精华：特殊平行四边形知识归纳和题型精讲.pdf

八年级平行四边形相关知识归纳八年级平行四边形相关知识归纳和常见题型精讲和常见题型精讲性质和判定总表性质和判定总表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形的矩形矩形菱形菱形正方形正方形边边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角角四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四个角都是直角四个角都是直角性性质质对对角角线线互相平分且相等互相平分且相等互相垂直平分，且每条互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角对角线平分一组对角互相垂直平分且相等互相垂直平分且相等,每条对角线平每条对角线平分一组对角分一组对角判定判定有三个角是直角有三个角是直角;是平行四边形且是平行四边形且有一个角是直角有一个角是直角;是平行四边形且是平行四边形且两条对角线相等两条对角线相等.四边相等的四边形；四边相等的四边形；是平行四边形且有一是平行四边形且有一组邻边相等；组邻边相等；是平行四边形且两条是平行四边形且两条对角线互相垂直。对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。是菱形，且有一个角是直角。对称性对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形一一.矩形矩形矩形定义矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质矩形性质 1:矩形的四个角都是直角矩形性质矩形性质 2:矩形的对角线相等且互相平分 如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，由性质 2 有 AO=BO=CO=DO=AC=21BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上21的中线等于斜边的一半矩形的判定方法矩形的判定方法矩形判定方法矩形判定方法 1：对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法矩形判定方法 2：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定方法矩形判定方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法矩形判定方法 4：(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形例例 1 已知：如图，矩形 ABCD，AB 长 8 cm，对角线比 AD 边长 4 cm求 AD 的长及点A 到 BD 的距离 AE 的长 例例 2 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DFAE 于 F，若 AE=BC 求证：CEEF 例例 3如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长例例 4、如图，在 ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F(1)求证：AB=CF；(2)当 BC 与 AF 满足什么数量关系时，四边形 ABFC是矩形，并说明理由 二菱形二菱形FEDCBA菱形定义：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形的性质菱形的性质性质性质 1 菱形的四条边都相等；性质性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形的判定菱形判定方法菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形例例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E 求证：AFD=CBE 例例 2 已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形 例例 3、如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边AD、BC 分别交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.ABCDEFO12例例 4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE、BD 交于M，若 AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。例例 5（10 湖南益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A=60,AB=4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为 E(1)求线段BE的长例例 6、（、（2008 四川自贡）四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，DEAB 交 BA 的延长线于E，DFBC，交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想例例 7、（、（2008 山东烟台）山东烟台）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.B M A D C E DABCOE60三正方形三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方正方形的性质总结如下：形的性质总结如下：边：边：对边平行，四边相等；角：角：四个角都是直角；对角线：对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法：正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形注意：注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，DGAE于 G，DG 交 OA 于 F求证：OE=OF图 5EDCBA 例例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1l2，作 BMl1于 M，DNl1于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点求证：四边形 PQMN 是正方形例例 3、（、（2008 海南）海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且PE=PB.（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设 AP=x,PBE 的面积为 y.求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.ABCPDE例例 4 4（2006 年河南省）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC，E 为底边 BC 的中点，且 DEAB，试判断ADE 的形状，并给出证明例 5：（2008 深圳）如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，DB 平分ADC，过点 A 作AEBD，交 CD 的延长线于点 E，且C2E（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形（2）若BDC30，AD5，求 CD 的长例题讲解例题讲解例一.分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法解：设 AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在 RtABD 中，由勾股定理：，解得 x=6 则 AD=6cm222)4(8xx（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm例二分析：分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AFBE，则问题解决，而证明 AFBE，只要证明ABEDFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形 证明：四边形 ABCD 是矩形，B=90，且 ADBC 1=2 DFAE，AFD=90 B=AFD又 AD=AE，ABEDFA（AAS）AF=BE EF=EC此题还可以连接 DE，证明DEFDEC，得到 EFEC菱形 例 1 证明：证明：四边形 ABCD 是菱形，CB=CD，CA 平分BCD BCE=DCE又 CE=CE，BCECOB（SAS）CBE=CDE 在菱形 ABCD 中，ABCD，AFD=FDCAFD=CBE例例 2 证明证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO，AOECOF EO=FO 四边形 AFCE 是平行四边形又 EFAC，AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)例 6、解：DEDF 证明如下：连结 BD四边形 ABCD 是菱形CBDABD(菱形的对角线平分一组对角)DFBC，DEABDFDE(角平分线上的点到角两边的距离相等)例 7、正方形正方形 例 1 分析：要证明 OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据 ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得 证明：四边形 ABCD 是正方形，AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE，EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF例 2 分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证 AN=DP即可证出 MN=NP从而得出结论证明：证明：PNl1，QMl1，PNQM，PNM=90 PQNM，四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）1+2=90又 3+2=90，1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例 3 （1）证法一：四边形 ABCD 是正方形，AC 为对角线，BC=DC,BCP=DCP=45.PC=PC，PBCPDC（SAS）.PB=PD，PBC=PDC.又 PB=PE，PE=PD.（i）当点 E 在线段 BC 上(E 与 B、C 不重合)时，PB=PE，PBE=PEB，PEB=PDC，PEB+PEC=PDC+PEC=180，DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90，PEPD.）（ii）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时，PEPD.（iii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图.PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90，PEPD.综合（i）（ii）（iii）,PEPD.（2）过点 P 作 PFBC，垂足为 F，则 BF=FE.AP=x，AC=，2 PC=-x，PF=FC=.2xx221)2(22 BF=FE=1-FC=1-()=.x221x22 SPBE=BFPF=().x22x221xx22212即 (0 x).xxy222122.41)22(21222122xxxy 0，21a 当时，y最大值.22x41（1）证法二：过点 P 作 GFAB，分别交 AD、BC 于 G、F.如图所示.四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形，AGP 和PFC 都是等腰直角三角形.ABCPDEFABCDPE12HABCPDEFG123 GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90.又 PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS）.PE=PD.1=2.1+3=2+3=90.DPE=90.PEPD.（2）AP=x，BF=PG=，PF=1-.x22x22 SPBE=BFPF=().x22x221xx22212即 (0 x).xxy222122.41)22(21222122xxxy 0，21a 当时，y最大值.22x41(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)例 4 【解析】ADE 是等边三角形 理由如下：AB=CD，梯形 ABCD 为等腰梯形，B=C E 为 BC 的中点，BE=CE 在ABE 和DCE 中，,ABDCBCBECE ABEDCE AE=DE ADBC，DEAB，四边形 ABCD 为平行四边形 AB=DE AB=AD，AD=AE=DE ADE 为等边三角形例 5：（1）证明：AEBD,EBDC DB 平分ADC ADC2BDC 又C2EADCBCD梯形 ABCD 是等腰梯形 （2）解：由第（1）问，得C2E2BDC60，且 BCAD5 在BCD 中，C60,BDC30DBC90DC2BC10完