1、空间直线和平面空间直线和平面知识串讲空间直线和平面:(一)知识结构(二)平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化:线线 线面 面面 公理 4(a/b,b/c a/c)线面平行判定/,/abab 面面平行判定 1 ababa/,/面面平行性质 ababAab,/,/线面平行性质 aabab/面面平行性质 1/aa 面面平行性质/A b a a b 2.线线、线面、面面垂直关系的转化:线线 线面 面面 三垂线定理、逆定理 PAAOPOaa OAa POa POa AO,为在 内射影则 线面垂直判定 1 面面垂直判定 a babOl a l bl,aa 线面垂直定义 lal a 面面
2、垂直性质,推论 2 baa ba,aa 面面垂直定义 ll,且二面角成直二面角 3.平行与垂直关系的转化:线线 线面 面面 线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 abab/abab/aa/aa a 4.应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定,由已知想性质。”5.唯一性结论:(三)空间中的角与距离 1.三类角的定义:(1)异面直线所成的角:090 (2)直线与平面所成的角:090 (时,或)0bb (3)二面角:二面角的平面角,0180 2.三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算”即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义;(3)指出所求作的角;
3、(4)计算大小。3.空间距离:将空间距离转化为两点间距离构造三角形,解三角形,求该线段的长。4.点到面的距离,线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法:三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。【典型例题典型例题】例.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M、N 分别是 A1B1和 BB1的中点,那么 AM 与 CM 所成角的余弦值为()52.D53.C210.B23.A 分析:分析:如图,取 AB 中点 E,CC1中点 F 连结 B1E、B1F、EF 则 B1E/AM,B1F/NC EB1F 为 AM 与 CN 所成的角 又棱长为 1 B EB FEF115
4、25262,cosEB FB EB FEFB E B F11212211225 选 D 例 3.已知直线平面,直线平面,有下面四个命题:lm /l mlmlml m 其中正确的两个命题是()A.与B.与C.与D.与 分析:分析:对于正确llml m/对于,如图lamlm/错 对于正确llmmm/对于,如图ll mm/错 正确,选 D 例 4.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EFPB 交 PB 于点 F。(1)证明 PA/面 EDB。(2)PB平面 EFD。证:证:(1)连 AC,AC 交 BD 于 O,连
5、 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是 AC 中点 又 E 为 PC 中点 EO/PA 又面,且面EOEDBPAEDB PA/面 EDB (2)PD底面 ABCD BCPD 又且BC DCPDDCD BC面 PDCBCDE 又 E 为等直角三角形中点 DE PCPCBCC且 DE面 PBCDEPB 又已知且EF PBEFDEE PB面 DEF 例 5.正三棱柱 ABCA1B1C1中,AB1BC1,求证:A1CBC1。证明:证明:设 E、E1分别是 BC、B1C1的中点,连 AE,A1E1,B1E,E1C 则面,面及AEB BCCA EB BCCEBE C11111111/AEB BCCA
6、BBCEBBCEBE CE C BCA EB BCCA C BC面面1111111111111111/注:三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。例 6.下列正方体中,l 是一条体对角线,M、N、P 分别为其所在棱的中点,如何证明 l面 MNP。(1)D1 P C1 M A1 B1 l D C A B N(2)D1 C1 A1 B1 l N M D C P A B (3)D1 C1 A1 P B1 N l D C M A B 分析:分析:在侧面的射影显然与、垂直lMPMN MP lMN llMNP,面 显然 分别与在底面上射影垂直及与垂直lMNMP lMNP面 如图,取棱 A1A、DC、B1
7、C1的中点,分别记为 E、F、G,显然 EMFNGP 为平面图形,而 D1B 与该平面垂直l面 MNP例 7.如图,斜三棱柱中,ABCA B CACA BAAACAB 810ACB=90,侧棱与底面成 60的角。()求证:面面;1AA C CABC ()求侧面的面积。2AA B B 分析:分析:要证明面面,只要证明面,又,只要AA C CABCBCAA C CBC AC 证明,故只要证明平面。BC ACACA BC 证明:证明:()为菱形1AA C C ACA C 又面ACA BACA BCACBC 又ACB=90,即 ACBC BCAA C C面 又面面面BCABCABCAA C C ()作
8、于2A D ACD 面面,为交线AA C CABCAC A DABC面 与底面成的角,即为侧棱60ACA AAADA 过 作于,连结,则DDE ABEA EA E AB 又,ADA D86048604 3cossin D 为 AC 中点 在中Rt ABC DEBCADABDE4610125 A EA DDE()()22224 31258521 SABA EA ABB平行四边形 10852116 21 例 8.已知 RtABC 中,C=90,AC=8,BC=6,D、E 分别是 AB、AC 的中点,沿 DE 将ABC 折成直二面角,使 A 到 A的位置(如图)。求:(1)C 到 AD 的距离;(2
9、)D 到平面 ABC 的距离;(3)AD 与平面 ABC 所成角的正弦值。解:解:(1)二面角 ADEB 是直二面角 又 AEED,CEED ED面 AEC 及 EC面 AED 作 EFAD 于 F,连结 CF,则 CFAD CF 即为 C 点到直线 AD 的距离 在 RtAED 中,EFAD=AEED EF435125 FCEFEC222212544 345()/BCADEBCABCBC/DE2面,面,)(DE/面 ABC E 到面 ABC 的距离即为 D 点到平面 ABC 的距离 过 E 作 EMAC 于 M ED面 AEC 又 BC/ED BC面 AEC BCEM EM面 ABC 为 点
10、到平面的距离即为 点到面的距离且EMEA BCDA BCEM=2 2 或者用体积法:由VVD A BCABCD 即1313ShSA EA BCBCD hSA ESBC CE A EBC A CBCDA BC12122 2 ()设与平面所成角为3A DA BC 5DA22hBCAD2及的距离为点到面)知又由(sinhA D2 25 例 9.如图,直三棱柱中,侧棱ABCA B CACBACCB1119012AAAA B BDB CM111111,侧面的两条对角线交点为,的中点为。()求证:平面;1CDBDM ()求面与面所成二面角的大小。21B BDCBD(1)证明:证明:连结,则CACABC11
11、2 又 为中点DA BCD BD1 易知面ACBB C C11 CBCDBB C C111是在底面上射影 故只要BM CB1 设BMCBE1 在和中Rt CBBRt BB MCBBBBBMB1111121122 又90MBBCBB11 Rt CBBRt BB M11 BCBB BM11 又B BMCBM190 BCBCBMCEB19090 BM CBBM CD1 由知面CDBDM (2)解:解:AB12312 B DBDBB111 即为正三角形,取中点,则B DBBDFB F BD11 又取 BC 中点 N,连结 NF NFCD/12 又CD BDNF BD 为所求二面角的平面角NFB1 又,
12、B NCDBCBD12222222162211()NFB F12321,在中由余弦定理DCB1 cos()()()NFBFNFBNBFN FB12121222221232622123233 所求二面角为arccos33【模拟试题模拟试题】一.选择题 1.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线()A.成异面直线B.相交C.平行D.平行或相交 2.已知直线 a,b,平面,有下列四个命题 aa/,;/,;aa,/;abab,/其中正确的命题有()A.B.C.D.以上都不对 3.边长为 a 的正三角形 ABC 中,ADBC 于 D,沿 AD 折成二面角 BADC 后,BCa12
13、,这时二面角 BADC 的大小为()A.30B.45C.60D.90 4.设 a,b 是两条异面直线,P 是 a,b 外的一点,则下列结论正确的是()A.过 P 有一条直线和 a,b 都平行 B.过 P 有一条直线和 a,b 都相交 C.过 P 有一条直线和 a,b 都垂直 D.过 P 有一个平面与 a,b 都平行 5.若 a,b 是异面直线,点 A、B 在直线 a 上,点 C、D 在直线 b 上,且 AD=AC,BD=BC,则直线 a,b 所成的角为()A.90B.60C.45D.30二.填空题 6.设正方体ABCDA B C D1111的棱长为 1,则 (1)A 点到CD1的距离为_ (2
14、)A 点到BD1的距离为_ (3)A 点到面BDD B11的距离为_ (4)A 点到面A BD1的距离为_ (5)AABB D D111与面的距离为_ 7.如图,正方形 ABCD 中,E、F 分别是DCBC、中点,现沿 AE、AF、EF 把它折成一个四面体,使 B、D、C 三点重合于 G,则VA GEF=_。8.把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高线 AD 折成 60的二面角,则点 A 到 BC 的距离为_。9.如图 PAO 面,AB 是O 的直径,C 是O 上的一点,E、F 分别是 A 在 PB、PC 上的射影,给出下 D C A B D1 C1 A1 B1 列结论:AFPB,EFPB,A
15、FBC,AE平面 PBC,其中正确命题的序号是_。10.平面平面,其交线为 l,AB,AB 与所成角为 30,则 AB 与 所成角的取值范围是_。三.解答题 11.四面体 ABCS 中,SB、SC、SA 两两垂直,SBA=45,SBC=60,M 为 AB 的中点。求:(1)BC 与面 SAB 所成的角;(2)SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。13.在矩形 ABCD 中,已知ABAD12,E 是 AD 的中点,沿 BE 将ABE 折到A BE的位置,使A CA D。(1)求证:平面A BE平面 BCDE。(2)求A C和面 BCD 所成角的大小。14.如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-AB
16、CD 中,ABC=90,SA面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD 12。(I)求VSABCD;(II)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值。【试题答案试题答案】一.1.C2.C3.C 4.C(当 P 点和直线 a 确定的平面与 b 平行时,则过 P 点的直线与 a 不相交,B 错,当 P 点在 a 或 b 上时,D 不成立)5.A二.6.(),(),(),(),()162263322433522 7.a324 8.154a 9.10.(0,60 (如图ABD30,90BAD30 BAD60 0BAD60)三.11.解:(1)SCSA,SCSB SC面 SAB SB 是 CB 在
17、面 SAB 上的射影 SBC 是直线 BC 与面 SAB 所成的角,且为 60 (2)连 SM,CM,则 SMAB(SAB 为等腰 Rt)AB面 CSM,设 SHCM 于 H,则 ABSH SH面 ABC SCH 为 SC 与平面 ABC 所成的角 设 SB=SA=a,则SMaSCa tga22603,CMaaaSCHSMCM()()sin322727722 注:“垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,却又是面 ABC 的斜线。12.证:(1)PA面 ABC,PC 在面 ABC 上射影为 AC 又 AB 为O 直径 BCAC BCPC BC面 PAC 又 BC面 PBC面 PAC面 PB
18、C (2)由(1)知 BC面 PAC 又 AE面 PAC BCAE,又 PCAE AE面 PBC 又 AE面 AEB 面 AEB面 PBC 或者:由(1)知面 PAC面 PBC,PC 为交线 又 AEPC AE面 PBC 又 AE面 AEB 面 AEB面 PBC 注:线线垂直线面垂直面面垂直 13.(1)取 BE 中点 M,CD 中点 N,连NMNAMNM A、,分别为中点 A BA EA CA D,A M BEA N CDMN CDCDA MNCD A MBECDA MBCDEA MA BEA BEBCDE,面又与不平行,必相交面又面面面 (2)连结 MC,A MBCDE面 A CM就是A
19、C与面 BCDE 所成的角,设 AB=a,则A Ma22 在中,Rt MNCMCMNNCaaa22222232252()()MCa102 在中,Rt A CMtgA CMaa 2210255 A CMarctg55 14.分析:易证 AD面 SAB (I)VSA SSADBCABSABCABCDABCD131234()VSABC1313414 (II)延长 CD、BA 交于点 E 连结 SE,SE 即为面 CSD 与面 BSA 的交线 又DA面 SAB 过 A 作 AFSE 于 F 连 FD,则 DFSE 为二面角的平面角AFD 又易知SAE 为等腰直角三角形,F 为 SE 中点 AFSESAADAFDADFA1222221222又tan
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