几何基本图形及结论八年级(上).doc

八年级（上）几何基本图形及结论
基本图形一、蝶形（对顶三角形）
如图1，AB、CD交于O，则：∠A+∠C=∠B+∠D；
若∠A=∠D，则∠C=∠B

基本图形二、
如图2，△ABC中，AD为高，AE为角平分线，
则∠DAE =（∠B-∠C）

基本图形三、
(1)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于P点，则∠P=_____________.

(2)如图，在△ABC中，∠B、∠ACB的外角平分线相交于P点，则∠P=_____________.

(3) 如图，在△ABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于P点，则∠P=_____________.

基本图形四、“垂直且相等”
（1）如图①、②，AC⊥BC，且AC=BC，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则ＡＤ－ＢＥ＝ＤＥ或ＡＤ＋ＢＥ＝ＤＥ；

图1 图2

（2）如图③、④，AC⊥BC，且AC=BC，BP⊥MN于P，CQ⊥MN于Q，过C点向BP作CD⊥BP于D，则AP-BP=2PQ或AP+BP=2PQ。

图3 图4

基本图形五、角平分线、垂直平分线
（1）AD平分∠BAC，OE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则AD垂直平分EF。

（2）AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，则CO平分∠ACB。

（3）三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心），这点到三角形三个顶点的距离相等。

（4）如图，CD垂直平分AB，则AC=BC，进一步∠A=∠B，即“垂直平分线” 得“等腰三角形”得“等边对等角”。

（5）如图，AC=BC，CD⊥AＢ，则AD=BD，CD平分∠ACB（三线合一）

（6）如图，AC⊥BC，AC=BC，CD⊥AB，则AD=CD=BD。

基本图形六、中点问题
（1）如图，AC=BC，∠ACB=90°，O为斜边AB的中点，D为AC上任一点，DO⊥OE，则
①OD=OE，②AD+BE=AC，③△DOE为等腰直角三角形；④S四边形CDEO=S△ACB

（2）如图，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AG⊥CE于G，则DF=DE，若E为AB延长线上一点，结论仍成立。

基本图形七、垂线段、距离、面积：
（1）如图，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于腰上的高；（面积法）

（2）底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。（面积法）

基本图形八、Rt△、斜三角形中的特殊边角关系
（1）如图，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，则AB=4AD，BD=3AD；

（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角为__________________。

基本图形九、等边三角形
（1）△ABC为等边三角形，AD=CE，BF⊥AE于F，则OF=OB；若OC⊥BD，则OB=2OA

（2）如图，B、C、D三点共线，△ABC、△ECD均为等边三角形，连AD、BE，则
①AD=BE；②∠EOD=60°；③MN∥BD；④△MCN为等边三角形；⑤OC平分∠BOD；
⑥OA+OC=OB；⑦OE+OC=OD。

基本图形十、平行线+角平分线构等腰三角形：
（1）如图，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则
①DE=BD+CE；②△ADE的周长=ＡＢ＋ＡＣ。

（２）如图，①OB平分∠ABC，②OC平分∠ACＦ，③DE∥BC，将其中两个作为条件，可以推出第三个论断。

（3）如图，AD∥ＢＣ，E在CD上，①AE平分∠BAD；②BE平分∠ABC；③AE⊥BE；
④E为CD中点；⑤AD+BC=AB；以上任意两个作为条件可以推出其它三个结论。

（4）四边形AOBC中，CM⊥OA于M，现有：①∠1=∠2；②CA=CB；③∠3+∠4=180°；
④OA+OB=2OM，⑤OA-OB=2AM其中任意两个作为条件，都可以得出另两个结论。

基本图形十一、平行线构造线段的倍分关系：
（1）如图，AB=AC，BD=CE，DH⊥BC于H，则①DF=EF；②HF=BC；

（2）如图，AD平分∠BAC，M为BC中点，FM∥AD，则①CE=BF；②AB+AC=2CE（倍长中线）

基本图形十二、平面直角坐标系中点P（a，a）的几何意义：
如图，在坐标系中，P（a，a），PB⊥PA，则OA+OB=________；OA-OB=__________.

基本图形十三、三条线段间的和、差关系（截长补短，以45°、60°角构等腰Rt△或等边三角形）
（1）正方形ABGE中，∠DAC=45°，则CD=DE+BC；反之，若CD=DE+BC，则∠DAC=45°。

（2）如图，正方形ABGE中，∠DAC=45°，则CD、DE、BC间的关系为____________________.

（3）如图等边△ABC中，AD=CE，则BD=DE（平行+等腰 得等腰 构全等）

（4）D为等边△ABC中BC边上一点，∠ADE=60°，CE平分∠ACB的外角，则AD=DE。

（5）等边△ABD，∠BCD=120°，则①AC平分∠BCD；②BC+CD=_______.

（6）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，Ｄ为BC中点，CE⊥AD交AB于E，则：
①∠ADC=∠EDB；②DE+CE=AD。

基本图形十四、轴对称的应用：

①泵站问题（AC+BC最短） 　②△
③放马问题（最短路径）　

基本图形十五、与中点、中线有关的问题：
（1） 如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，则CD=AD=BD（倍长中线）“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”。

（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE是△ABC平分线，CD是高，FG∥AB交BC于G，则：
CE=CF=BG。

基本图形十六、角平分线+垂线：
（1）已知AC=BC，AC⊥BC，BD为∠B的平分线，AE⊥BD垂足为E点，
求证BD=2AE.

（2）如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BD⊥AE，垂足为D点.
（1）求证：CD=BD；
（2）求∠CDA的大小.

（3）如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，∠CDA=45°.
求证：AD⊥BD.

基本图形十七、45°角构等腰直角三角形的方法：
1．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，AE∥BC，AF=AC，AM平分∠EAF，
（1）求证：∠AMC=45°；
（2）求证：AM⊥MB。

2．用一副三角板拼成如图所示的图形，其中∠BAD=90°，AB=AD，∠DBE=30°,
∠DEB=90°
（1） 连接AE，求∠AEB的度数；
（2） 如图2，若将另一等腰直角三角板的45°角的顶点放在A处，并绕A点旋转，两边分别交BE于M，BD于N，若BD=8，BE=4，求△EMN的周长。

图1 图2

基本图形十九、——角平分线+线段垂直平分线
如图，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线与∠MON的两边交于B、C。P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于D。
(1) ∠MON=900，如图1，则∠BDC= ；
(2) ∠MON=600，如图2，则∠BDC= ；
(3) ∠MON=θ，如图3，则∠BDC= ，