考研题型经典总结高数部分.pdf

2011 考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结1 高数部分1.1 高数第一章函数、极限、连续1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于型和00型的题目直接用洛必达法则，对于、型的题目则是先转化为型00100或型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括、1sinlim0 xxx、；4.夹逼定理。exxx10)1(limexxx)1(1lim1.3 高数第二章导数与微分、第三章不定积分、第四章定积分第二章导数与微分与前面的第一章函数、极限、连续、后面的第三章不定积分、第四章定积分都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。对于第三章不定积分，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分中的积分常数 C 容易CxFdxxf)()(被忽略，而考试时如果在答案中少写这个 C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分的结果可以写为 F(x)+1，1 指的就是那一分，把它折弯dxxf)(后就是中的那个 C,漏掉了 C 也就漏掉了这 1 分。CxFdxxf)()(第四章定积分及广义积分可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于型定积分，若 f(x)是奇函数则aadxxf)(有=0；若 f(x)为偶函数则有=2；对于aadxxf)(aadxxf)(adxxf0)(型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常用方法。所以20)(dxxfxt2解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换 x=-u 和利用性质、0aa奇函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套aaa02偶函数偶函数路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。1.41.4 高数第五章高数第五章中值定理的证明技巧中值定理的证明技巧由本章中值定理的证明技巧讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式 AE、(AB)C、(CDE)F,由这样一组逻辑关 系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出 A、B、D，求证 F 成立。为了证明 F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明 F 成立必备逻辑公式中的AE 就可能有 AH、A(IK)、(AB)M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(AB)M，因为其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个，但这恰恰走不通；2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB)C，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(CDE)F 再倒推想到(AB)C、A E 就可以证明了。如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：条件欲证结论可用定理A关于闭区间上的存在一个介值定理（结论部分为：存在一个使得连续函数，常常是只有连续性已知满足某个式子）kf)(零值定理（结论部分为：存在一个使得）0)(fB条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存在一个满足0)()(nf费尔马定理（结论部分为：）0)(0 xf洛尔定理（结论部分为：存在一个使得）0)(fC条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存在一个满足kfn)()(拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个使得）abafbff)()()(柯西中值定理（结论部分为：存在一个使得）)()()()()()(agbgafbfgf另外还常利用构造辅助函数法，转化为可用费尔马或洛尔定理的形式来证明从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱，如表格中 B、C的条件是一样的，同时 A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个使得”、看到题目欲证结论中出现类似“存在一个使得kf)(”的形式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子kf)(；而见到式子也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在0)(f)()()()()()(agbgafbfgf处理本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。1.51.5 高数第六章高数第六章常微分方程常微分方程本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放在第一位的；分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“辨明类型套用对应方法求解”的套路，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。先讨论一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循这些方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为 f(x)dx=f(y)dy 这样的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程，就是变形为=-，再积0)()()()(2211dyygxfdxygxfdxxfxf)()(21dyygyg)()(12分求解；对于齐次方程则做变量替换，则化为，原)(xyfy xyu ydxduxu 方程就可化为关于的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程xu和第一步先求的通解，然后将变形得到的)()(xqyxpy0)(yxpy积分，第二步将通解中的 C 变为 C(x)代入原方程dxxpydy)(解出 C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程)()(xqyxpy，先做变量代换代入可得到关于 z、x 的一阶线性方)()(xqyxpynynyz1程，求解以后将 z 还原即可；全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy 比较特殊，因为其有条件，而且解题时直接套用通解公式.xNyMxxdxyxM0),(0yyCdyyxN0),(所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于型方程，就是先把当)()(xfyn)1(ny作未知函数 Z，则 原方程就化为 的一阶方程形式，Zyn)(dxxfdz)(积分即得；再对、依次做上述处理即可求解；)2(ny)3(ny 叫不显含 的二阶方程，解法是通过变量替换、),(yxfy ypy (p 为 x 的函数)将原方程化为一阶方程；叫不显含 x 的二阶py),(yyfy 方程，变量替换也是令（但此中的 p 为 y 的函数），则py，也可化为一阶形式。pppydydpdxdydydp 所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换”，“求解uxy贝努利方程就用变量替换”一样，在这里也要记住“求解不显含 y 的二阶方程nyz1就用变量替换、”、“求解不显含 x 的二阶方程就用变量替换py py、”。py ppy 大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：若、是齐次方程)(1xy)(2xy的两个线性无关的0)()(yxqyxpy特解，则该齐次方程的通解为)()()(2211xycxycx若齐次方程组 Ax=0 的基础解系有(n-r)个线性无关的解向量，则齐次方程组的通解为rnrnykykykx 2211非齐次方程的通解为)()()(xfyxqyxpy，其中)()()(12211xyxycxycy是非齐次方程的一个特解，)(1xy是对应齐次方程)()(2211xycxyc的通解0)()(yxqyxpy非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于 Ax=b 的一个特解与其导出组齐次方程 Ax=0 的通解之和若非齐次方程有两个特解，则对应)(1xy)(2xy若、是方程组 Ax=b 的两个特解，则(-1r2r1r齐次方程的一个解为)()()(21xyxyxy)是其对应齐次方程组 Ax=0 的解2r由以上的讨论可以看到，本章并不应该成为高数部分中比较难办的章节，因为这一章如果有难点的话也仅在于“如何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法”，也可以说本章难就难在记忆量大上。1.61.6 高数第七章高数第七章一元微积分的应用一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分单独分离到方程的一端形成“”dttfxa)(dttfxa)(的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。对于导数应用，有以下一些小知识点：1.利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：A.极值的定义是：对于的邻域内异于0 x的任一点都有或,注意是或 而不是0 x)(xf)(0 xf)(xf)(0 xf或；B.极值点包括图 1、图 2 两种可能，所以只有在在处可导且在处取极值时)(xf0 x0 x才有。以上两点都是实际做题中经常忘掉的地方，故有必要加深一下印0)(xf象。2.讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零值定理（结论部分为）、洛尔0)(f定理（结论部分为）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到0)(f很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。3.理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数在 区间)(xfI 上的，则在 I 上是凸的；若在 I 上的，0)(xf)(xf)(xf0)(xf则在 I 上是凹的；B.若在点处有且，)(xf)(xf0 x0)(xf0)(0 xf则当时为极大值，当时为极小值。0)(0 xf)(0 xf0)(0 xf)(0 xf其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，是的变)(xf)(xf化率，是的变化率。可以说明函数是增函数，典型图像是)(xf )(xf 0)(xf；可以说明函数的变化率在区0)(xf)(xf间 I 上是递减的，包括以下两种可能：a.此时为正，且随变大而变小（大小)(xf x关系可参考图 3）；b.此时为负，随变大而变小（大小关)(xf x系可参考图 3）；同样，也只有两种对应图像：0)(xfc.此时为正，随着变大而变大；)(xf xd.此时为负，随变大而变大。)(xf x所以，当时，对应或的函数图像，是凸0)(xf的；当时，对应或的函数图像，是凹的。0)(xf相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“且”，这从图像上也很容易理解：满足的图像必0)(xf0)(0 xf0)(xf是凸的，即或，当且时不就一定是0)(xf0)(0 xf的情况吗。对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。在历年考研真题中，有大量的题是利用微元法来获得方程式的，微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一；但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃，对于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想。在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳微元法的三种常见类型：1.薄桶型.本例求的是由平面图型 axb,0yf(x)绕 y 轴旋转所形成的旋转体体积。方法是在旋转体上取一薄桶型形体（如上图阴影部分所示），则根据微元法思想可得薄桶体积 ,其中是薄dxxxfdv)(2)(xf桶的高，是薄桶展开变成薄板后的底面积，就是薄板的厚度；二者相)(2xxfdx乘即得体积。对 积分可得。在这个例子中，体dxxxfdv)(2dxxxfV)(2现微元法特色的地方在于：1.虽然薄桶的高是个变化量，但却用来表示；2.用)(xf表示薄桶的厚度；3.核心式。dxdxxxfdv)(22.薄饼型.本例求的是由抛物线及2xy 绕轴旋转形成的高 的旋转体体积，方法是取如上图阴影部分所示24xy yH的一个薄饼型形体，可得微元法核心式。其中 dyydvy)(4)(4yy 是薄饼的底面积，薄饼与 旋转面相交的圆圈成的面积是 2xy,，；同理薄饼与 旋转面相交2rxr 2r2xy24xy 的圆圈成的面积是，二者相减即得薄饼底面积。核心式中的 是薄饼的高。4ydy这个例子中的薄饼其实并不是上下一般粗的圆柱，而是上大下小的圆台，但将其视为上下等粗来求解，这一点也体现了微元法的特色。3.薄球型.本例求球体质量，半径为 ，密度 R，其中 指球内任意一点到球心的距离。方法是取球体中的一个薄球形2rr形体，其内径为 厚度为，对于这个薄球的体积有，其rdrdrrrdv24中是薄球表面积，是厚度。该核心式可以想象成是将薄球展开、摊平得到24 rdr一个薄面以后再用底面积乘高得到的。由于很小，故可认为薄球内质量均匀，为dr，则薄球质量，积分可得结果。本2rdrrdrrrdm42244例中“用内表面的表面积乘以薄球厚度得到核心式”、“将内的薄球密24 rdrdv度视为均匀”体现了微元法的特色。通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点认识。这种方法的灵活运用必须通过自己动手做题体会才能实现，因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法的原因。关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：求平面图形面积dxxfsba)(求旋转体体积（可用微元法也可用公式）左图中图形绕轴旋转体的体积x，绕轴旋转体得体积dxxfVxba)(2ydxxxfVyba)(2左图中图形绕轴旋转体的体积x，绕轴旋转体得体积dxxfxfVxba)()(2122ydxxfxfxVyba)()(212已知平行截面面积求立体体积 dxxsVba)(求平面曲线的弧长 dxylba2)(11.71.7 高数第十章高数第十章多元函数微分学多元函数微分学复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。本章主要内容可以整理成一个大表格：二元函数的定义（略）相似一元函数的定义（略）二元函数的连续性及极限：二元函数的极限要求点以任何方向、任何),(yx路径趋向时均有（),(00yxPAyxf),(、）。如果沿不同路径的0 xx 0yy 不相等，则可断定),(lim00yxfyyxx不存在。),(lim00yxfyyxx不同一元函数的连续性及极限：一元函数的极限与路径无关，由等价式即可判断。AxfxfAxfxx)()()(lim000二元函数在点处连续),(yxfz),(00yxP性判断条件为：存在且等于),(lim00yxfyyxx),(00yxf相似一元函数在点处连续性)(xfy 0 x判断条件为且等于)(lim0 xfxx)(0 xf二元函数的偏导数定义二元函数的偏导数定义),(yxfz 分xyxfyxxfxzxx),(),(limlim000000段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义相似一元函数的导数定义一元函数的导数定义：)(xfy 分xxfxxfxyxx)()(limlim0000段函数在分界点处求导数需要用导数定义二元函数的全微分：简化定义为：对于函数，若其在点),(yxfz 处的增量可表示为),(00yxPz，其中为)(oyBxAz)(o相似一元函数的全微分：简化定义为：若函数在点)(xfy 处的增量可表示为xy，其中是的高dxAydx的高阶无穷小，则函数在),(yxf处可微，全微分为，),(00yxPyBxA一般有dydxdzyzxz阶无穷小，则函数在该点可微，即，一般有xAdydxxfdy)(二元函数可微、可导、连续三角关系图连续 可导 可微不同二元函数可微、可导、连续三角关系图连续 可导 可微多元函数的全导数设，),(wvufz，且都可导，)(tgu)(thv)(tkw 则对的全导数ztdtdwwfdtdvvfdtduufdtdz不同一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度理解。一元复合函数是指、时有)(ufy)(xgu。与左边的多元函数全导dxdududydxdy数公式比较就可以将二式统一起来。多元复合函数微分法复合函数求导公式：设、),(wvufz、),(yxju),(yxhv，则有),(yxkw。对于多元ywwzyzvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxz复合函数求导，在考研真题中有一个百出不厌的点就是函数对中间变量的偏导数、zwvu,uz、仍是以为中间变量的复合函数，vzwzwvu,此时在求偏导数时还要重复使用复合函数求导法。这是需要通过足量做题来熟练掌握的知识点，在后面的评题中会就题论题作更充分的论述。相似一元复合函数求导公式如上格所示，与多元复合函数求导公式相似，只需分清式子中与的不同即可dxdzxz多元隐函数微分法求由方程确定的隐含数0),(zyxF一元复合函数、参数方程微分法对一元隐函数求导常采用两种方法：1.公的偏导数，可用公式：),(yxZZ，对于由),(),(zyxFzyxFxzzx),(),(zyxFzyxFyzzy方程组确定的隐含数0),(0),(zyxGzyxF、可套用方程组)(xyy)(xzz 00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx式),(),(yxFyxFdxdyyx2.将视为的函数，在方程两边yx同时对求导x一元参数方程微分法：若有则)()(tyytxx)()(txtydxdy关于这一部分，多元与一元的联系不仅是“形似”，而且在相当大程度上是相通的，在考研真题中此处与上面的多元复合函数求导是本章的两个出题热点，屡屡出现相关题目，在后面的评题中有更多讨论。多元函数的极值极值定义：函数在点),(yxfz 的邻域内有定义，且对于其中异于),(00yxP点的任一点，恒有P),(yxQ或),(),(00yxfyxf，则称为),(),(00yxfyxf),(00yxf的极小/大值，方程组),(yxf的解称为函数的驻点。0),(0),(yxfyxfyx相似一元函数的极值极值定义：函数在点的邻)(xfy 0 x域内有定义且对于其中异于该点的任一点恒有或)()(0 xfxf，则称为)()(0 xfxf)(0 xf的极小/大值，方程)(xfy 的解称为函数的驻点。0)(xf取极值的充分条件函数在点的邻域内有),(yxfz),(00yxP连续二阶偏导，且满足、0),(00yxfx、0),(00yxfy0),(),(),(0000200 yxfyxfyxfyxxy相似取极值的充分条件函数在点的邻域内可导，)(xfy 0 x且满足、，0)(xf0)(xf则：若，则为极小值；0)(xf)(0 xf，若或则0),(00 yxfx0),(00 yxfy为极小值点；),(00yxP若或则0),(00 yxfx0),(00 yxfy为极大值点。),(00yxP大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”，是一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的内容。若，则为极小值0)(xf)(0 xf1.81.8 高数第十章高数第十章重积分重积分大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。这一部分在历年真题中直接考到的情况很少，但却经常涉及，尤其是在关于曲线、曲面积分的题中，一般都需要将曲线、曲面积分转化为重积分来计算结果。关于二重积分的性质，可以结合二重积分的几何意义和定积分的对应性质来理解，因为理解几何意义有利于解应用性问题，而且定积分和二重积分的性质定理几乎是一一对应的，对比起来很直观。在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧，这一点在后面评题时会有针对性的讨论。