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正弦定理与余弦定理的综合应用
(本课时对应学生用书第　　页)

自主学习　回归教材

1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=　　　　.
【答案】-
【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C==-.

2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A=　　　　.
【答案】
【解析】由sinC=2sinB得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，
所以cosA==，所以角A=.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为　　　　n mile/h.

(第3题)
【答案】

4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A+csin C-asin C=bsin B，则角B=　　　　.
【答案】45°
【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，故cos B=，因此B=45°.

5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为　　　　.
【答案】
【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B==≥，
因为0<B<π，所以0<B≤.

1.测量问题的有关名词
(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.
(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.
(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.
(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.
(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.

2.求解三角形实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；
(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.

【要点导学】

要点导学　各个击破

　利用正、余弦定理解常见的三角问题
例1　(2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asin B=2.
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.
【解答】(1)由正弦定理，得asinB=bsinA.
因为b=4，asin B=2，所以sin A=.
又0<A<，所以A=.
(2)若b=4，c=6，由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=16+36-2×24×=28，
所以a=2.
又因为asin B=2，所以sin B=，
所以cos B=.
因为D为BC的中点，所以BD=DC=.
在△ABD中，由余弦定理，
得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B，
即AD2=36+7-2×6××=19，
所以AD=.

变式　(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin Asin C.
(1)若a=b，求cos B的值；
(2)若B=90°，且a=，求△ABC的面积.
【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.
又因为a=b，所以b=2c，a=2c，
由余弦定理可得cos B==.
(2)由(1)知b2=2ac.
因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac，得c=a=.
所以△ABC的面积为1.
【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.

　实际问题中解三角形
例2　2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.

(例2(1))
(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(≈，结果保留两位小数)；
(2)求tan θ的值.
【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.

(例2(2))
【解答】(1)如图(2)，
在△ABC中，AB=80，
AC=40，∠BAC=120°，
由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°，
即BC==40，
故救援船到达客轮遇险位置所需时间为
40÷60=≈ (h).
(2)在△ABC中，
由正弦定理可得=，
则sin ∠ACB=·sin ∠BAC=.
显然∠ACB为锐角，
故cos ∠ACB=，tan ∠ACB=，
而θ=∠ACB+30°.
所以tan θ=tan(∠ACB+30°)==.

变式　如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km的E港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.

(变式)
【解答】设∠ABE=θ，船的速度为v km/h，
则BC=v，BE=v，
在△ABE中，=，即sin θ=.
在△ABC中，=，
即AC===.
在△ACE中，
=25+-2×5××cos 150°，
化简得v2=25++100=，
即v2=93，所以v=.
故船速为 km/h.

例3　(2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.

(例3)
(1)求烟囱AB的高度；
(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB=h m，在Rt△ABE中，∠AEB=60°，可求得EB=h.
(1)在Rt△ABO中，∠AOB=30°，OB=h，由OE=10，可求出AB.
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=45°，BC=AB，在△CBO中，求出cos ∠COB，在△CEO中，求CE的长.
【解答】(1)设AB的高度为h m.
在△CAB中，因为∠ACB=45°，
所以CB=h.
在△OAB和△EAB中，因为∠AOB=30°，∠AEB=60°，
所以OB=h，EB=h.
由题意得h-=10，解得h=15.
答：烟囱的高度为15 m.
(2)在△OBC中，OC=10 m，OB=15 m，BC=15 m，
所以cos ∠COB===，
所以在△OCE中，OC=10 m，OE=10 m，
所以CE2=OC2+OE2-2OC·OEcos ∠COE=300+300-600×=100.
答：CE的长为10 m.

变式　(2015·苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从A处以每小时30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A南偏西75°方向且与A相距10 n mile 处.当甲船航行20 min到达C处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D处，此时两船相距10 n mile.

(变式(1))
(1)求乙船每小时航行多少海里
(2)在C处的北偏西30°方向且与C相距 n mile处有一个暗礁E，暗礁E周围 n mile范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险如无危险，请说明理由.

(变式(2))
【解答】(1)如图(2)，连接AD，
由题知CD=10，AC=×30=10，∠ACD=60°，
所以△ACD为等边三角形，
所以AD=10，又因为∠DAB=45°，
在△ABD中，由余弦定理得
BD2=AD2+AB2-2AB×ADcos 45°=100，
BD=10，v=10×3=30(n mile/h).
答：乙船的速度为每小时30 n mile.
(2)在海平面内，以点B为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心，半径为r=的圆内，
因为∠DAB=∠DBA=45°，
易知直线BD的方程为y=x，
E的横坐标为ABcos 15°-CEsin 30°，纵坐标为ABsin 15°+CEcos 30°+AC，求得A(5+5，5-5)，C(5+5，5+5)，E，
点E到直线BD的距离为d1==1<，故乙船有危险；
点E到直线AC的距离为d2=>，
故甲船没有危险.
以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长为l=2=2，
所以乙船遭遇危险持续时间t==(h).
答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续 h后脱险.

　解三角形中的不等关系
微课9
● 典型示例
例4　如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上.

(例4)
(1)若OM=，求PM的长；
(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小并求出面积的最小值.
　　【思维导图】

【规范解答】(1)在△OMP中，∠P=45°，OM=，OP=2.
由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°，
得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.
(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得=，
所以OM=，同理ON=，
故S△OMN=×OM×ON×sin ∠MON
=×
=
=　
=
=
==.
因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°.
所以当α=30°时，sin(2α+30°)取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为8-4.

● 总结归纳
(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.

● 题组强化
1.若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c，
所以cos C===≥=，
当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立，所以cos C的最小值为.

2.在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则的取值范围是　　　　.
【答案】()
【解析】因为A+B+C=180°，A=2B，△ABC为锐角三角形，
所以30°<B<45°，所以==2cos B∈().

3.已知线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始　　　　h后，两车的距离最小.

(第3题)
【答案】
【解析】如图，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.
因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就转化为求DE最小时t的值.
由余弦定理，得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2-42 000t+40 000.当t=时，DE最小.

4.(2015·苏州调查)如图，有两条相交成60°角的直路X'X，Y'Y，交点为O，甲、乙两人分别在OX，OY上，甲的起始位置与点O相距3 km，乙的起始位置与点O相距1km.后来甲沿XX'的方向、乙沿YY'的方向同时以4 km/h的速度步行.

(第4题)
(1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；
(2)设t h后甲、乙两人的距离为d(t)，写出d(t)的表达式，当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短并求出两人之间的最短距离.
【解答】(1)由余弦定理，得起初两人的距离为=(km).
(2)设t h后两人的距离为d(t)，
则当0≤t≤时，d(t)==；
当t>时，d(t)==；
当<t≤时，d(t)==.
所以d(t)== (t≥0)，
当t=时，两人的距离最短，且为 km.
答：当t=时，两人的距离最短为 km.

1.(2015·北京卷)在△ABC中，已知a=3，b=，A=，则角B=　　　　.
【答案】
【解析】由正弦定理，得=，即=，所以sin B=，因为b<a，所以角B=.

2.(2016·苏州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tan A=2tan B，a2-b2=c，则c=　　　　.
【答案】1
【解析】由已知及正、余弦定理知，tan A=2tan B=3a2-3b2=c2，又a2-b2=c，所以c2-c=0，解得c=1或c=0(舍去)，故c=1.

3.为了测量塔AB的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C，D，E，测得仰角分别为θ，2θ，4θ，CD=30 m，DE=10 m，则θ=　　　　，塔高AB=　　　　m.
【答案】15°　15

(第3题)
【解析】如图，设塔脚为B，由题意得∠ADE=2∠ACD=2θ，可知△ACD为等腰三角形，所以AD=30，同理△ADE也是等腰三角形，AE=10，在△ADE中，cos 2θ==，所以2θ=30°，所以θ=15°，AB=AEsin 4θ=AEsin 60°=10×=15(m).

4.(2015·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC中，D是BC上的一点.已知∠B=60°，AD=2，AC=，DC=，则AB=　　　　.

(第4题)
【答案】
【解析】在△ACD中，因为AD=2，AC=，DC=，
所以cos ∠ADC==-，从而∠ADC=135°，
所以∠ADB=45°.在△ADB中，=，
所以AB==.

5.(2015·苏州期末)如图，某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.

(第5题)
(1)若围墙AP，AQ的总长度为200 m，问：如何围可使得三角形地块APQ的面积最大
(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高 m，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省
【解答】(1)设AP=x m，AQ=y m，
则x+y=200，x>0，y>0.
△APQ的面积S=xysin 120°=xy.
因为xy≤=10 000，当且仅当x=y=100时取等号.
所以当AP=AQ=100 m时，可使三角形地块APQ的面积最大.
(2)由题意得100×(1×x+×y)=20 000，
即x+=200.
在△APQ中，PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy，
即PQ2=2+y2+y=+40 000，其中0<y<.
则当y=，x=时，PQ2取得最小值，从而PQ也取得最小值.
所以当AP= m，AQ= m时，可使竹篱笆用料最省.

【融会贯通】

融会贯通　能力提升

　　已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan C=.
(1)求角C的大小；
(2)当c=1时，求a2+b2的取值范围.

【思维引导】

【规范解答】
(1) 由已知及余弦定理，得=，所以sin C=.
…………………2分
因为C为锐角，所以C=30°. ………………………………………………4分
(2)由正弦定理，得====2， …………………………5分
所以a=2sin A，b=2sin B=2sin(A+30°).
a2+b2=4[sin2A+sin2(A+30°)]
=4　
=4
=4-3cos 2A+sin 2A
=4+2sin(2A-60°).……………………………………………………………………8分
由得60°<A<90°，…………………………………………10分
所以60°<2A-60°<120°，<sin(2A-60°)≤1 .………………………………12分
所以7<a2+b2≤4+2.所以a2+b2的取值范围是(7，4+2].………………14分
【精要点评】三角形有六个基本元素，即三条边和三个角，解三角形最主要的就是将六个基本元素化为已知的过程，一般要用正、余弦定理等工具，但选用怎样的公式，如何转化分析，要总结经验和规律.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第63~64页.

【检测与评估】
第32课　正弦定理与余弦定理的综合应用
一、 填空题
1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离为　　　　.

2.小明同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是　　　　.

3.如图，要测量河对岸A，B两点之间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离为　　　　m.

(第3题)

4.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为　　　　.

5.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向、相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10 n mile的C处的乙船.设乙船朝北偏东θ度的方向沿直线前往B处救援，则sin θ=　　　　.?

(第5题)

6.如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，那么BD的长为　　　　.

(第6题)

7.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，则c=　　　　.

8.(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶D在北偏西15°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　　　　m.?

(第8题)

二、 解答题
9.如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=.
(1)求BC的长.
(2)求△DBC的面积.

(第9题)

10.(2015·南京三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知acos C+ccos A=2bcos A.
(1)求角A的大小；
(2)求sin B+sin C的取值范围.

11.如图，在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P，上午9时，测得一轮船在海岛北偏东30°、俯角为30°的B处，到9时10分又测得该船(船直线航行)在海岛北偏西60°、俯角为45°的C处.
(1)求船的航行速度；
(2)在C处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10min后到达什么位置(以点A为参照点)

(第11题)

三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)
12.在△ABC中，已知=，则△ABC的形状为　　　　　　　.

13.在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C，则角A的取值范围是　　　　.

【检测与评估答案】
第32课　正弦定理与余弦定理的综合应用

1. 70 n mile　【解析】设轮船A，B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE=25×2=50(n mile)，CF=15×2=30(n mile)，且∠ECF=120°，所以
EF===70.

2. 3 km　【解析】如图，由条件知AB=24×=6，在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°，所以∠ASB=45°.由正弦定理知=，所以BS=·sin 30°=3(km).

(第2题)

3. 20　【解析】如图，由题设知△BDC为等腰直角三角形，故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A，B，C，D四点共圆，所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA中，运用正弦定理可得AB=20.

(第3题)

4. -　【解析】设最小边为a，则其他两边分别为a，2a.由余弦定理得最大角的余弦值为cos α==-.

5. 　【解析】如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则∠DAC=60°，AC=10，所以AD=5，CD=5，则BD=25，BC=10，所以sin θ=sin ∠DCB==.

(第5题)

6. 　【解析】因为AD⊥AC，所以∠DAC=90°，所以在△ABD中，cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC=，所以BD==.

7. 4　【解析】由3sin A=2sin B及正弦定理得3a=2b，又因为a=2，所以b=3，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×=16，所以c=4.

8. 100　【解析】在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根据正弦定理知=，即BC=×sin∠BAC=×=300，所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100.

9. (1) 因为sin=，
所以cos∠ABC=1-2×=.
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，
则由余弦定理可得9b2=a2+4-a，　①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得
cos∠ADB=，
cos∠BDC=.
因为cos∠ADB=-cos∠BDC，
所以=-，
所以3b2-a2=-6.　②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3.
(2) 由(1)得△ABC的面积为×2×3×=2，所以△DBC的面积为.

10. (1) 因为acos C+ccos A=2bcos A，
所以sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos A，
即sin(A+C)=2sin Bcos A.
因为A+B+C=π，
所以sin(A+C)=sin B.
从而sin B=2sin Bcos A，
因为sin B≠0，所以cos A=.
因为0<A<π，所以A=.
(2) sin B+sin C=sin B+sin=sin B+sincos B-cossin B
=sin B+cos B=sin.
因为0<B<，所以<B+<.
所以sin B+sin C的取值范围为.

11. (1) 如图，在Rt△APB中，∠APB=60°，PA=1，所以AB=.
在Rt△PAC中，∠APC=45°，
所以AC=PA=1.
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，
所以BC==2.
所以船的航行速度是2÷=12(km/h).

(第11题)
(2) 设10 min后该船到达点D.
因为该船向正南方向航行，
所以∠ACD=60°，CD=12×=2.
在△ACD中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2-2CD×AC×cos ∠ACD=4+1-2×2×1×=3，所以AD=，
所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90°.
而∠EAC=30°，所以∠EAD=90°-30°=60°，
所以10 min后该船距离在点A南偏西30°、距离A点 km处.

12. 等腰或直角三角形　【解析】由题设得===，
所以=.由正弦定理知=，所以=，所以sin Ccos C=sin Bcos B，即sin 2C=sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C=2B或2C+2B=180°，所以B=C或B+C=90°，故三角形为等腰或直角三角形.

13. 　【解析】由题意得sin2A<sin2B+sin2C，再由正弦定理得a2<b2+c2，即b2+c2-a2>0，则cos A=>0，因为0<A<π，所以0<A<.又a为最大边，所以A>.因此角A的取值范围是.