空间向量及其运算知识总结.pdf

厦门一中 2011 级数学竞赛讲座1空空间间向量及其运算向量及其运算1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量奎屯王新敞新疆注：空间的一个平移就是一个向量奎屯王新敞新疆向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量奎屯王新敞新疆空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示奎屯王新敞新疆2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下;baABOAOBbaOBOABA)(RaOP运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(3平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量到的轨迹所形成的几何体，aDCBA叫做平行六面体，并记作：ABCD奎屯王新敞新疆它的六个面都是平行四DCBA边形，每个面的边叫做平行六面体的棱奎屯王新敞新疆4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使.baba要注意其中对向量的非零要求a5 奎屯王新敞新疆共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作abba/当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直ababab线，也可能是平行直线6 共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使abb0ab.ab推论：如果 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，那么la对于任意一点 O，点 P 在直线 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 l其中向量叫做直线 的方向向量.tOAOPaal空间直线的向量参数表示式：或，tOAOPa)(OAOBtOAOPOBtOAt)1(中点公式)(21OBOAOP7向量与平面平行：已知平面和向量，作，aOAa 如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行OAa于平面，记作：通常我们把平行于同一平面的/a向量，叫做共面向量奎屯王新敞新疆说明：空间任意的两向量都是共面的奎屯王新敞新疆8共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量,a bp共面的充要条件是存在实数使奎屯王新敞新疆,a b,x ypxaybaCBADDABCApbaOPABM厦门一中 2011 级数学竞赛讲座2ykiA(x,y,z)Ojxz推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使PMAB,x y 或对空间任一点，有MPxMAyMBOOPOMxMAyMB 或 ,(1)OPxOAyOBzOMxyz 上面式叫做平面的向量表达式奎屯王新敞新疆MAB9 奎屯王新敞新疆空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的,a b cp有序实数组，使奎屯王新敞新疆,x y zpxaybzc若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任,a b c,a b c,a b c意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底奎屯王新敞新疆推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，,O A B CP,x y z使奎屯王新敞新疆OPxOAyOBzOC 10 奎屯王新敞新疆空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，,a bO,OAa OBb 则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有AOBab,a b0,a b；若，则称与互相垂直，记作：.,a bb a,2a babab11向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.OAa OA a|a12向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即,a b|cos,aba b,a ba ba b|cos,aba b已知向量和轴，是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影，作点ABa lellAlA在 上的射影，则叫做向量在轴 上或在上的正射影.可以证明的长度BlBA B AB leA B|cos,|A BABa ea e 13空间向量数量积的性质：（1）（2）（3）|cos,a eaa e 0aba b2|aa a 14空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）()()()aba baba bb a（3）（分配律）奎屯王新敞新疆()abca ba c 空空间间向量的直角坐向量的直角坐标标及其运算及其运算 1 奎屯王新敞新疆空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫1单位正交基底，用表示；,i j k （2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，O,i j k O分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它,i j k xyz们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标OxyzO,i j k 向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；xOyyOzzOx2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使OxyzA(,)x y z厦门一中 2011 级数学竞赛讲座3，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作OAxiyjzk(,)x y zAOxyz，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标(,)A x y zxyz常常见见坐坐标标系系正方体：如图所示，正方体的棱长为，一般ABCDA B C Da选择点为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴DDADCDDxyz建立空间直角坐标系，则各点坐标为Dxyz亦可选点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似.A正四面体：如图所示，正四面体的棱长为，一般选择ABCDa在上的射影为原点，、（或）、所在直线分别ABCDOCODOBOA为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为xyzOxyz正四棱锥：如图所示，正四棱锥的棱长为，一般选择PABCDa点在平面的射影为原点，（或）、（或）、PABCDOAOCOBOD所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则OPxyzOxyz各点坐标为正三棱柱：如图所示，正三棱柱 的底面边长为ABCA B C，高为，一般选择中点为原点，（或）、（ahACOCOAOBOE为在上的射影）所在直线分别为轴、轴、轴建立空间EOA Cxyz直角坐标系，则各点坐标为 Oxyz3空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则123(,)aa a a123(,)bb b b，112233(,)abab ab ab，112233(,)abab ab ab123(,)()aaaaR，1 1223 3a baba ba b，112233/,()abab ab abR1 1223 30ababa ba b（2）若，则111(,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标奎屯王新敞新疆4 奎屯王新敞新疆模长公式：若，123(,)aa a a123(,)bb b b则，222123|aa aaaa 222123|bb bbbb 5夹角公式：1 1223 3222222123123cos|aba ba ba ba babaaabbb 6两点间的距离公式：若，111(,)A x y z222(,)B xyz则，或 2222212121|()()()ABABxxyyzz 222,212121()()()A Bdxxyyzz奎屯王新敞新疆空空间间向量向量应应用用一、直线的方向向量AADBBDCCyzxBCACABxyzOEBCADOzxyABCDPOxyz厦门一中 2011 级数学竞赛讲座4把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是.111(,)A x y z222(,)B xyzAB212121(,)ABxx yy zz 平面法向量 如果，那么向量叫做平面的法向量.aa二、证明平行问题1线线平行：证明两直线平行可用或.112233/,()abab ab abR312123/aaaabbbb2.线面平行：直线 的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则lanlan0a n./a3.面面平行：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.1n2n 12/nn 12nn/三、证明垂直问题1线线垂直：证明两直线垂直可用1 1223 30aba baba ba b 2线面垂直：直线 的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则lanl/anan.a3.面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.1n2n 12nn 120n n 四、求夹角1线线夹角：设为一面直线所成角，则：123(,)aa a a123(,)bb b b(0,90；|cos,a baba b ；.1 1223 3222222123123cos,|aba ba ba ba babaaabbb cos|cos,|a b 2线面夹角：如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面PAnP的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得POOAPAOPAsin|sin(,)|2OP AP|cos,|OP AP .|cos,|n AP|cos,|n PA|n PAn PA 3 面面夹角：设、分别是二面角两个半平面、的法向量，1n2n 当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为；1n2n 12,n n 当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为.1n2n 12,n n 五、距离1点点距离：设，111(,)A x y z222(,)B xyz222,212121()()()A Bdxxyyzz222212121|()()()ABAB ABxxyyzz 2点面距离：为平面任一点，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，APAn过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得PPOOAPAOPA.|sin|cos,|POPAPAPA n|PA nPAPAn|PA nn nOPA厦门一中 2011 级数学竞赛讲座53线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线、a的公垂线的方向向量为,这时分别在、上任取、两点，则向量在上的正射影长就bnabABn是两条异面直线、的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和ab公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线、的距离ab.|nAB ndABnn 4线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.