空间直线和平面总结-知识结构图+例题.pdf

空间直线和平面空间直线和平面知识串讲空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线 线面 面面 公理 4(a/b,b/c a/c)线面平行判定/,/abab 面面平行判定 1 ababa/,/面面平行性质 ababAab,/,/线面平行性质 aabab/面面平行性质 1/aa 面面平行性质/A b a a b 2.线线、线面、面面垂直关系的转化：线线 线面 面面 三垂线定理、逆定理 PAAOPOaa OAa POa POa AO,为在 内射影则 线面垂直判定 1 面面垂直判定 a babOl a l bl,aa 线面垂直定义 lal a 面面垂直性质，推论 2 baa ba,aa 面面垂直定义 ll，且二面角成直二面角 3.平行与垂直关系的转化：线线 线面 面面 线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 abab/abab/aa/aa a 4.应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：（三）空间中的角与距离 1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角：090 （2）直线与平面所成的角：090 （时，或）0bb （3）二面角：二面角的平面角，0180 2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离构造三角形，解三角形，求该线段的长。4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。【典型例题典型例题】例.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是 A1B1和 BB1的中点，那么 AM 与 CM 所成角的余弦值为（）52.D53.C210.B23.A 分析：分析：如图，取 AB 中点 E，CC1中点 F 连结 B1E、B1F、EF 则 B1E/AM，B1F/NC EB1F 为 AM 与 CN 所成的角 又棱长为 1 B EB FEF11525262，cosEB FB EB FEFB E B F11212211225 选 D 例 3.已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：lm /l mlmlml m 其中正确的两个命题是（）A.与B.与C.与D.与 分析：分析：对于正确llml m/对于，如图lamlm/错 对于正确llmmm/对于，如图ll mm/错 正确，选 D 例 4.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F。（1）证明 PA/面 EDB。（2）PB平面 EFD。证：证：（1）连 AC，AC 交 BD 于 O，连 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是 AC 中点 又 E 为 PC 中点 EO/PA 又面，且面EOEDBPAEDB PA/面 EDB （2）PD底面 ABCD BCPD 又且BC DCPDDCD BC面 PDCBCDE 又 E 为等直角三角形中点 DE PCPCBCC且 DE面 PBCDEPB 又已知且EF PBEFDEE PB面 DEF 例 5.正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1BC1，求证：A1CBC1。证明：证明：设 E、E1分别是 BC、B1C1的中点，连 AE，A1E1，B1E，E1C 则面，面及AEB BCCA EB BCCEBE C11111111/AEB BCCABBCEBBCEBE CE C BCA EB BCCA C BC面面1111111111111111/注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。例 6.下列正方体中，l 是一条体对角线，M、N、P 分别为其所在棱的中点，如何证明 l面 MNP。（1）D1 P C1 M A1 B1 l D C A B N（2）D1 C1 A1 B1 l N M D C P A B （3）D1 C1 A1 P B1 N l D C M A B 分析：分析：在侧面的射影显然与、垂直lMPMN MP lMN llMNP，面 显然 分别与在底面上射影垂直及与垂直lMNMP lMNP面 如图，取棱 A1A、DC、B1C1的中点，分别记为 E、F、G，显然 EMFNGP 为平面图形，而 D1B 与该平面垂直l面 MNP例 7.如图，斜三棱柱中，ABCA B CACA BAAACAB 810ACB=90，侧棱与底面成 60的角。（）求证：面面；1AA C CABC （）求侧面的面积。2AA B B 分析：分析：要证明面面，只要证明面，又，只要AA C CABCBCAA C CBC AC 证明，故只要证明平面。BC ACACA BC 证明：证明：（）为菱形1AA C C ACA C 又面ACA BACA BCACBC 又ACB=90，即 ACBC BCAA C C面 又面面面BCABCABCAA C C （）作于2A D ACD 面面，为交线AA C CABCAC A DABC面 与底面成的角，即为侧棱60ACA AAADA 过 作于，连结，则DDE ABEA EA E AB 又，ADA D86048604 3cossin D 为 AC 中点 在中Rt ABC DEBCADABDE4610125 A EA DDE()()22224 31258521 SABA EA ABB平行四边形 10852116 21 例 8.已知 RtABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D、E 分别是 AB、AC 的中点，沿 DE 将ABC 折成直二面角，使 A 到 A的位置（如图）。求：（1）C 到 AD 的距离；（2）D 到平面 ABC 的距离；（3）AD 与平面 ABC 所成角的正弦值。解：解：（1）二面角 ADEB 是直二面角 又 AEED，CEED ED面 AEC 及 EC面 AED 作 EFAD 于 F，连结 CF，则 CFAD CF 即为 C 点到直线 AD 的距离 在 RtAED 中，EFAD=AEED EF435125 FCEFEC222212544 345()/BCADEBCABCBC/DE2面，面，）（DE/面 ABC E 到面 ABC 的距离即为 D 点到平面 ABC 的距离 过 E 作 EMAC 于 M ED面 AEC 又 BC/ED BC面 AEC BCEM EM面 ABC 为 点到平面的距离即为 点到面的距离且EMEA BCDA BCEM=2 2 或者用体积法：由VVD A BCABCD 即1313ShSA EA BCBCD hSA ESBC CE A EBC A CBCDA BC12122 2 （）设与平面所成角为3A DA BC 5DA22hBCAD2及的距离为点到面）知又由（sinhA D2 25 例 9.如图，直三棱柱中，侧棱ABCA B CACBACCB1119012AAAA B BDB CM111111，侧面的两条对角线交点为，的中点为。（）求证：平面；1CDBDM （）求面与面所成二面角的大小。21B BDCBD（1）证明：证明：连结，则CACABC112 又 为中点DA BCD BD1 易知面ACBB C C11 CBCDBB C C111是在底面上射影 故只要BM CB1 设BMCBE1 在和中Rt CBBRt BB MCBBBBBMB1111121122 又90MBBCBB11 Rt CBBRt BB M11 BCBB BM11 又B BMCBM190 BCBCBMCEB19090 BM CBBM CD1 由知面CDBDM （2）解：解：AB12312 B DBDBB111 即为正三角形，取中点，则B DBBDFB F BD11 又取 BC 中点 N，连结 NF NFCD/12 又CD BDNF BD 为所求二面角的平面角NFB1 又，B NCDBCBD12222222162211()NFB F12321，在中由余弦定理DCB1 cos()()()NFBFNFBNBFN FB12121222221232622123233 所求二面角为arccos33【模拟试题模拟试题】一.选择题 1.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（）A.成异面直线B.相交C.平行D.平行或相交 2.已知直线 a，b，平面，有下列四个命题 aa/，；/，；aa，/；abab，/其中正确的命题有（）A.B.C.D.以上都不对 3.边长为 a 的正三角形 ABC 中，ADBC 于 D，沿 AD 折成二面角 BADC 后，BCa12，这时二面角 BADC 的大小为（）A.30B.45C.60D.90 4.设 a，b 是两条异面直线，P 是 a，b 外的一点，则下列结论正确的是（）A.过 P 有一条直线和 a，b 都平行 B.过 P 有一条直线和 a，b 都相交 C.过 P 有一条直线和 a，b 都垂直 D.过 P 有一个平面与 a，b 都平行 5.若 a，b 是异面直线，点 A、B 在直线 a 上，点 C、D 在直线 b 上，且 AD=AC，BD=BC，则直线 a，b 所成的角为（）A.90B.60C.45D.30二.填空题 6.设正方体ABCDA B C D1111的棱长为 1，则 （1）A 点到CD1的距离为_ （2）A 点到BD1的距离为_ （3）A 点到面BDD B11的距离为_ （4）A 点到面A BD1的距离为_ （5）AABB D D111与面的距离为_ 7.如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是DCBC、中点，现沿 AE、AF、EF 把它折成一个四面体，使 B、D、C 三点重合于 G，则VA GEF=_。8.把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高线 AD 折成 60的二面角，则点 A 到 BC 的距离为_。9.如图 PAO 面，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，E、F 分别是 A 在 PB、PC 上的射影，给出下 D C A B D1 C1 A1 B1 列结论：AFPB，EFPB，AFBC，AE平面 PBC，其中正确命题的序号是_。10.平面平面，其交线为 l，AB，AB 与所成角为 30，则 AB 与 所成角的取值范围是_。三.解答题 11.四面体 ABCS 中，SB、SC、SA 两两垂直，SBA=45，SBC=60，M 为 AB 的中点。求：（1）BC 与面 SAB 所成的角；（2）SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。13.在矩形 ABCD 中，已知ABAD12，E 是 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折到A BE的位置，使A CA D。（1）求证：平面A BE平面 BCDE。（2）求A C和面 BCD 所成角的大小。14.如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中，ABC=90，SA面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD 12。（I）求VSABCD；（II）求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值。【试题答案试题答案】一.1.C2.C3.C 4.C（当 P 点和直线 a 确定的平面与 b 平行时，则过 P 点的直线与 a 不相交，B 错，当 P 点在 a 或 b 上时，D 不成立）5.A二.6.（），（），（），（），（）162263322433522 7.a324 8.154a 9.10.（0，60 （如图ABD30，90BAD30 BAD60 0BAD60）三.11.解：（1）SCSA，SCSB SC面 SAB SB 是 CB 在面 SAB 上的射影 SBC 是直线 BC 与面 SAB 所成的角，且为 60 （2）连 SM，CM，则 SMAB（SAB 为等腰 Rt）AB面 CSM,设 SHCM 于 H，则 ABSH SH面 ABC SCH 为 SC 与平面 ABC 所成的角 设 SB=SA=a,则SMaSCa tga22603，CMaaaSCHSMCM()()sin322727722 注：“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，却又是面 ABC 的斜线。12.证：（1）PA面 ABC，PC 在面 ABC 上射影为 AC 又 AB 为O 直径 BCAC BCPC BC面 PAC 又 BC面 PBC面 PAC面 PBC （2）由（1）知 BC面 PAC 又 AE面 PAC BCAE，又 PCAE AE面 PBC 又 AE面 AEB 面 AEB面 PBC 或者：由（1）知面 PAC面 PBC，PC 为交线 又 AEPC AE面 PBC 又 AE面 AEB 面 AEB面 PBC 注：线线垂直线面垂直面面垂直 13.（1）取 BE 中点 M，CD 中点 N，连NMNAMNM A、，分别为中点 A BA EA CA D，A M BEA N CDMN CDCDA MNCD A MBECDA MBCDEA MA BEA BEBCDE，面又与不平行，必相交面又面面面 （2）连结 MC，A MBCDE面 A CM就是A C与面 BCDE 所成的角,设 AB=a，则A Ma22 在中，Rt MNCMCMNNCaaa22222232252()()MCa102 在中，Rt A CMtgA CMaa 2210255 A CMarctg55 14.分析：易证 AD面 SAB （I）VSA SSADBCABSABCABCDABCD131234()VSABC1313414 （II）延长 CD、BA 交于点 E 连结 SE，SE 即为面 CSD 与面 BSA 的交线 又DA面 SAB 过 A 作 AFSE 于 F 连 FD，则 DFSE 为二面角的平面角AFD 又易知SAE 为等腰直角三角形，F 为 SE 中点 AFSESAADAFDADFA1222221222又tan