圆的证明题30道含答案数学组卷(1).pdf

第 1 页（共 52 页）初中数学组卷初中数学组卷一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题）1（2014防城港）如图的O 中，AB 为直径，OCAB，弦 CD 与 OB 交于点 F，过点D、A 分别作O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于点 E（1）求证：1=2（2）已知：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，求 AG 的长2（2013桂林）如图，在ABC 中，C=90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，过点 D作 DEAD 交 AB 于 E，以 AE 为直径作O（1）求证：点 D 在O 上；（2）求证：BC 是O 的切线；（3）若 AC=6，BC=8，求BDE 的面积3（2011抚顺）如图，AB 为O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB 于点 E，点 F 在 AB 延长线上，AFC=30（1）求证：CF 为O 的切线（2）若半径 ONAD 于点 M，CE=，求图中阴影部分的面积4（2015丹东）如图，AB 是O 的直径，=，连接 ED、BD，延长 AE 交 BD 的延长线于点 M，过点 D 作O 的切线交 AB 的延长线于点 C第 2 页（共 52 页）（1）若 OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM5（2015临沂）如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上一点，以 OA 为半径的O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD（1）求证：AD 平分BAC；（2）若BAC=60，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留）6（2014孝感）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE（1）求证：AC 平分DAB；（2）求证：PCF 是等腰三角形；（3）若 tanABC=，BE=7，求线段 PC 的长7（2015遂宁）如图，AB 为O 的直径，直线 CD 切O 于点 D，AMCD 于点M，BNCD 于 N（1）求证：ADC=ABD；第 3 页（共 52 页）（2）求证：AD2=AMAB；（3）若 AM=，sinABD=，求线段 BN 的长8（2015菏泽）如图，在ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点D、E，BC 的延长线于O 的切线 AF 交于点 F（1）求证：ABC=2CAF；（2）若 AC=2，CE：EB=1：4，求 CE 的长9（2014镇江）如图，O 的直径 AC 与弦 BD 相交于点 F，点 E 是 DB 延长线上的一点，EAB=ADB（1）求证：EA 是O 的切线；（2）已知点 B 是 EF 的中点，求证：以 A、B、C 为顶点的三角形与AEF 相似；（3）已知 AF=4，CF=2在（2）条件下，求 AE 的长10（2015赤峰）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点D，DEPO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，EDB=EPB（1）求证：PB 是圆 O 的切线（2）若 PB=6，DB=8，求O 的半径第 4 页（共 52 页）11（2014潍坊）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，以 AB 为直径作O，恰与另一腰 CD 相切于点 E，连接 OD、OC、BE（1）求证：ODBE；（2）若梯形 ABCD 的面积是 48，设 OD=x，OC=y，且 x+y=14，求 CD 的长12（2015宁夏）如图，AC 是O 的直径，BC 是O 的弦，点 P 是O 外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB 是O 的切线；（2）连接 OP，若 OPBC，且 OP=8，O 的半径为 2，求 BC 的长13（2015聊城）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点D，过点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE 于点 E（1）求证：AB=BE；（2）若 PA=2，cosB=，求O 半径的长第 5 页（共 52 页）14（2013沈阳）如图，OC 平分MON，点 A 在射线 OC 上，以点 A 为圆心，半径为 2的A 与 OM 相切于点 B，连接 BA 并延长交A 于点 D，交 ON 于点 E（1）求证：ON 是A 的切线；（2）若MON=60，求图中阴影部分的面积（结果保留）15（2015潍坊）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，交AB 于点 E，过点 D 作 DFAB，垂足为 F，连接 DE（1）求证：直线 DF 与O 相切；（2）若 AE=7，BC=6，求 AC 的长16（2014新疆）如图，AB 是O 的直径，点 F，C 是O 上两点，且=，连接AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 CD=2，求O 的半径第 6 页（共 52 页）17（2015东营）已知在ABC 中，B=90，以 AB 上的一点 O 为圆心，以 OA 为半径的圆交 AC 于点 D，交 AB 于点 E（1）求证：ACAD=ABAE；（2）如果 BD 是O 的切线，D 是切点，E 是 OB 的中点，当 BC=2 时，求 AC 的长18（2015辽阳）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC，AC 于点D，E，DGAC 于点 G，交 AB 的延长线于点 F（1）求证：直线 FG 是O 的切线；（2）若 AC=10，cosA=，求 CG 的长19（2015包头）如图，AB 是O 的直径，点 D 是上一点，且BDE=CBE，BD 与AE 交于点 F（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 BD 平分ABE，求证：DE2=DFDB；（3）在（2）的条件下，延长 ED，BA 交于点 P，若 PA=AO，DE=2，求 PD 的长和O的半径第 7 页（共 52 页）20（2015北海）如图，AB、CD 为O 的直径，弦 AECD，连接 BE 交 CD 于点 F，过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P，使PED=C（1）求证：PE 是O 的切线；（2）求证：ED 平分BEP；（3）若O 的半径为 5，CF=2EF，求 PD 的长21（2010兰州）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，AC=PC，COB=2PCB（1）求证：PC 是O 的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点 M 是的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=4，求 MNMC 的值22（2015锦州）如图，ABC 中，以 AC 为直径的O 与边 AB 交于点 D，点 E 为O上一点，连接 CE 并延长交 AB 于点 F，连接 ED（1）若B+FED=90，求证：BC 是O 的切线；（2）若 FC=6，DE=3，FD=2，求O 的直径23（2015攀枝花）如图，在O 中，AB 为直径，OCAB，弦 CD 与 OB 交于点 F，在AB 的延长线上有点 E，且 EF=ED（1）求证：DE 是O 的切线；第 8 页（共 52 页）（2）若 OF：OB=1：3，O 的半径 R=3，求的值24（2015营口）如图，点 P 是O 外一点，PA 切O 于点 A，AB 是O 的直径，连接OP，过点 B 作 BCOP 交O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若 PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点 E 是的中点，连接 CE，求 CE 的长25（2015甘孜州）如图，ABC 为等边三角形，以边 BC 为直径的半圆与边 AB，AC 分别交于 D，F 两点，过点 D 作 DEAC，垂足为点 E（1）判断 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）过点 F 作 FHBC，垂足为点 H，若 AB=4，求 FH 的长（结果保留根号）26（2013丹东）如图，CD 是O 的直径，OBCD 交O 于点 B，连接 CB，AB 是O的弦，AB 交 CD 于点 E，F 是 CD 的延长线上一点且 AF=EF（1）判断 AF 和O 的位置关系并说明理由（2）若ABC=60，BC=1cm，求阴影部分的面积（结果保留根号）第 9 页（共 52 页）27（2001上海）如图，在 RtABC 中，B=90，A 的平分线交 BC 于 D，E 为 AB 上一点，DE=DC，以 D 为圆心，以 DB 的长为半径画圆求证：（1）AC 是D 的切线；（2）AB+EB=AC28（2011阜新）如图，ABC 内接于O，AB 为O 直径，AC=CD，连接 AD 交 BC 于点 M，延长 MC 到 N，使 CN=CM（1）判断直线 AN 是否为O 的切线，并说明理由；（2）若 AC=10，tanCAD=，求 AD 的长29（2012镇江）如图，AB 是O 的直径，DFAB 于点 D，交弦 AC 于点 E，FC=FE（1）求证：FC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 5，cosECF=，求弦 AC 的长第 10 页（共 52 页）30（2014辽阳）如图，在ABC，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线 BF 是O 的切线；（2）若 AB=5，sinCBF=，求 BC 和 BF 的长第 11 页（共 52 页）2016 年年 03 月月 24 日日 543705307 的初中数学组卷的初中数学组卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题）1（2014防城港）如图的O 中，AB 为直径，OCAB，弦 CD 与 OB 交于点 F，过点D、A 分别作O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于点 E（1）求证：1=2（2）已知：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，求 AG 的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）连接 OD，根据切线的性质得 ODDE，则2+ODC=90，而C=ODC，则2+C=90，由 OCOB 得C+3=90，所以2=3，而1=3，所以1=2；（2）由 OF：OB=1：3，O 的半径为 3 得到 OF=1，由（1）中1=2 得 EF=ED，在 RtODE 中，DE=x，则 EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得 32+x2=（x+1）2，解得 x=4，则DE=4，OE=5，根据切线的性质由 AG 为O 的切线得GAE=90，再证明 RtEODRtEGA，利用相似比可计算出 AG【解答】（1）证明：连接 OD，如图，DE 为O 的切线，ODDE，ODE=90，即2+ODC=90，OC=OD，C=ODC，2+C=90，而 OCOB，C+3=90，2=3，1=3，1=2；（2）解：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，OF=1，1=2，EF=ED，在 RtODE 中，OD=3，DE=x，则 EF=x，OE=1+x，OD2+DE2=OE2，32+x2=（x+1）2，解得 x=4，第 12 页（共 52 页）DE=4，OE=5，AG 为O 的切线，AGAE，GAE=90，而OED=GEA，RtEODRtEGA，=，即=，AG=6【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质2（2013桂林）如图，在ABC 中，C=90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，过点 D作 DEAD 交 AB 于 E，以 AE 为直径作O（1）求证：点 D 在O 上；（2）求证：BC 是O 的切线；（3）若 AC=6，BC=8，求BDE 的面积【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题【分析】（1）连接 OD，由 DO 为直角三角形斜边上的中线，得到 OD=OA=OE，可得出点D 在圆 O 上；（2）由 AD 为角平分线，得到一对角相等，再由 OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到 OD 与 AC 平行，根据两直线平行同位角相等即可得到ODB 为直角，即 BC 与 OD 垂直，即可确定出 BC 为圆 O 的切线；（3）过 E 作 EH 垂直于 BC，由 OD 与 AC 平行，得到ACB 与ODB 相似，设OD=OA=OE=x，表示出 OB，由相似得比例列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 OD 与 BE 的长，进而确定出 BD 的长，再由BEH 与ODB 相似，由相似得比例求出 EH 的长，BED 以 BD 为底，EH 为高，求出面积即可第 13 页（共 52 页）【解答】（1）证明：连接 OD，ADE 是直角三角形，OA=OE，OD=OA=OE，点 D 在O 上；（2）证明：AD 是BAC 的角平分线，CAD=DAB，OD=OA，OAD=ODA，CAD=ODA，ACOD，C=ODB=90，BC 是O 的切线；（3）解：在 RtACB 中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10，设 OD=OA=OE=x，则 OB=10 x，ACOD，ACBODB，=，=，解得：x=，OD=，BE=102x=10=，=，即=，BD=5，过 E 作 EHBD，EHOD，BEHBOD，=，EH=，SBDE=BDEH=第 14 页（共 52 页）【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键3（2011抚顺）如图，AB 为O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB 于点 E，点 F 在 AB 延长线上，AFC=30（1）求证：CF 为O 的切线（2）若半径 ONAD 于点 M，CE=，求图中阴影部分的面积【考点】切线的判定；扇形面积的计算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由 CD 垂直平分 OB，得到 E 为 OB 的中点，且 CD 与 OB 垂直，又OB=OC，可得 OE 等于 OC 的一半，在直角三角形 OEC 中，根据锐角三角函数的定义，得到 sinECO 的值为，可得ECO 为 30，进而得到EOC 为 60，又CFO 为 30，可得OCF 为直角，由 OC 为圆 O 的半径，可得 CF 为圆的切线；（2）由（1）得出的COF=60，根据对称性可得EOD 为 60，进而得到DOA=120，由OA=OD，且 OM 与 AD 垂直，根据“三线合一”得到DOM 为 60，在直角三角形 OCE 中，由 CE 的长及ECO=30，可求出半径 OC 的长，又在直角三角形 OMD 中，由MDO=30，半径 OD=2，可求出 MD 及 OM 的长，然后利用扇形 ODN 的面积减去三角形 ODM 的面积即可求出阴影部分的面积【解答】（1）证明：CD 垂直平分 OB，OE=OB，CEO=90，OB=OC，OE=OC，在 RtCOE 中，sinECO=，ECO=30，EOC=60，CFO=30，OCF=90，又 OC 是O 的半径，CF 是O 的切线；（2）解：由（1）可得COF=60，由圆的轴对称性可得EOD=60，DOA=120，OMAD，OA=OD，DOM=60在 RtCOE 中，CE=，ECO=30，cosECO=，OC=2，第 15 页（共 52 页）在 RtODM 中，OD=2，ADO=30，OM=ODsin30=1，MD=ODcos30=，S扇形 OND=，SOMD=OMDM=，S阴影=S扇形 ONDSOMD=【点评】此题考查了切线的判定，直角三角形的性质，锐角三角形函数定义，等腰三角形的性质，以及直角三角形和扇形面积的公式，切线的判定方法为：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于半径对于不规则图形的面积的求法，可利用转化的思想，把不规则图形的面积化为规则图形来求，例如本题就是用扇形的面积减去直角三角形的面积得到阴影部分面积的4（2015丹东）如图，AB 是O 的直径，=，连接 ED、BD，延长 AE 交 BD 的延长线于点 M，过点 D 作O 的切线交 AB 的延长线于点 C（1）若 OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM【考点】切线的性质；扇形面积的计算菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）连接 OD，根据已知和切线的性质证明OCD 为等腰直角三角形，得到DOC=45，根据 S阴影=SOCDS扇 OBD计算即可；（2）连接 AD，根据弦、弧之间的关系证明 DB=DE，证明AMDABD，得到DM=BD，得到答案【解答】（1）解：如图，连接 OD，CD 是O 切线，ODCD，OA=CD=2，OA=OD，OD=CD=2，第 16 页（共 52 页）OCD 为等腰直角三角形，DOC=C=45，S阴影=SOCDS扇 OBD=4；（2）证明：如图，连接 AD，AB 是O 直径，ADB=ADM=90，又=，ED=BD，MAD=BAD，在AMD 和ABD 中，AMDABD，DM=BD，DE=DM【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法5（2015临沂）如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上一点，以 OA 为半径的O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD（1）求证：AD 平分BAC；（2）若BAC=60，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留）【考点】切线的性质；扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】（1）由 RtABC 中，C=90，O 切 BC 于 D，易证得 ACOD，继而证得 AD平分CAB（2）如图，连接 ED，根据（1）中 ACOD 和菱形的判定与性质得到四边形 AEDO 是菱形，则AEMDMO，则图中阴影部分的面积=扇形 EOD 的面积第 17 页（共 52 页）【解答】（1）证明：O 切 BC 于 D，ODBC，ACBC，ACOD，CAD=ADO，OA=OD，OAD=ADO，OAD=CAD，即 AD 平分CAB；（2）设 EO 与 AD 交于点 M，连接 EDBAC=60，OA=OE，AEO 是等边三角形，AE=OA，AOE=60，AE=AO=OD，又由（1）知，ACOD 即 AEOD，四边形 AEDO 是菱形，则AEMDMO，EOD=60，SAEM=SDMO，S阴影=S扇形 EOD=【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用6（2014孝感）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE（1）求证：AC 平分DAB；（2）求证：PCF 是等腰三角形；（3）若 tanABC=，BE=7，求线段 PC 的长第 18 页（共 52 页）【考点】切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由 PD 切O 于点 C，AD 与过点 C 的切线垂直，易证得 OCAD，继而证得AC 平分DAB；（2）可得PFC=PCF，即可证得 PC=PF，即PCF 是等腰三角形；（3）首先连接 AE，易得 AE=BE，即可求得 AB 的长，继而可证得PACPCB，又由tanABC=，BE=7，即可求得答案【解答】解：（1）PD 切O 于点 C，OCPD 又ADPD，OCADACO=DAC又OC=OA，ACO=CAO，DAC=CAO，即 AC 平分DAB（2）ADPD，DAC+ACD=90又AB 为O 的直径，ACB=90PCB+ACD=90，DAC=PCB又DAC=CAO，CAO=PCBCE 平分ACB，ACF=BCF，CAO+ACF=PCB+BCF，PFC=PCF，PC=PF，PCF 是等腰三角形（3）连接 AE第 19 页（共 52 页）CE 平分ACB，=，AB 为O 的直径，AEB=90在 RtABE 中，PAC=PCB，P=P，PACPCB，又tanABC=，设 PC=4k，PB=3k，则在 RtPOC 中，PO=3k+7，OC=7，PC2+OC2=OP2，（4k）2+72=（3k+7）2，k=6（k=0 不合题意，舍去）PC=4k=46=24【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用7（2015遂宁）如图，AB 为O 的直径，直线 CD 切O 于点 D，AMCD 于点M，BNCD 于 N（1）求证：ADC=ABD；（2）求证：AD2=AMAB；（3）若 AM=，sinABD=，求线段 BN 的长第 20 页（共 52 页）【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）连接 OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；（2）由已知条件证得ADMABD，即可得到结论；（3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果【解答】（1）证明：连接 OD，直线 CD 切O 于点 D，CDO=90，AB 为O 的直径，ADB=90，1+2=2+3=90，1=3，OB=OD，3=4，ADC=ABD；（2）证明：AMCD，AMD=ADB=90，1=4，ADMABD，AD2=AMAB；（3）解：sinABD=，sin1=，AM=，AD=6，AB=10，BD=8，BNCD，BND=90，DBN+BDN=1+BDN=90，第 21 页（共 52 页）DBN=1，sinNBD=，DN=，BN=【点评】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题8（2015菏泽）如图，在ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点D、E，BC 的延长线于O 的切线 AF 交于点 F（1）求证：ABC=2CAF；（2）若 AC=2，CE：EB=1：4，求 CE 的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）首先连接 BD，由 AB 为直径，可得ADB=90，又由 AF 是O 的切线，易证得CAF=ABD然后由 BA=BC，证得：ABC=2CAF；（2）首先连接 AE，设 CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案【解答】（1）证明：如图，连接 BDAB 为O 的直径，ADB=90，DAB+ABD=90AF 是O 的切线，FAB=90，即DAB+CAF=90CAF=ABDBA=BC，ADB=90，ABC=2ABD第 22 页（共 52 页）ABC=2CAF（2）解：如图，连接 AE，AEB=90，设 CE=x，CE：EB=1：4，EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在 RtACE 中，AC2=CE2+AE2，即（2）2=x2+（3x）2，x=2CE=2【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题大关键9（2014镇江）如图，O 的直径 AC 与弦 BD 相交于点 F，点 E 是 DB 延长线上的一点，EAB=ADB（1）求证：EA 是O 的切线；（2）已知点 B 是 EF 的中点，求证：以 A、B、C 为顶点的三角形与AEF 相似；（3）已知 AF=4，CF=2在（2）条件下，求 AE 的长【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】几何综合题【分析】（1）连接 CD，由 AC 是O 的直径，可得出ADC=90，由角的关系可得出EAC=90，即得出 EA 是O 的切线，（2）连接 BC，由 AC 是O 的直径，可得出ABC=90，由在 RTEAF 中，B 是 EF 的中点，可得出BAC=AFE，即可得出EAFCBA，第 23 页（共 52 页）（3）由EAFCBA，可得出=，由比例式可求出 AB，由勾股定理得出 AE 的长【解答】（1）证明：如图 1，连接 CD，AC 是O 的直径，ADC=90，ADB+EDC=90，BAC=EDC，EAB=ADB，EAC=EAB+BAC=90，EA 是O 的切线（2）证明：如图 2，连接 BC，AC 是O 的直径，ABC=90，CBA=ABC=90B 是 EF 的中点，在 RTEAF 中，AB=BF，BAC=AFE，EAFCBA（3）解：EAFCBA，=，AF=4，CF=2AC=6，EF=2AB，=，解得 AB=2EF=4，第 24 页（共 52 页）AE=4，【点评】本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解10（2015赤峰）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点D，DEPO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，EDB=EPB（1）求证：PB 是圆 O 的切线（2）若 PB=6，DB=8，求O 的半径【考点】切线的判定与性质菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形 DOE 与三角形 POB 相似，利用相似三角形对应角相等得到OBP 为直角，即可得证；（2）在直角三角形 PBD 中，由 PB 与 DB 的长，利用勾股定理求出 PD 的长，由切线长定理得到 PC=PB，由 PDPC 求出 CD 的长，在直角三角形 OCD 中，设 OC=r，则有OD=8r，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解得到 r 的值，即为圆的半径【解答】（1）证明：在DEO 和PBO 中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90，OB 为圆的半径，PB 为圆 O 的切线；（2）解：在 RtPBD 中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD=10，PD 与 PB 都为圆的切线，PC=PB=6，DC=PDPC=106=4，在 RtCDO 中，设 OC=r，则有 DO=8r，根据勾股定理得：（8r）2=r2+42，解得：r=3，第 25 页（共 52 页）则圆的半径为 3【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键11（2014潍坊）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，以 AB 为直径作O，恰与另一腰 CD 相切于点 E，连接 OD、OC、BE（1）求证：ODBE；（2）若梯形 ABCD 的面积是 48，设 OD=x，OC=y，且 x+y=14，求 CD 的长【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形；圆周角定理菁优网版权所有【专题】几何综合题【分析】（1）连接 OE，证出 RtOADRtOED，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出AOD=ABE，利用同位角相等两直线平行得到 ODBE，（2）由 RtCOERtCOB，得到COD 是直角三角形，利用 S梯形 ABCD=2SCOD，求出 xy=48，结合 x+y=14，求出 CD【解答】（1）证明：如图，连接 OE，CD 是O 的切线，OECD，在 RtOAD 和 RtOED，RtOADRtOED（HL）AOD=EOD=AOE，在O 中，ABE=AOE，AOD=ABE，ODBE（同位角相等，两直线平行）（2）解：与（1）同理可证：RtCOERtCOB，第 26 页（共 52 页）COE=COB=BOE，DOE+COE=90，COD 是直角三角形，SDEO=SDAO，SOCE=SCOB，S梯形 ABCD=2（SDOE+SCOE）=2SCOD=OCOD=48，即 xy=48，又x+y=14，x2+y2=（x+y）22xy=142248=100，在 RtCOD 中，CD=10，CD=10【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质关键是综合运用，找准线段及角的关系12（2015宁夏）如图，AC 是O 的直径，BC 是O 的弦，点 P 是O 外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB 是O 的切线；（2）连接 OP，若 OPBC，且 OP=8，O 的半径为 2，求 BC 的长【考点】切线的判定菁优网版权所有【分析】连接 OB，由圆周角定理得出ABC=90，得出C+BAC=90，再由 OA=OB，得出BAC=OBA，证出PBA+OBA=90，即可得出结论；（2）证明ABCPBO，得出对应边成比例，即可求出 BC 的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图所示：AC 是O 的直径，ABC=90，C+BAC=90，OA=OB，BAC=OBA，PBA=C，PBA+OBA=90，即 PBOB，PB 是O 的切线；（2）解：O 的半径为 2，OB=2，AC=4，第 27 页（共 52 页）OPBC，C=BOP，又ABC=PBO=90，ABCPBO，即，BC=2【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键13（2015聊城）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点D，过点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE 于点 E（1）求证：AB=BE；（2）若 PA=2，cosB=，求O 半径的长【考点】切线的性质；解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）本题可连接 OD，由 PD 切O 于点 D，得到 ODPD，由于 BEPC，得到ODBE，得出ADO=E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，ODBE，得到POD=B，根据三角函数的定义即可得到结果【解答】（1）证明：连接 OD，PD 切O 于点 D，ODPD，BEPC，ODBE，ADO=E，OA=OD，OAD=ADO，第 28 页（共 52 页）OAD=E，AB=BE；（2）解：由（1）知，ODBE，POD=B，cosPOD=cosB=，在 RtPOD 中，cosPOD=，OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，OA=3，O 半径=3【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键14（2013沈阳）如图，OC 平分MON，点 A 在射线 OC 上，以点 A 为圆心，半径为 2的A 与 OM 相切于点 B，连接 BA 并延长交A 于点 D，交 ON 于点 E（1）求证：ON 是A 的切线；（2）若MON=60，求图中阴影部分的面积（结果保留）【考点】切线的判定；扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】（1）首先过点 A 作 AFON 于点 F，易证得 AF=AB，即可得 ON 是A 的切线；（2）由MON=60，ABOM，可求得 AF 的长，又由 S阴影=SAEFS扇形 ADF，即可求得答案【解答】（1）证明：过点 A 作 AFON 于点 F，A 与 OM 相切于点 B，第 29 页（共 52 页）ABOM，OC 平分MON，AF=AB=2，ON 是A 的切线；（2）解：MON=60，ABOM，OEB=30，AFON，FAE=60，在 RtAEF 中，tanFAE=，EF=AFtan60=2，S阴影=SAEFS扇形 ADF=AFEFAF2=2【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用15（2015潍坊）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，交AB 于点 E，过点 D 作 DFAB，垂足为 F，连接 DE（1）求证：直线 DF 与O 相切；（2）若 AE=7，BC=6，求 AC 的长【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）连接 OD，利用 AB=AC，OD=OC，证得 ODAD，易证 DFOD，故 DF 为O 的切线；（2）证得BEDBCA，求得 BE，利用 AC=AB=AE+BE 求得答案即可【解答】（1）证明：如图，第 30 页（共 52 页）连接 ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，ODAB，DFAB，ODDF，点 D 在O 上，直线 DF 与O 相切；（2）解：四边形 ACDE 是O 的内接四边形，AED+ACD=180，AED+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，=，ODAB，AO=CO，BD=CD=BC=3，又AE=7，=，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9【点评】此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可16（2014新疆）如图，AB 是O 的直径，点 F，C 是O 上两点，且=，连接AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 CD=2，求O 的半径第 31 页（共 52 页）【考点】切线的判定；三角形三边关系；圆周角定理菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】（1）连结 OC，由=，根据圆周角定理得FAC=BAC，而OAC=OCA，则FAC=OCA，可判断 OCAF，由于 CDAF，所以 OCCD，然后根据切线的判定定理得到 CD 是O 的切线；（2）连结 BC，由 AB 为直径得ACB=90，由=得BOC=60，则BAC=30，所以DAC=30，在 RtADC 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在 RtACB 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以O 的半径为 4【解答】（1）证明：连结 OC，如图，=，FAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA，FAC=OCA，OCAF，CDAF，OCCD，CD 是O 的切线；（2）解：连结 BC，如图，AB 为直径，ACB=90，=，BOC=180=60，BAC=30，DAC=30，在 RtADC 中，CD=2，AC=2CD=4，在 RtACB 中，BC=AC=4=4，AB=2BC=8，O 的半径为 4第 32 页（共 52 页）【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和含 30 度的直角三角形三边的关系17（2015东营）已知在ABC 中，B=90，以 AB 上的一点 O 为圆心，以 OA 为半径的圆交 AC 于点 D，交 AB 于点 E（1）求证：ACAD=ABAE；（2）如果 BD 是O 的切线，D 是切点，E 是 OB 的中点，当 BC=2 时，求 AC 的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）连接 DE，根据圆周角定理求得ADE=90，得出ADE=ABC，进而证得ADEABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；（2）连接 OD，根据切线的性质求得 ODBD，在 RTOBD 中，根据已知求得OBD=30，进而求得BAC=30，根据 30的直角三角形的性质即可求得 AC 的长【解答】（1）证明：连接 DE，AE 是直径，ADE=90，ADE=ABC，DAE=BAC，ADEABC，=，ACAD=ABAE；（2）解：连接 OD，BD 是O 的切线，ODBD，在 RTOBD 中，OE=BE=OD，OB=2OD，OBD=30，同理BAC=30，在 RTABC 中，AC=2BC=22=4第 33 页（共 52 页）【点评】本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键18（2015辽阳）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC，AC 于点D，E，DGAC 于点 G，交 AB