D)2。1),(Ddyxf1),(Ddyxf2),(Ddyxf4、设：，则=（）2222Rzyxdxdydzyx)(22 （A）；（B）；（C）；（D）。538R534R5158R51516R5、设在面内有一分布着质量的曲线 L，在点处的线密度为，则曲线弧的重心的坐标xoy),(yx),(yxx 7/13为（）x（）=；（B）=；xLdsyxxM),(1xLdxyxxM),(1（C）=；（D）=,其中 M 为曲线弧的质量。xLdsyxx),(xLxdsM1、设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分122 yx1,0,0zyx（）ydxdzxxzdydzzdxdyy22（A）0；（B）；（C）；（D）。42454、方程的特解可设为（）)(2xfyy（A），若；（B），若；A1)(xfxAexexf)(（C），若；EDxCxBxAx234xxxf2)(2（D），若。)5cos5sin(xBxAxxxf5sin)(、设，则它的 Fourier 展开式中的等于（）xxxf010,1)(na（A）；（B）0；（C）；（D）。)1(1 2nnn1n4三、（分）设为由方程 确定的的函数，其中具有一阶连续偏ttxfy),(0),(tyxFyx,Ff,导数，求。dxdy四、（分）在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。4422yx0632 yx五、（分）求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积。yyx22222yxz0z六、（分）计算，其中为球面 的部分xyzdxdyI1222zyx0,0yx的外侧。七、（10 分）设，求。xxdxdf2sin1)(cos)(cos)(xf八、（10 分）将函数展开成的幂级数。)1ln()(32xxxxfx 8/13高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当时，；当时，；10 a1022yx1a122 yx2、负号；3、；4、；23;110Dyeeydxdyddttt)()(225、180；6、；Cxxysin7、；8、1；xxeCeCxCxCy2423212sin2cos二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、；21f yfxu)(xyxgxyu2、；)()(txftxfxu)()(txftxftu四、1、；)1(21420200220222edyyedxedydyedxyyyxy2、；2020212022132233142rdzrdrddzrdrdI柱面坐标五、令则，；2222,yxxQyxyPxQyxxyyP22222)()0,0(),(yx于是当 L 所围成的区域 D 中不含 O（0，0）时，在 D 内连续。所以由 Green 公式得：I=0；当xQyP,L 所围成的区域 D 中含 O（0，0）时，在 D 内除 O（0，0）外都连续，此时作曲线为xQyP,l，逆时针方向，并假设为及所围成区域，则)10(222yx*DLl2)(222*yxDllLllLdxdyyPxQGreenI公式六、由所给条件易得：0)0()0(1)0(2)0(2ffff又=xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxfxfxfxfxfx)()()(1)()(lim0 9/13 xfxfxfxfxfx)0()()()(1)(1lim20)(1)0(2xff即)0()(1)(2fxfxf 即 cxfxf)0()(arctan)0(tan)(cxfxf又 即 0)0(fZkkc,)0(tan()(xfxf 七、令，考虑级数tx 211212)1(nnnnt 212321232limtntntnnn当即时，亦即时所给级数绝对收敛；12t1t31 x当即或时，原级数发散；1t3x1x当即时，级数收敛；1t1x11121)1(nnn当即时，级数收敛；1t3x1121)1(nnn级数的半径为 R=1，收敛区间为1，3。高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案一、1、1；2、-1/6；3、；4、；202/4222/),(),(yyydxyxfdydxyxfdy)0(32f 5、；6、；7、；8、0；8)(2zyx02 yyy二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函数在点 A（1，0，1）处可微，且)ln(22zyxu 10/13；)1,0,1(221zyxxuA2/1；01)1,0,1(2222zyyzyxyuA2/11)1,0,1(2222zyzzyxzuA 而所以,故在 A 点沿方向导数为：),1,2,2(ABl)31,32,32(lABl +AluAxucosAyucosAzucos .2/13121)32(032212、由得 D 内的驻点为且，0)24(0)1()4(22yxxfxyyxxyfyx),1,2(0M4)1,2(f 又0)0,(,0),0(xfyf 而当时，0,0,6yxyx)60(122),(23xxxyxf 令得0)122(23xx4,021xx 于是相应且2,621yy.64)2,4(,0)6,0(ff 在 D 上的最大值为，最小值为),(yxf4)1,2(f.64)2,4(f四、1、的联立不等式组为yxzxyx101010:所以1010103)1(xyxzyxdzdydxI xdyyxdx1021041)1(121 101652ln21)4311(21dxxx2、在柱面坐标系中 200022)()(thrdzrfzdrdtFtdrrhrrhf03231)(2 11/13所以 31)(232thtthfdtdF31)(222htfht五、1、连接，由公式得：OAGreenOAOALIOAOAL0,220)coscos(yaxyxxxGreendxdymyeye公式281am2、作辅助曲面，上侧，则由 Gauss 公式得：2221:ayxaz +=I1111 =azzyxayxdxdyadxdydzzyx0,2222222)(2 =azyxazdxdydz042222 4043212aadzza六、由题意得：)()(2)(32xxexxx 即xxexxx2)(2)(3)(特征方程，特征根0232 rr2,121rr对应齐次方程的通解为：xxececy221又因为是特征根。故其特解可设为：2xeBAxxy2*)(代入方程并整理得：1,21BA即 xexxy2*)2(21故所求函数为：xxxexxececx2221)2(21)(高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案 12/13一、1、；2、；3、；2222zxzyxeye51111102222),(xxyxdzzyxfdydx4、；6、，325);0,0(af、RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(公式；7、8、。GaussCBxAx20P二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B 三、由于，dttxfdxtxfdytx),(),(0dtFdyFdxFtyx由上两式消去，即得：dtyttxttxFfFFfFfdxdy 四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为),(yx4422yx0632 yx；令，于是由：13326yxd)44()326(222yxyxL 04408)326(602)326(422yxLyyxLxyxLyx得条件驻点：)53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321MMMM 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。1313133261minMyxd五、曲线在面上的 yyxyxz22222yoz投影为0)0(22xzyyz 于是所割下部分在面上的投影域为：yoz，yzyDyz2020:y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。dzxyxAyzD22)()(12x yzDyyydzdyyydydz21202282222 13/13六、将分为上半部分和下半部分，2211:yxz2221:yxz 在面上的投影域都为：21,xoy,0,0,1:22yxyxDxy于是：1221dxdyyxxyzdxdyxyD ；1511cossin201022dd极坐标 ，2151)(1(22dxdyyxxyxyzdxdyxyD =21I152七、因为，即xxdxdf2sin1)(cos)(cosxxf2sin1)(cos 所以 22)(xxfcxxxf3312)(八、)1ln()1ln()1)(1ln()(22xxxxxf 又 1,1(,)1()1ln(11uununnn11211 1,1(,)1()1()(nnnnnnxxnxnxf 11 1,1(),1()1(nnnnxxxn