正弦定理与余弦定理的综合应用.docx

正弦定理与余弦定理的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P16练习1改编)在ABC中，若sin Asin Bsin C=7813，则cos C=.【答案】-【解析】由正弦定理知abc=7813，再由余弦定理得cos C=-.2.(必修5P24复习题1改编)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A=.【答案】【解析】由sinC=2sinB得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，所以cosA=，所以角A=.3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.(第3题)【答案】4.(必修5P26本章测试7改编)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A+csin C-asin C=bsin B，则角B=.【答案】45【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，故cos B=，因此B=45.5.(必修5P19例4改编)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为.【答案】【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=，因为0B，所以0B.1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30，南偏西45.(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.2.求解三角形实际问题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.【要点导学】要点导学各个击破利用正、余弦定理解常见的三角问题例1(2016苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asin B=2.(1)求角A的大小；(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.【解答】(1)由正弦定理，得asinB=bsinA.因为b=4，asin B=2，所以sin A=.又0A，所以A=.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=16+36-224=28，所以a=2.又因为asin B=2，所以sin B=，所以cos B=.因为D为BC的中点，所以BD=DC=.在ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B，即AD2=36+7-26=19，所以AD=.变式(2015全国卷)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b，求cos B的值；(2)若B=90，且a=，求ABC的面积.【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又因为a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos B=.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a=.所以ABC的面积为1.【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.实际问题中解三角形例22011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援.(例2(1)(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(，结果保留两位小数)；(2)求tan 的值.【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sinACB，然后利用同角基本关系求出tan ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.(例2(2)【解答】(1)如图(2)，在ABC中，AB=80，AC=40，BAC=120，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120，即BC=40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为4060= (h).(2)在ABC中，由正弦定理可得=，则sin ACB=sin BAC=.显然ACB为锐角，故cos ACB=，tan ACB=，而=ACB+30.所以tan =tan(ACB+30)=.变式如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60的B处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km的E港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.(变式)【解答】设ABE=，船的速度为v km/h，则BC=v，BE=v，在ABE中，=，即sin =.在ABC中，=，即AC=.在ACE中，=25+-25cos 150，化简得v2=25+100=，即v2=93，所以v=.故船速为 km/h.例3(2015苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45，30和60.(例3)(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB=h m，在RtABE中，AEB=60，可求得EB=h.(1)在RtABO中，AOB=30，OB=h，由OE=10，可求出AB.(2)在RtABC中，ACB=45，BC=AB，在CBO中，求出cos COB，在CEO中，求CE的长.【解答】(1)设AB的高度为h m.在CAB中，因为ACB=45，所以CB=h.在OAB和EAB中，因为AOB=30，AEB=60，所以OB=h，EB=h.由题意得h-=10，解得h=15.答：烟囱的高度为15 m.(2)在OBC中，OC=10 m，OB=15 m，BC=15 m，所以cos COB=，所以在OCE中，OC=10 m，OE=10 m，所以CE2=OC2+OE2-2OCOEcos COE=300+300-600=100.答：CE的长为10 m.变式(2015苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从A处以每小时30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A南偏西75方向且与A相距10 n mile 处.当甲船航行20 min到达C处时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的D处，此时两船相距10 n mile.(变式(1)(1)求乙船每小时航行多少海里(2)在C处的北偏西30方向且与C相距 n mile处有一个暗礁E，暗礁E周围 n mile范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险如无危险，请说明理由.(变式(2)【解答】(1)如图(2)，连接AD，由题知CD=10，AC=30=10，ACD=60，所以ACD为等边三角形，所以AD=10，又因为DAB=45，在ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ABADcos 45=100，BD=10，v=103=30(n mile/h).答：乙船的速度为每小时30 n mile.(2)在海平面内，以点B为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心，半径为r=的圆内，因为DAB=DBA=45，易知直线BD的方程为y=x，E的横坐标为ABcos 15-CEsin 30，纵坐标为ABsin 15+CEcos 30+AC，求得A(5+5，5-5)，C(5+5，5+5)，E，点E到直线BD的距离为d1=1，故甲船没有危险.以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长为l=2=2，所以乙船遭遇危险持续时间t=(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续 h后脱险.解三角形中的不等关系微课9 典型示例例4如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90，OP=2，点M在线段PQ上.(例4)(1)若OM=，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON=30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小并求出面积的最小值.【思维导图】【规范解答】(1)在OMP中，P=45，OM=，OP=2.由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2OPPMcos 45，得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)设POM=，060，在OMP中，由正弦定理，得=，所以OM=，同理ON=，故SOMN=OMONsin MON=.因为060，所以302+30150.所以当=30时，sin(2+30)取得最大值为1，此时OMN的面积取得最小值，即POM=30时，OMN的面积最小，其最小值为8-4. 总结归纳(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=Asin(x+)+B的形式，求得最值. 题组强化1.若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是.【答案】【解析】由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c，所以cos C=，当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立，所以cos C的最小值为.2.在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则的取值范围是.【答案】()【解析】因为A+B+C=180，A=2B，ABC为锐角三角形，所以30B时，d(t)=；当t时，d(t)=.所以d(t)= (t0)，当t=时，两人的距离最短，且为 km.答：当t=时，两人的距离最短为 km.1.(2015北京卷)在ABC中，已知a=3，b=，A=，则角B=.【答案】【解析】由正弦定理，得=，即=，所以sin B=，因为b0，y0.APQ的面积S=xysin 120=xy.因为xy=10 000，当且仅当x=y=100时取等号.所以当AP=AQ=100 m时，可使三角形地块APQ的面积最大.(2)由题意得100(1x+y)=20 000，即x+=200.在APQ中，PQ2=x2+y2-2xycos 120=x2+y2+xy，即PQ2=2+y2+y=+40 000，其中0y.则当y=，x=时，PQ2取得最小值，从而PQ也取得最小值.所以当AP= m，AQ= m时，可使竹篱笆用料最省.【融会贯通】融会贯通能力提升已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan C=.(1)求角C的大小；(2)当c=1时，求a2+b2的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知及余弦定理，得=，所以sin C=. 2分因为C为锐角，所以C=30.4分(2)由正弦定理，得=2， 5分所以a=2sin A，b=2sin B=2sin(A+30).a2+b2=4sin2A+sin2(A+30)=4=4=4-3cos 2A+sin 2A=4+2sin(2A-60).8分由得60A90，10分所以602A-60120，sin(2A-60)1 .12分所以7a2+b24+2.所以a2+b2的取值范围是(7，4+2.14分【精要点评】三角形有六个基本元素，即三条边和三个角，解三角形最主要的就是将六个基本元素化为已知的过程，一般要用正、余弦定理等工具，但选用怎样的公式，如何转化分析，要总结经验和规律.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第6364页.【检测与评估】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用一、 填空题 1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离为. 2.小明同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是.3.如图，要测量河对岸A，B两点之间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则AB的距离为m.(第3题) 4.已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为.5.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向、相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30、相距10 n mile的C处的乙船.设乙船朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援，则sin =.?(第5题)6.如图，在ABC中，已知点D在边BC上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，那么BD的长为.(第6题) 7.(2015重庆卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，则c=.8.(2015湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶D在北偏西15的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=m.?(第8题)二、 解答题 9.如图，在ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=.(1)求BC的长.(2)求DBC的面积.(第9题)10.(2015南京三模)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知acos C+ccos A=2bcos A.(1)求角A的大小；(2)求sin B+sin C的取值范围.11.如图，在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P，上午9时，测得一轮船在海岛北偏东30、俯角为30的B处，到9时10分又测得该船(船直线航行)在海岛北偏西60、俯角为45的C处.(1)求船的航行速度；(2)在C处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10min后到达什么位置(以点A为参照点)(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在ABC中，已知=，则ABC的形状为.13.在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B+C)sin2B+sin2C，则角A的取值范围是.【检测与评估答案】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用1. 70 n mile【解析】设轮船A，B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE=252=50(n mile)，CF=152=30(n mile)，且ECF=120，所以EF=70.2. 3 km【解析】如图，由条件知AB=24=6，在ABS中，BAS=30，AB=6，ABS=180-75=105，所以ASB=45.由正弦定理知=，所以BS=sin 30=3(km).(第2题)3. 20【解析】如图，由题设知BDC为等腰直角三角形，故DB=40.由ACB=60和ADB=60知A，B，C，D四点共圆，所以BAD=BCD=45.在BDA中，运用正弦定理可得AB=20.(第3题)4. -【解析】设最小边为a，则其他两边分别为a，2a.由余弦定理得最大角的余弦值为cos =-.5. 【解析】如图，过点C作CDAB，交BA的延长线于点D，则DAC=60，AC=10，所以AD=5，CD=5，则BD=25，BC=10，所以sin =sin DCB=.(第5题)6. 【解析】因为ADAC，所以DAC=90，所以在ABD中，cosBAD=cos(BAC-90)=sinBAC=，所以BD=.7. 4【解析】由3sin A=2sin B及正弦定理得3a=2b，又因为a=2，所以b=3，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-223=16，所以c=4.8. 100【解析】在ABC中，CAB=30，ACB=75-30=45，根据正弦定理知=，即BC=sinBAC=300，所以CD=BCtanDBC=300=100.9. (1) 因为sin=，所以cosABC=1-2=.在ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得9b2=a2+4-a，在ABD和DBC中，由余弦定理可得cosADB=，cosBDC=.因为cosADB=-cosBDC，所以=-，所以3b2-a2=-6.由可得a=3，b=1，即BC=3.(2) 由(1)得ABC的面积为23=2，所以DBC的面积为.10. (1) 因为acos C+ccos A=2bcos A，所以sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos A，即sin(A+C)=2sin Bcos A.因为A+B+C=，所以sin(A+C)=sin B.从而sin B=2sin Bcos A，因为sin B0，所以cos A=.因为0A，所以A=.(2) sin B+sin C=sin B+sin=sin B+sincos B-cossin B=sin B+cos B=sin.因为0B，所以B+.所以sin B+sin C的取值范围为.11. (1) 如图，在RtAPB中，APB=60，PA=1，所以AB=.在RtPAC中，APC=45，所以AC=PA=1.在ACB中，CAB=30+60=90，所以BC=2.所以船的航行速度是2=12(km/h).(第11题)(2) 设10 min后该船到达点D.因为该船向正南方向航行，所以ACD=60，CD=12=2.在ACD中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2-2CDACcos ACD=4+1-221=3，所以AD=，所以ACD是直角三角形，CAD=90.而EAC=30，所以EAD=90-30=60，所以10 min后该船距离在点A南偏西30、距离A点 km处.12. 等腰或直角三角形【解析】由题设得=，所以=.由正弦定理知=，所以=，所以sin Ccos C=sin Bcos B，即sin 2C=sin 2B.因为B，C均为ABC的内角，所以2C=2B或2C+2B=180，所以B=C或B+C=90，故三角形为等腰或直角三角形.13. 【解析】由题意得sin2Asin2B+sin2C，再由正弦定理得a20，则cos A=0，因为0A，所以0A.因此角A的取值范围是.