空间几何体与三视图、体积表面积(含答案).pdf

1空间几何体的结构，三视图直观图、表面积及体积1.几种常凸多面体间的关系2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于与底面相似的与底面相似的与底面相似的与底面相似的2底的截面形状多边形正多边形多边形正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分3（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 OX,OY,使=450（或 1350），它X OY们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。三视图指正投影（3）射影：所谓射影，就是正投影其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影3题型 1.空间几何体的结构例题 1 正方体 ABCD1A1B1C1D的棱上到异面直线 AB，C1C的距离相等的点的个数为（c）A2 B3 C.4 D.5 【答案】：C【解析】解析如图示，则 BC 中点，1B点，D点，A1D1 的中点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选 C 项变式练习：变式练习：到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有 1 个 （B）恰有 3 个（C）恰有 4 个 （D）有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段1OO、EF、FG、GH、HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等，亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等、所以排除 A、B、C，选 D例 2两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放棱长为 1 的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A1 个B2 个 C3 个D无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形 ABCD 的面积，问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种，所以选 D。题型 2：斜二测画法例 3是正ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么ABCCBACBA3的面积为_。解析：。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对62应关系。特别底和高的对应关系。练习：一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为，则原梯形的面积为()2A2 B.2C2 D424解析：设直观图中梯形的上底为 x，下底为 y，高为 h.则原梯形的上底为 x，下底为 y，高为 2h，故原梯2形的面积为 4，选 D.题型 3：平行投影与中心投影例 4（1）如图，在正四面体 ABCD 中，E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心，则EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（）A B C D练习一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_(只填写序号)解析：当截面与正方体的某一面平行时，可得，将截面旋转可得，继续旋转，过正方体两顶点时可得，即正方体的对角面，不可能得.答案：题型 4：三视图例题例题 5 5、）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】2 3【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为2222222 3练习一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图 ABCDEFG5中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 （）ABCD【答案】A 多面体的面积和体积公式多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱直截面周长lS底h=S直截面l棱柱直棱柱chS侧+2S底S底h棱锥各侧面积之和棱锥正棱锥ch21S侧+S底S底h31棱台各侧面面积之和棱台正棱台(c+c)h21S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+31)下底下底SSS 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2h31h(r21+r1r2+r22)31R334表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。例题例题 1.1.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是B（A）2（B）1（C）23（D）13【答案】B解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱2216所以其体积为122121例题例题 2 2 已知,S A B C是球O表面上的点，SAABC 平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）例题例题 3 3、如图，正方体 ABCD-1111ABC D的棱长为 2，动点 E、F 在棱11AB上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1，1AE=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体 PE的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关【答案】D练习、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是【答案】BA108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3 作业作业练习练习 1 1、图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2的几何体的三视图，则 h=cm【答案】4 2 2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 1033、如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，7且BCFADE、均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为()A.32 B.33C.34 D.234、某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A.28+65 B.30+65 C.56+125 D.60+125【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10底S，10后S，10右S，56左S，因此该几何体表面积5630左右后底SSSSS，故选 B。5、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱考点：考点：空间几何体的三视图。难度：难度：易。分析：分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。解答：解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。6、某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D7如图，在长方体1111ABCDABC D中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABB D D的体积为 cm38【解析解析】长方体底面ABCD是正方形，ABD中=3 2BD cm，BD边上的高是322cm（它也是11ABB D D中11BB D D上的高）四棱锥11ABB D D的体积为133 222=632。8、如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为_。解析：61112113111DEDFEDFDVV.9、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案答案】33【解析解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到2212l，解得母线长2l，1,22rlr所以该圆锥的体积为：331231S3122hV圆锥.