曾谨言量子力学第4章.ppt

4.14.1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化 4.2 4.2 波包的运动，波包的运动，EhrenfestEhrenfest定理定理4.3 Schrdinger 4.3 Schrdinger 图像与图像与HeisenbergHeisenberg图像图像 4.4 4.4*守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系4.5 4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子体系与波函数的交换对称性第第4 章章 力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化4.1.1 守恒量守恒量1.经典物理中的守恒量经典物理中的守恒量动量守恒：动量守恒：质点受的合外力为零质点受的合外力为零机械能守恒：外力和内非保守力不做功机械能守恒：外力和内非保守力不做功角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零2.量子力学中的守恒量量子力学中的守恒量守恒量：守恒量：在任意态下力学量的在任意态下力学量的平均值平均值不随时间变化不随时间变化 守恒量：守恒量：力学量的值不随时间变化力学量的值不随时间变化在任意量子态在任意量子态下，力学量下，力学量A的平均值为的平均值为守恒的条件？守恒的条件？若力学量不显含时间，即若力学量不显含时间，即则则若若Note可见：可见：若力学量若力学量A与体系的哈密顿量对易，则与体系的哈密顿量对易，则A为为守恒量。守恒量。选包括选包括H和和A在内的一组力学量完全集，则在内的一组力学量完全集，则体系的任意量子态可表示为体系的任意量子态可表示为3.守恒量的性质守恒量的性质在在态下，测力学量态下，测力学量A的的Ak的概率为的概率为则该概率随时间的变化为则该概率随时间的变化为结论：结论：如果力学量如果力学量A不含时间，若不含时间，若A,H=0(即为守恒量即为守恒量)，则则无论体系处于什么状态，无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。的平均值和测值概率均不随时间变化。4.经典与量子力学中的守恒量间的关系经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态守恒量与定态 (1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。量对易。(2)在在定态定态下一切下一切力学量的平均值力学量的平均值和和测值概率测值概率都不随时间改变；都不随时间改变；而而守恒量守恒量则在则在一切状态下的平均值一切状态下的平均值和和测值概率测值概率都不随时间都不随时间 改变改变(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值确定的数值.若初始时刻体系处于守恒量若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。好量子数。(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例题例题1 判断下列说法的正误判断下列说法的正误(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错错)(2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对对)(3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）（错）(4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）（错）(5)自由粒子处于定态，则动量取确定值自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（错）（能级是二重简并的）（能级是二重简并的）(6)一维粒子的能量本征态无简并一维粒子的能量本征态无简并（错）（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）一维束缚态粒子的能量本征态无简并）证明：证明：对于属于能量对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有的任何两个束缚态波函数有则则两边同时积分得两边同时积分得4.1.2 能级简并与守恒量的关系能级简并与守恒量的关系定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量设体系有两个彼此不对易的守恒量F和和G，即，即 F,H=0,G,H=0,F,G0,则体系能级一般是简并的则体系能级一般是简并的。证明：证明：F,H=0,则则F,H有共同的本征函数有共同的本征函数 又因为又因为 G,H=0,则则即即G也是也是H的本征函数，对应的本征值也是的本征函数，对应的本征值也是E,即体系的能级是简并的。即体系的能级是简并的。推论：推论：如果体系有一守恒量如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不，而体系的某条能级并不 简并，即对应某个能量本征值简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态只有一个本征态 E，则，则E必为必为F 的本征态。的本征态。证明：证明：设设E是一能量本征态。因是一能量本征态。因F是守恒量，则是守恒量，则F,H=0 即即FE也是一个能量本征态，对应的本征值也是也是一个能量本征态，对应的本征值也是E.根据假定能级不简并，则必有根据假定能级不简并，则必有即即E也是也是F的本征态，对应的本征值是的本征态，对应的本征值是F.例如：例如：一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为为 守恒量，守恒量，P,H=0,则能量本征态必为则能量本征态必为P的本征态，即有确的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，定的宇称。事实上，也确是如此，结论：结论：体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。恒量。位力定理：位力定理：设粒子处于势场设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为，其哈密顿为rp的平均值随时间的变化为的平均值随时间的变化为对定态有对定态有则则证明：证明：思考题：思考题：rp并不是厄米算符，应进行厄米化并不是厄米算符，应进行厄米化这是否会影响位力定理得证明。这是否会影响位力定理得证明。答：答：从位力定理的证明可以看出，将从位力定理的证明可以看出，将rp厄米化后并不能影响厄米化后并不能影响 到定理的证明。到定理的证明。例题例题1 设设V(x,y,z)是是x,y,z的的n次齐次函数，即次齐次函数，即证明证明如谐振子如谐振子库仑势库仑势势势证明：证明：两边对两边对c求导数得求导数得令令c=1得得则由位力定理得则由位力定理得例题例题2 求一维谐振子在态求一维谐振子在态n下的动能和势能的平均值下的动能和势能的平均值解：解：一维谐振子的能量本征值为一维谐振子的能量本征值为由位力定理知由位力定理知:则则所以所以1.波包的运动与经典粒子运动的关系波包的运动与经典粒子运动的关系设质量为设质量为m的粒子在势场的粒子在势场V(r)中运动，用波包中运动，用波包(r,t)描述，显然描述，显然(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的：化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态与经典粒子运动对应的量子态为非定态设粒子运动的设粒子运动的Hamilton 为为则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为4.2 波包运动，波包运动，Ehrenfest(埃伦埃伦费斯特费斯特)定理定理经典粒子运动的正则方程是经典粒子运动的正则方程是(2)两边对时间求导数，并将两边对时间求导数，并将(3)代入代入得到得到此之谓此之谓Ehrenfest方程，方程，形式与经典的形式与经典的Newton方程类似，但只有当方程类似，但只有当时，波包中心时，波包中心 的运动规律才与经典粒子相同。的运动规律才与经典粒子相同。(3)波包的扩散不太大。波包的扩散不太大。(1)波包很窄，其大小与粒子的大小相当；波包很窄，其大小与粒子的大小相当；2.用波包描述粒子运动时对波包的要求：用波包描述粒子运动时对波包的要求：(2)势场势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的势场处的势场 与粒子感受到的势场很接近；与粒子感受到的势场很接近；在波包中心在波包中心附近对附近对 作作Taylor 展开，展开，如：如：一维波包的运动一维波包的运动令令=x-xc，则有则有利用利用得得可见只有当可见只有当时才有时才有此时方程此时方程(5)与经典的与经典的Newton方程在形式上完全相同。方程在形式上完全相同。如在势场如在势场中中条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子的轨道运动相似。的轨道运动相似。例例 粒子对原子的散射粒子对原子的散射原子的半径原子的半径天然天然放射性元素放出放射性元素放出粒子的能量粒子的能量则其动量为则其动量为在对原子的散射过程中，在对原子的散射过程中，粒子穿越原子的时间约为粒子穿越原子的时间约为经典经典 or or 量子描述？量子描述？xa在该时间间隔内波包的扩散为在该时间间隔内波包的扩散为如果要求在如果要求在粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求利用不确定性关系可得利用不确定性关系可得显然满足条件显然满足条件即即粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述。如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为100eV的电子有的电子有则则因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。4.3 4.3 Schringer图像图像(绘景绘景)和和Heisenberg图像（绘景）图像（绘景）1.Schrdinger 图像图像力学量不随时间变化，而波函数随时间变化力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。力学量的平均值力学量的平均值波函数随时间演化方程波函数随时间演化方程-Schrdinger 方程方程力学量平均值随时间的变化力学量平均值随时间的变化波函数随时间演化可写成波函数随时间演化可写成称为称为时间演化算符。时间演化算符。(4)代入代入(2)得到得到则则积分得积分得可以证明：可以证明：是幺正算符。是幺正算符。Heishenberg 图像图像波函数不变，算符随时间变化波函数不变，算符随时间变化算符的演化方程算符的演化方程-Heisenberg 方程方程利用利用U的幺正性，的幺正性，及U+HU=H则则上式称为上式称为Heisenberg方程方程。例题例题1 自由粒子自由粒子p为守恒量，则为守恒量，则 p(t)=p(0)=p则则例题例题2 一维谐振子一维谐振子而而则则其解为其解为则则利用初始条件利用初始条件则可得出则可得出4.4 4.4 守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系1.经典力学的守恒量与对称性的关系经典力学的守恒量与对称性的关系机械能对空间平移不变性（空间均匀性）机械能对空间平移不变性（空间均匀性）动量守恒动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）机械能对空间转动不变性（空间各向同性）角动量守恒角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）机械能对时间平移不变性（时间均匀性）能量守恒能量守恒1918年年 德国数学家德国数学家 A.E.Noether:从自然界的每一对称性可从自然界的每一对称性可得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。2.量子力学中的对称性量子力学中的对称性(1)对称变换与对称性群对称变换与对称性群体系的状态满足薛定谔方程体系的状态满足薛定谔方程若存在变换若存在变换Q,在此变换下有在此变换下有体系对变换不变性的要求体系对变换不变性的要求即即用用Q-1运算得运算得与方程与方程(1)比较得比较得或写成或写成这就是体系这就是体系（Hamilton）在变换）在变换Q下的不变性的数学表述。下的不变性的数学表述。凡满足式凡满足式(4)的变换称为的变换称为体系的对称变换体系的对称变换。物理学中的体系的对称物理学中的体系的对称变换总构成一个群，称为变换总构成一个群，称为体系的对称性群。体系的对称性群。(2)对称性变换与守恒量对称性变换与守恒量在对称变换下考虑概率守恒有在对称变换下考虑概率守恒有则则Q应该是幺正算符，即应该是幺正算符，即对于连续变换，可考虑无穷小变换对于连续变换，可考虑无穷小变换0 0+，令，令(3)空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒设体系沿设体系沿x轴方向作一无穷小平移轴方向作一无穷小平移即即F是厄米算符，称为是厄米算符，称为变换变换Q的无穷小算符。的无穷小算符。可定义与可定义与 Q变换相变换相联系的可观测量，体系在联系的可观测量，体系在Q变换下的不变性导致变换下的不变性导致即即F是一守恒量。是一守恒量。对称变换对称变换守恒量守恒量描述体系状态波函数的变化为描述体系状态波函数的变化为显然显然即即作变换作变换则上式可化为则上式可化为则平移则平移x的算符可表示为的算符可表示为Note:是与平移变换相应的无穷小算符。是与平移变换相应的无穷小算符。推广：推广：对于三维空间中的无穷小平移对于三维空间中的无穷小平移则则其中其中设体系具有平移不变性，即设体系具有平移不变性，即 D,H=0对于无穷小平移对于无穷小平移则可推出则可推出动量守恒动量守恒是与三维平移变换对应的无穷小算符。是与三维平移变换对应的无穷小算符。(4)空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒设体系绕设体系绕z轴旋转一无穷小角度轴旋转一无穷小角度，波函数的变化是波函数的变化是对标量波函数有对标量波函数有即即作变换作变换则则则绕则绕z轴旋转轴旋转 的算符是的算符是注：注：On现考虑三维空间中绕某方向现考虑三维空间中绕某方向n的无穷小旋转的无穷小旋转在上述变换下标量函数的变化是在上述变换下标量函数的变化是即即作变换作变换则则对于无穷小旋转对于无穷小旋转则则其中其中如果体系具有空间旋转不变性，如果体系具有空间旋转不变性，R,H=0,注：三个矢量的混合积注：三个矢量的混合积对于无穷小旋转对于无穷小旋转则有则有即角动量守恒即角动量守恒(5)时间均匀性与能量守恒时间均匀性与能量守恒(6)空间反射对称性与宇称守恒空间反射对称性与宇称守恒(7)同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒4.5 全同粒子体系及其波函数全同粒子体系及其波函数4.5.1 全同粒子体系的交换对称性全同粒子体系的交换对称性 1.全同粒子全同粒子：说明：说明：(1)粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系，粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系，没有态的量子化就谈不上全同性。没有态的量子化就谈不上全同性。(2)经典力学中原则上不存在全同粒子。或，全同粒子经典力学中原则上不存在全同粒子。或，全同粒子 可以区分。可以区分。质量、电荷、自旋等内禀属性完全相同的粒子。质量、电荷、自旋等内禀属性完全相同的粒子。所有的电子是全同粒子、所有的质子是全同粒子、所有的电子是全同粒子、所有的质子是全同粒子、所有的光子也是全同粒子。所有的光子也是全同粒子。2.全同性原理：全同性原理：在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同，在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同，用一个粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的用一个粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的 变化变化,或，全同粒子不可区分。或，全同粒子不可区分。-量子力学的基本假设量子力学的基本假设(1)全同粒子体系的任何可观测量全同粒子体系的任何可观测量(包含哈密顿量）有交换对称性包含哈密顿量）有交换对称性氦原子中两个电子氦原子中两个电子组成的体系组成的体系3.全同粒子交换对称性与守恒量全同粒子交换对称性与守恒量定义交换算符定义交换算符Pij：其作用是交换两个粒子的位置：其作用是交换两个粒子的位置即即(2)全同粒子体系波函数的交换对称性全同粒子体系波函数的交换对称性即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的。即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的。实验表明：实验表明：凡自旋为凡自旋为 整数倍整数倍(s=0,1,2,)的粒子的粒子,波函数的交换总是对称的，波函数的交换总是对称的，如如介子介子(s=0)、光子光子（s=1）,波色子波色子。凡自旋为凡自旋为 半整数倍半整数倍(s=1/2,3/2,)的粒子的粒子,波函数的交换总波函数的交换总是反对称的，如电子、质子、中子等是反对称的，如电子、质子、中子等,费米子费米子。由由“基本粒子基本粒子”组成的复合粒子，如组成的复合粒子，如粒子，若在讨论的问题粒子，若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变，则全同粒子的状态仍然适用。或过程中其内部状态保持不变，则全同粒子的状态仍然适用。由由玻色子玻色子组成的的复合粒子仍为组成的的复合粒子仍为玻色子玻色子；由由偶数个费米子偶数个费米子组成的粒子为组成的粒子为玻色子玻色子；有；有奇数个费米子奇数个费米子组成的粒子为组成的粒子为费米子费米子4.交换效应交换效应全同性不只是一个抽象的概念，而它将导致一个可观测的量全同性不只是一个抽象的概念，而它将导致一个可观测的量子效应子效应-交换效应。微观世界里的全同粒子，一旦有波包交换效应。微观世界里的全同粒子，一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将使它们重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将使它们失去个性和可分辨性，出现交换效应。失去个性和可分辨性，出现交换效应。如：如：ab12cd分束器分束器两个光子的输入态两个光子的输入态两光子的出射态两光子的出射态若两个光子同时到达分束器，出射态中光子的空间模有重叠，若两个光子同时到达分束器，出射态中光子的空间模有重叠，必须考虑两个光子的交换干涉，出射态应该是交换对称的。必须考虑两个光子的交换干涉，出射态应该是交换对称的。在在c,d 两处放置探测器，作单光子计数符合测量，以两处放置探测器，作单光子计数符合测量，以1/2的概率得到双光子极化纠缠态的概率得到双光子极化纠缠态尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用，尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用，但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化，两个光子已经不可分辨。发生变化，两个光子已经不可分辨。问题：问题：在忽略粒子间相互作用的情况下，如何构造具在忽略粒子间相互作用的情况下，如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数？有交换对称或反对称性的波函数？4.5.2 两个全同粒子组成的体系两个全同粒子组成的体系设有两个全同粒子（忽略相互作用），其设有两个全同粒子（忽略相互作用），其Hamilton量为量为其中其中h为单粒子的为单粒子的Hamilton，h(q)的本征方程为的本征方程为设两个粒子，一个处于设两个粒子，一个处于k1态，另一个处于态，另一个处于 k2态，则态，则 k1(q1)k2(q2)与与 k1(q2)k2(q1)对应的能量都是对应的能量都是k1+k2，这种与交换相联系的简并，称为这种与交换相联系的简并，称为交换简并交换简并。但这两个波函数还不具有交换对称性。但这两个波函数还不具有交换对称性。对对Bose子子,波函数交换对称波函数交换对称，则，则(a)当当k1k2时，归一化的对称波函数为时，归一化的对称波函数为(b)当当k1=k2时，归一化的对称波函数为时，归一化的对称波函数为对对Femi子，子，波函数交换反对称波函数交换反对称(a)当当k1k2时，归一化的反对称波函数为时，归一化的反对称波函数为(b)当当k1=k2时时即这样的状态不存在，这就是著名的即这样的状态不存在，这就是著名的Pauli不相容原理不相容原理：不允许两个全同的不允许两个全同的Femi子处于同一单粒子态。子处于同一单粒子态。例题例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，下面分三种设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布(a)在不计交换对称性时，两粒子的波函数可表示为在不计交换对称性时，两粒子的波函数可表示为令令或或相对运动部分波函数为相对运动部分波函数为在距离一个粒子半径在在距离一个粒子半径在(rr+dr)的球壳内找到另一个粒子的概率为的球壳内找到另一个粒子的概率为(b)交换交换(r-r)反对称波函数，反对称波函数，反对称相对运动波函数为反对称相对运动波函数为则则概率密度概率密度(c)交换对称波函数，交换对称波函数，类似可求出类似可求出即即可见：可见：在空间波函数交换对称的情况下，两个粒子相互靠拢的在空间波函数交换对称的情况下，两个粒子相互靠拢的概率最大；在交换反对称的情况下，两粒子靠近的概率趋于零；概率最大；在交换反对称的情况下，两粒子靠近的概率趋于零；在在x时，三种情况无区别，波函数交换对称性的影响消失。时，三种情况无区别，波函数交换对称性的影响消失。0122x4.5.3 N个全同个全同Femi子组成的体系子组成的体系三个全同三个全同Femi子：子：设三个无相互作用的全同设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个子，处于三个不同的单粒子态不同的单粒子态k1,k2,k3 上，则反对称波函数为上，则反对称波函数为其中其中称为称为反对称化算符。反对称化算符。N个全同个全同Femi子：子：设设N个无相互作用的全同个无相互作用的全同Femi子，分别处于子，分别处于 k1k2n）若若k=3,n=2,则有则有若若k=3,n=3,则有则有量子态总数量子态总数补充说明补充说明(1)如果粒子之间存在相互作用，体系总的波函数不能写成单如果粒子之间存在相互作用，体系总的波函数不能写成单 粒子波函数的对称化或反对称化的形式，即，不能粒子波函数的对称化或反对称化的形式，即，不能 写成写成 Slater 行列式的形式，但总可以写成对称花或反对称化的行列式的形式，但总可以写成对称花或反对称化的 形式。如两粒子体系的对称化的波函数形式。如两粒子体系的对称化的波函数(2)如果粒子定域在空间的某一区域，描述粒子的波函数在空间如果粒子定域在空间的某一区域，描述粒子的波函数在空间 上是分开的、不重叠，全同粒子可以通过在空间的不同上是分开的、不重叠，全同粒子可以通过在空间的不同 区域进行区分，这时不必对波函数进行对称化或反对称化。区域进行区分，这时不必对波函数进行对称化或反对称化。(3)泡利不相容原理不是什么新的原理，只不过是粒子的全同泡利不相容原理不是什么新的原理，只不过是粒子的全同 性原理，全同费米子体系具有交换对称性的必然推论。全同性原理，全同费米子体系具有交换对称性的必然推论。全同 性原理的内涵比泡利原理广泛得多，它不仅适用于费米子，性原理的内涵比泡利原理广泛得多，它不仅适用于费米子，也适用于玻色子。也适用于玻色子。