2017年高考理科数学试题及答案-全国卷3.pdf

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则中元素的个数为22(,)1Ax y xy(,)Bx y yxABA3B2C1D02设复数满足，则z(1)2i zi|z ABCD2122223某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4的展开式中的系数为（）5()(2)xyxy33x yA-80B-40C40D805已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共2222:1(0,0)xyCabab52yx221123xy焦点则的方程为（）CABCD221810 xy22145xy22154xy22143xy6设函数，则下列结论错误的是（）()cos()3f xxA的一个周期为B的图像关于直线对称()f x2()yf x83xC的一个零点为D在单调递减()f x6x()f x(,)27执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整S数的最N小值为A5B4C3D28已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）AB34CD249等差数列的首项为1，公差不为0若成等比数列，则前6项的和为na236,a a anaA-24B-3C3D810已知椭圆（）的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线2222:1xyCab0ab12,A A12A A相切，则的离心率为（）20bxayabCABCD633321311已知函数有唯一零点，则（）211()2()xxf xxxa ee a ABCD112131212在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若ABCD1,2ABADPCBD，则的最大值为APABAD A3BCD22 25二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若满足约束条件则的最小值为_,x y0,20,0 xyxyy34zxy14设等比数列满足，则_na12131,3aaaa 4a 15设函数则满足的的取值范围是_1,0,()2,0 xxxf xx1()()12f xf xx16为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边,a bABCAC,a b以直线为旋转轴旋转，有下列结论：ABAC当直线与成角时，与成角；ABa60ABb30当直线与成角时，与成角；ABa60ABb60直线与所成角的最小值为；ABa45直线与所成角的最大值为ABa60其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共（一）必考题：共6060分分17（12分）的内角的对边分别为，已知ABC,A B C,a b csin3cos0,2 7,2AAab（1）求；c（2）设为边上一点，且，求的面积DBCADACABD18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需20,25)求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10 15，15 20，20 25，25 30，30 35，35 40，天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；X（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：Y瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？Y19（12分）如图，四面体中，是正三角形，ABCDABC是直角三角形，ACDABDCBD=ABBD=（1）证明：平面平面；ACD ABC（2）过的平面交于点，若平面把四面体ACBDEAEC DABCE分成体积相等的两部分求二面角的余弦值ABCDDAEC-20（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线 交于，两点，圆是以线段为直2:2C yx=lCABMAB径的圆（1）证明：坐标原点在圆上；OM（2）设圆过点（4，），求直线 与圆的方程MP2-lM21（12分）已知函数()1lnf xxax（1）若，求的值；()0f x a（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值mn2111(1)(1)(1)222nm+m（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为xOy1l2,xtyktt2l（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线2,xmmyk m1l2lPkPC（1）写出的普通方程：C（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，x3l(cossin)20为与的交点，求的极径M3lCM23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数()|f xxx（1）求不等式的解集；()f x（2）若不等式的解集非空，求的取值范围()f xxxmm2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3）理科数学参考答案一、选择题1B2C3A4C5B6D7D8B9A10A11C12A二、填空题13141516181(,)4三、解答题17解：（1）由已知可得，所以tan3A 23A在中，由余弦定理得，即ABC222844 cos3cc22240cc解得（舍去），6c 4c（2）由题设可得，所以2CAD6BADBACCAD 故面积与面积的比值为ABDACD1sin26112AB ADAC ADAAA又的面积为，所以的面积为ABC14 2sin2 32BAC ABD318解：（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知X，.2162000.290P X363000.490P X 25745000.490P X因此的分布列为：XX200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n当时，300500n若最高气温不低于25，则；642Ynnn若最高气温位于区间20,25），则；6 3002(300)412002Ynnn若最高气温低于20，则6 2002(200)48002Ynnn因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EYnnnn当时，200300n若最高气温不低于20，则；642Ynnn若最高气温低于20，则6 2002(200)48002Ynnn因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EYnnn所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元。300n Y19解：（1）由题设可得，从而ABDCBD ADDC又是直角三角形，所以ACD90ADC取的中点，连结，ACO,DO BO则,DOAC DOAO又由于是正三角形，故ABCBOAC所以为二面角的平面角DOBDACB在中，Rt AOB222BOAOAB又，所以ABBD，故222222BODOBOAOABBD90DOB所以平面平面ACD ABC（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单,OA OB ODOOA x|OA 位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则Oxyz(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(0,0,1)ABCD由题设知，四面体的体积为四面体ABCE的体积的，从而到平面的距离ABCD12EABC为到平面的距离的，即为的中DABC12EDB点，得，故3 1(0,)22E3 1(1,0,1),(2,0,0),(1,)22ADACAE O DABCE DABCEyxOz设是平面的法向量，则同理可取(,)nx y zDAE0,0m ACm AE(0,1,3)m 则7cos,|7n mn mn mA所以二面角的余弦值为DAEC7720解：（1）设1122(,),(,),:2A x yB xyl xmy由可得，则22,2xmyyx2240ymy124y y 又，故221212,22yyxx21212()44y yx x 因此的斜率与的斜率之积为，所以OAOB1212414yyxx AOAOB故坐标原点在圆上OM（2）由（1）可得21212122,()424yym xxm yym故圆心的坐标为，圆的半径M2(+2,)mmM222(+2)rmm由于圆过点，因此，M(4,2)P0AP BP 故，1212(4)(4)(2)(2)0 xxyy即121212224()2()200 x xxxy yyy由（1）可得12124,4y yx x 所以，解得或2210mm 1m 12m 当时，直线 的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的1m l10 xy M(3,1)M10M方程为22(3)(1)10 xy当时，直线 的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，12m l240 xyM91(,)42M854圆的方程为M229185()()4216xy21解：（1）的定义域为()f x(0,)若，因为，所以不满足题意；0a 11()ln2022fa 若，由知，当时，；当时，0a()1axafxxx(0,)xa()0fx(,)xa。所以在单调递减，在单调递增。故是在的唯()0fx()f x(0,)a(,)a xa()f x(0,)一最小值点。由于，所以当且仅当时，(1)0f1a()0f x 故1a（2）由（1）知当时，(1,)x1 ln0 xx 令，得，从而112nx 11(1)22nn221111111ln(1)ln(1).ln(1).112222222nnn 故2111(1)(1).(1)222ne而，所以的最小值为323111(1)(1)(1)2222m22解：（1）消去参数 得的普通方程；消去参数得的普通方程t1l1:(2)lyk xmt2l21:(2)lyxk设，由题设得消去得(,)P x y(2),1(2).yk xyxkk224(0)xyy所以的普通方程为C224(0)xyy（2）的极坐标方程为C222(cossin)4(22,)联立得222(cossin)4,(cossin)20cossin2(cossin)故，从而1tan3 2291cos,sin1010代入得，所以交点的极径为222(cossin)425M523解：（1）3,1,()21,12,3,2xf xxxx 当时，无解；1x ()1f x 当时，由得，解得；12x()1f x 21 1x 12x当时，由解得2x()1f x 2x 所以的解集为()1f x|1x x（2）由得，而2()f xxxm2|1|2|mxxxx22|1|2|1|2|xxxxxxxx 235(|)24x 54且当时，32x 25|1|2|4xxxx故的取值范围为m5(,4