1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3卷)理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则中元素的个数为22(,)1Ax y xy(,)Bx y yxABA3B2C1D02设复数满足,则z(1)2i zi|z ABCD2122223某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月
2、接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4的展开式中的系数为()5()(2)xyxy33x yA-80B-40C40D805已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共2222:1(0,0)xyCabab52yx221123xy焦点则的方程为()CABCD221810 xy22145xy22154xy22143xy6设函数,则下列结论错误的是()()cos()3f xxA的一个周期为B的图像关于直线对称()f x2()yf x83xC的一个零点为D在单调递减()f x6x()f x(,)27执行右图的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整S数的最N小值为A5B4C3D28已
3、知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()AB34CD249等差数列的首项为1,公差不为0若成等比数列,则前6项的和为na236,a a anaA-24B-3C3D810已知椭圆()的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线2222:1xyCab0ab12,A A12A A相切,则的离心率为()20bxayabCABCD633321311已知函数有唯一零点,则()211()2()xxf xxxa ee a ABCD112131212在矩形中,动点在以点为圆心且与相切的圆上若ABCD1,2ABADPCBD,则的最大值为APABAD A3BCD22 25
4、二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13若满足约束条件则的最小值为_,x y0,20,0 xyxyy34zxy14设等比数列满足,则_na12131,3aaaa 4a 15设函数则满足的的取值范围是_1,0,()2,0 xxxf xx1()()12f xf xx16为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直,斜边,a bABCAC,a b以直线为旋转轴旋转,有下列结论:ABAC当直线与成角时,与成角;ABa60ABb30当直线与成角时,与成角;ABa60ABb60直线与所成角的最小值为;ABa45直线与所成角的最大值为ABa60其中正确的是_(填写所有正确
5、结论的编号)三、解答题:(共70分第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共(一)必考题:共6060分分17(12分)的内角的对边分别为,已知ABC,A B C,a b csin3cos0,2 7,2AAab(1)求;c(2)设为边上一点,且,求的面积DBCADACABD18(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需2
6、0,25)求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10 15,15 20,20 25,25 30,30 35,35 40,天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;X(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:Y瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?Y19(12分)如图,四面体中,是正三角形,ABCDABC是直角三角形,ACDABDCBD=ABBD=(1)证明
7、:平面平面;ACD ABC(2)过的平面交于点,若平面把四面体ACBDEAEC DABCE分成体积相等的两部分求二面角的余弦值ABCDDAEC-20(12分)已知抛物线,过点(2,0)的直线 交于,两点,圆是以线段为直2:2C yx=lCABMAB径的圆(1)证明:坐标原点在圆上;OM(2)设圆过点(4,),求直线 与圆的方程MP2-lM21(12分)已知函数()1lnf xxax(1)若,求的值;()0f x a(2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值mn2111(1)(1)(1)222nm+m(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
8、22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为xOy1l2,xtyktt2l(为参数),设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线2,xmmyk m1l2lPkPC(1)写出的普通方程:C(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设:,x3l(cossin)20为与的交点,求的极径M3lCM23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数()|f xxx(1)求不等式的解集;()f x(2)若不等式的解集非空,求的取值范围()f xxxmm2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3)理科数学参考答案一、选择题1B2C3A4C5B6D7
9、D8B9A10A11C12A二、填空题13141516181(,)4三、解答题17解:(1)由已知可得,所以tan3A 23A在中,由余弦定理得,即ABC222844 cos3cc22240cc解得(舍去),6c 4c(2)由题设可得,所以2CAD6BADBACCAD 故面积与面积的比值为ABDACD1sin26112AB ADAC ADAAA又的面积为,所以的面积为ABC14 2sin2 32BAC ABD318解:(1)由题意知,所有可能取值为200,300,500,由表格数据知X,.2162000.290P X363000.490P X 25745000.490P X因此的分布列为:XX
10、200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200500n当时,300500n若最高气温不低于25,则;642Ynnn若最高气温位于区间20,25),则;6 3002(300)412002Ynnn若最高气温低于20,则6 2002(200)48002Ynnn因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EYnnnn当时,200300n若最高气温不低于20,则;642Ynnn若最高气温低于20,则6 2002(200)48002Ynnn因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EYnnn所以时,的数
11、学期望达到最大值,最大值为520元。300n Y19解:(1)由题设可得,从而ABDCBD ADDC又是直角三角形,所以ACD90ADC取的中点,连结,ACO,DO BO则,DOAC DOAO又由于是正三角形,故ABCBOAC所以为二面角的平面角DOBDACB在中,Rt AOB222BOAOAB又,所以ABBD,故222222BODOBOAOABBD90DOB所以平面平面ACD ABC(2)由题设及(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单,OA OB ODOOA x|OA 位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则Oxyz(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(0,0,1
12、)ABCD由题设知,四面体的体积为四面体ABCE的体积的,从而到平面的距离ABCD12EABC为到平面的距离的,即为的中DABC12EDB点,得,故3 1(0,)22E3 1(1,0,1),(2,0,0),(1,)22ADACAE O DABCE DABCEyxOz设是平面的法向量,则同理可取(,)nx y zDAE0,0m ACm AE(0,1,3)m 则7cos,|7n mn mn mA所以二面角的余弦值为DAEC7720解:(1)设1122(,),(,),:2A x yB xyl xmy由可得,则22,2xmyyx2240ymy124y y 又,故221212,22yyxx21212()
13、44y yx x 因此的斜率与的斜率之积为,所以OAOB1212414yyxx AOAOB故坐标原点在圆上OM(2)由(1)可得21212122,()424yym xxm yym故圆心的坐标为,圆的半径M2(+2,)mmM222(+2)rmm由于圆过点,因此,M(4,2)P0AP BP 故,1212(4)(4)(2)(2)0 xxyy即121212224()2()200 x xxxy yyy由(1)可得12124,4y yx x 所以,解得或2210mm 1m 12m 当时,直线 的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的1m l10 xy M(3,1)M10M方程为22(3)(1)10 xy当
14、时,直线 的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,12m l240 xyM91(,)42M854圆的方程为M229185()()4216xy21解:(1)的定义域为()f x(0,)若,因为,所以不满足题意;0a 11()ln2022fa 若,由知,当时,;当时,0a()1axafxxx(0,)xa()0fx(,)xa。所以在单调递减,在单调递增。故是在的唯()0fx()f x(0,)a(,)a xa()f x(0,)一最小值点。由于,所以当且仅当时,(1)0f1a()0f x 故1a(2)由(1)知当时,(1,)x1 ln0 xx 令,得,从而112nx 11(1)22nn221111111ln
15、(1)ln(1).ln(1).112222222nnn 故2111(1)(1).(1)222ne而,所以的最小值为323111(1)(1)(1)2222m22解:(1)消去参数 得的普通方程;消去参数得的普通方程t1l1:(2)lyk xmt2l21:(2)lyxk设,由题设得消去得(,)P x y(2),1(2).yk xyxkk224(0)xyy所以的普通方程为C224(0)xyy(2)的极坐标方程为C222(cossin)4(22,)联立得222(cossin)4,(cossin)20cossin2(cossin)故,从而1tan3 2291cos,sin1010代入得,所以交点的极径为222(cossin)425M523解:(1)3,1,()21,12,3,2xf xxxx 当时,无解;1x ()1f x 当时,由得,解得;12x()1f x 21 1x 12x当时,由解得2x()1f x 2x 所以的解集为()1f x|1x x(2)由得,而2()f xxxm2|1|2|mxxxx22|1|2|1|2|xxxxxxxx 235(|)24x 54且当时,32x 25|1|2|4xxxx故的取值范围为m5(,4
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