专题三反比例函数试题的解题思路.pdf

yxy2=mxy1=kx+bOBA专题三专题三 反比例函数试题的解题思路反比例函数试题的解题思路一、方法简述一、方法简述初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象，中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合，由于解析式的特征，不但能以函数图象为载体考查几何，而且能够以解析式为载体考查代数，如分式的变形运算等，是中考的热门题型，解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法，代定系数法的灵活应用。二、常用方法二、常用方法1.求反比例函数解析式的方法：求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法；利用几何图形的数量关系来确定；利用实际问题中的数量关系来确定；2.从反比例函数的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为；xky k3.反比例函数图象上的两个点（，）、（，），则。xky 1P1x1y2P2x2ykyxyx2211三、典例分析三、典例分析例例 1 1：如图，直线与双曲线相交于两点bkxy1xmy 2(21)(1)ABn，（1）当为何值时？；x21yy（2）把直线平移，使平移后的直线与坐标轴bkxy1围成的三角形面积为 2，求平移后得到的直线解析式.解：（1）根据图象，当或时，2x10 x21yy（2）212mxy2221n2n(1，-2)根据题意得：解得：B212bkbk11bk11xy直线与坐标轴的交点分别为（0，-1）、（-1，0)11xyCD方法一：设把直线向上平移个单位长度，所得到的直线为11xya1axy该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）xFyEE1a =EFDC1aOFOEEOFS2)1(212a解得：，所以平移后所得到的直线为或31a12a2xy2xy方法二：设把直线向右平移个单位长度，所得到的直线为 11xya1)(axy即 1axy 1OyxFEDCy1=-x-1该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）xFyEE1a EFDC1aOFOE=EOFS2)1(212a解得：，31a12a 所以平移后所得到的直线为或2xy2xy评析：第（1）小题，实际上是求直线在双曲线上方部分的自变量的取值范围，所以要先求出点的坐xB标，然后根据图象就可以直接写出自变量的取值范围；x第（2）小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解，要注意平移方向与平移距离之间a的关系。例例 2：探索发现：探索发现：如图，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距1ABC离叫的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得ABCaABCh出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证ahSABC21明）应用求值：应用求值：（1）如图，、是直线上的两个动点，横坐标分别为、，且，2ABxy32AxBx6ABxxBAxx 4点（，）.求：的面积；C45ABC（2）如图，直线与双曲线（）相交于、两点，与轴相交于点，的32xyxky 0kAByCAOB面积为 6，求：的值；k（3）如图，、是双曲线（）在第一象限上的两点，轴于交于点，4ABxky 0kADxDOBC，求：的值及的面积.OCODAOB301CDkAOB解：（1）过作轴交直线于如图：CCDyxy32D当时，4x38y)38,4(D37385CD737621)(21CDxxSABABC（2），当时，2xy0 x2y2OC图 4图 3图 2图 1ODCBAxyyxCOBAyxOCBADCBAhay=6xQ(m，n)P(a，b)Oxy记点的横坐标为，点的横坐标为.AAxBBx6AOBS6)(21OCxxAB 设点的横坐标为，则点的横坐标为6ABxxAmB)6(m(，)，Am2 m2)6()6(mmB，解方程得：2)6()6()2(mmmm4m(，)A428k（3），,OCOD30OCDO901CD22 CDOC3122222CDOCOD000003030309090CODAOCOAD AOCOAD2 OCAC3AD(，)A3333k直线为，设点（，），则，OCxy33Bbb33bb333392b或（不合题意舍去）所以的水平宽为 3.3b3bAOB33221AOBS评析：“探索发现-应用求值”与“阅读理解-创新应用”类似，解题时，要认真阅读“阅读理解”部分的内容，确实理解所用的知识、方法，并作为应用中的借鉴；把新的三角形面积计算方法应用在直角坐标系中，、两点横坐标之差，就是水平宽，、（或、）两点纵坐标之差便为铅垂高。ABOCAC四、强化训练四、强化训练1.如图，一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形（阴影部分）的面积是，与反比例函数kkxy21的图形相交于点（,）和（，），xy6PabQmn求的值.mnbnma)()(yxOCBA2.如图，已知直线与轴交于点，与双曲线交于（，）、（，）两点.ABxCxky A3320B5a轴于点，轴且与轴交于点.xAD DBExyE（1）求点的坐标及直线的解析式；BAB（2）判断四边形的形状，并说明理由.CBED3.已知反比例函数(为常数)的图象经过点(，）xmy8mA16（1）求的值；m（2）如图，过点作直线与函数的图象交于点，与 x 轴交于点，AACxmy8BC且，求点的坐标BCAB2C4.已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数)0(abaxy的图象与反比例函数)0(kxky的图象交于一、三象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为（,)，点的坐标为ABxCA2mB（，），。（l）求该反比例函数和一次函数的解析式；n252tanBOC（2）在轴上有一点（点除外），使得与的面积相等，求出点的坐标xEOBCEBCOEyxOABCEDxy第 5 题图FEODCBA5.如图，在矩形中，、两边分别在轴、轴的正半轴上，过OABCOAOCxy3OA2OC边上的点，沿着翻折，点恰好落在边上的点处，反比例函数在第一OADBDABDABCExky)0(k象限上的图象经过点与相交于点.EBDF（1）求证：四边形是正方形；ABED（2）点是否为正方形的中心？请说明理由.FABED6.如图，在平面直角坐标系中，(，)、（，），四边形是矩形，、分别是、A16OCO8OABCDEOA边上的点，沿着折叠矩形，点恰好落在轴上的点处，点落在点处BCDEAyCBB（1）求、两点的坐标；DE（2）反比例函数在第一象限内的图象经过点，判断点是否在这个反比例函数的图象上？(0)kykxEB并说明理由；（3）点是（2）中反比例函数的图象与原矩形的边的交点，点在平面直角坐标系中，以点、FABGDE、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。FGGBFEDCBAoxy 3 2 1DCBAOyxyxFEOCBACBAhayxFDCEABO7.探索发现：探索发现：如图 1，过的三个顶点分别画出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫ABC做的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出ABCaABCh一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）ahSABC21应用求值：应用求值：（1）如图 2，在直角坐标系中，(，)、（，）,点在第一象限，轴于点，交于A 23C60BxBF FAC点，.求：E310AE4BFABCS（2）如图 3，、是反比例函数的图象在第一象限上的两点，过作轴于，AB)0(kxkyAxAC C交于，连接，点的横作标为，求点的坐标及的值.OBD1CDAB9AOBSB6Ak如图 3，、是中反比例函数图象上两个动点，、的横作标分别为、（），MNMNmnnm 0，求：的值.9MONSnm8.如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过边的中点和OABAFExxky)0(kOBC的中点，已知等边的边长为AEDOAB4(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边的边长AFEFEyxOCBAy2=nxy1=mxyxOFEDCBA9.如图，点是反比例函数在第一象限的图象上一个动点，过点作轴交反比例函数Axmy 1AABy的图象于点（），分别过点、作轴的垂线，垂足为、，连接交反比例函xny 2B0 nmAByDCAC数的图象于点.xny 2F（1）求：矩形的面积（用含的代数式表示）；ABCDnm、（2）若点恰好是矩形的中心.FABCD求：的值nm若，其它的条件不变，判断的形状，并说明理由.030ACBAEF10.如图，将矩形放在直角坐际系中，为坐标原点点在轴正半轴上点是边上OABCOAyEAB的个动点(不与点、重合)，过点的反比例函数的图象与边交于点。ABE(0)kyxxBCF（1）若、的而积分别为且，求的值：OAEOCF12SS、12=2SSk（2）若问当点运动到什么位置时2OA4OCE 四边形的面积最大其最大值为多少?OAEFEDyxOCBA专题三、反比例函数专题三、反比例函数1.解：直线与轴交点为（0，），与轴交点为（-1,0）ykx 一次函数为：、又21121k1 xy1 ab1 mn6 mnab所以461)()(maamamnnbma2解：（1）双曲线过 A（3，），.把 B（-5，）代入,xky 32020kaxy20得.点 B 的坐标是（-5，-4）.4a 设直线 AB 的解析式为，将 A（3，）、B（-5，-4）代入得，nmxy320，解得：.直线 AB 的解析式为：.nmnm54332038,34nm3834xy（2）四边形 CBED 是菱形.理由如下:点 D 的坐标是（3,0），点 C 的坐标是（-2,0）.BE轴，点 E 的坐标是（0,-4）.x而 CD=5，BE=5，且 BECD.四边形 CBED 是平行四边形.在 RtOED 中，ED2OE2OD2，ED5，EDCD.CBED 是菱形.2243 3.解：（1），618m2m（2）分别过、作轴的垂线，垂足为、.ABxDE则，CBECAD31ADBECACB 6AD2BE在中，当时，xy62y3x 2)3(1ED121EDCE(-4,0)C4.解：（1）过 B 点作 BDx 轴，垂足为 D，B（n，2），BD=2，在 RtOBD 在，tanBOC=，即=，解得 OD=5，又B 点在第三象限，B（5，2），将 B（5，2）代入 y=中，得 k=xy=10，反比例函数解析式为 y=，Hxy第 5 题图FEODCBA将 A（2，m）代入 y=中，得 m=5，A（2，5），将 A（2，5），B（5，2）代入 y=ax+b 中，得，解得，则一次函数解析式为 y=x+3；（2）由 y=x+3 得 C（3，0），即 OC=3，SBCE=SBCO，CE=OC=3，OE=6，即 E（6，0）5.解：（1）四边形是矩形OABC、3 OABC2 OCAB090ABEDAB是由沿着翻折得到的BEDABDBD，090DABBEDBEBA 四边形是正方形 ABED（2）点是正方形的中心FABED理由：过作轴于，如图：FxFH H四边形是正方形，ABED2 BABE123BEBCCE(，)E12221k(，)、(，)直线为 D10B32BD1 xy设（，），则，Fa1a2)1(aa解得：，（不合题意舍去）21a12a（，），（，）F21H20045ADB，222ADBD22DHDFBFBDDF21点是正方形的中心.FABED6.解：（1）OA=16，OC=8，设 OD=m，则 CD=DA=16-m，在 RtCOD 中，COD=90 0 CD=OC+OD (16-m)=8+m ，m=6 D(6，0)四边形 OABC 是矩形222222OACB，CED=EDA，又EDA=CDE，CED=CDE，CE=CD=10，E(10，8)（2）过 B 作 B MBC 于 M 如图 1.B C=AB=OC=8，B E=BE=6，C B E=90，0FEMBDCBAxyOyxOEDCBACBA(n,12n)(m,12m)NMyxOB M=8.41068CEEBCBCM=，B（6.4，12.8）4.622MBCBk=108=80，y=，图 1 x80808.124.6点 B 不在这个反比例函数的图象上。（3）当 x=16 时，y=5 F(16，5)，有三种情况如图 2：把线段 DE 先向右平移 10 个单位长度，再向上平移 5个单位长度，端点 E 落在 G 处，G（20，13）；11把线段 EF 先向左平移 4 个单位长度，再向下平移 8 个单位长度，端点 F 落在 G 处，G（12，-3）；22把线段 DF 先向左平移 6 个单位长度，再向上平移 3 图 2个单位长度，端点 D 落在 G 处，G（0，3）；综上所述，在直角坐标系中存在：G（20，13）、331G（12，-3）、G（0，3）使得以 D、E、F、G 为顶点的四边形是平行四边形。237.解：（1）过 A 作 ADx 轴于 D.则 AD=3，OD=2，DC=4534ADDCAC2222BFx 轴，ADx 轴 ADEFCEFCAD EF=1,ADEFCACE3EF5310-5 S=ABCBEDC2161)-(4421(2)过 B 作 BEx 轴于 E。设 A（，）、B(6，则 CE=()，BE=aak)6ka66k直线 OB 为：D(a，)xky3636ak=1（）36akDC AD=，)1(ak9AOBS （）9)1621ak（ak4把（）代人（）解得 12k0k12kA(3，4)、B（6，2）（3）过 M 作 MAx 轴于 A，过 N 作 NBx 轴于 B,连接ON 交 MA 于点 C.直线 ON 为：当 x=m 时，y=xny212212nmG3G2G1F(16，5）D(6,0)E（10，8）oxyC()MC=-又MC=212,nmmm12212nmn92OB2SMON-=m12212nmn18mnmn18121222 0)2)(2nmnm（0 mn21nm8.解：(1)过点C作CGOA于点G，点C是等边OAB的边OB的中点，OC2，AOB60，OG1，CG，点C的坐标是(1，)，由，得：k，该双曲线所表示的函数解析式为y；(2)过点D作DHAF于点H，设AHa，则DHa点D的坐标为(4a，)，点D是双曲线y上的点，由xy，得(4a)，即：a24a10，解得：a12，a22(舍去)，AD2AH24，等边AEF的边长是 2AD489.解：设 A()，则 B（）、C(0，)ama,ana，an（1）AB=AD=anmanmSCDABABCD矩形（2）过点 F 作 FGBC 于 G.点 F 是矩形 ABCD 的中心点 F 坐标为（）,21aanm2把点 F（）代入得：化简得：,21aanm2xny 2ananm212nm33nmAEF 是直角三角形理由：由得，A()，在中，当 y=时，AE=nm3ana3,xny 2an3ax31a32ACB=30，ABC=90 tan30=000BCAB332aan263an AB=AF=aan332a332AC 又EAF=CAD3333aaADAF3333232aaACAEACAEADAFEAFCAD EFA=CDA=90 所以AEF 是直角三角形.010.解：（1）点 E、F 在函数的图象上，(0)kyxx设，111()(0)kE xxx，222()(0)kF xxx，111122kkSxx222122kkSxx，。12=2SS222kk2k（2）四边形 OABC 为矩形，OA=2，OC=4，设，(2)2kE，(4)4kF，BE=，BF=42k24k211(4)(2)422416BEFkkSkk，14242OCFkkS 2 4=8OABCS 矩形2211=844162162BEFOCFOABCOAEFkkSSSSkkk 矩形四边形（）=21(4)516k当时，AE=2.4k 5OAEFS四边形当点 E 运动到 AB 的中点时，四边形 OAEF 的面积最大，最大值是 5.