线面角的求法总结.pdf

线面角的三种求法线面角的三种求法1直接法直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例例 1（如图 1）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45,SBC=60,M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。（2）SC 与平面 ABC 所成的角。解:（1）SCSB,SCSA,BMHSCA图 1SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影，SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60。（2）连结 SM,CM，则 SMAB,又SCAB,AB平面 SCM,面 ABC面 SCM过 S 作 SHCM 于 H,则 SH平面 ABCCH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。SCH 为SC与平面ABC所成的角。sin SCH=SHSCSC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77 7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式利用公式sin=h=h其中是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例例 2（如图 2）长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4 ，求 AB 与面 AB1C1D 所成的角。解：设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h,VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1h=13 SBB1C1AB，易得 h=125 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=hAB=45 A1 1C1 1D1 1H4CB1 123BAD图2AB 与面 AB1C1D 所成的角为 arcsin 45 3.利用公式利用公式 cos=cos=cos1 1 coscos2 2 （如图3）若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，BOAC图31为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么 cos=cos1cos2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例例 3（如图 4）已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60,，求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面 OBC 内的射影在BOC 的平分线 OD 上，则AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角，可知 DOC=30,cosAOC=cosAODcosDOC cos60=cosAODcos30 cosAOD=33 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为33。ODACB图 4（一）复习：1直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内）2思考：当直线与平面的关系是时，如何反映直线与平面的相对位置关系aaA呢？（可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量）（二）新课讲解：1平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则AOAOBB直线是AB斜线在平面内的射影。设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，ACBCACC又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：AOAB1ABAC2AOAC，1|cosABAO 212|cos|coscosACABAO 又，|cosACAO可以得到：，12coscoscos注意：（若，则由三垂线定理可知，2(0,)222，即；与“是平面内的任意一条直线，且，垂足为”OAAC2ACBCACC不相符）。易得：又即可得：1coscos1,(0,)2 1则可以得到：（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。说明：1若，则规定与所成的角是直角；aa2若或，则规定与所成的角为；/aaa03直线和平面所成角的范围为：；0904直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（）。12coscoscos2例题分析：例 1如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内ABB,AOOBC的一条直线，求斜线和平面所成角。60,45ABCOBCAB解：，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角，AOABOAB 又，12coscoscos，coscos60122coscoscos45222ABCABOCBO，即斜线和平面所成角为45BAOAB45例 2如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角。1AC1AB11BB D D解（法一）连结与交于，连结，11AC11B DOOB，平面，111DDAC1111B DAC1AO 11BB D D是与对角面所成的角，1ABO1AB11BB D D在中，1Rt ABO1112AOAB130ABO（法二）由法一得是与对角面所成的角，1ABO1AB11BB D D又，112coscos452ABB116cos3B BB BOBO21OCBAOCBA1B1A1CABC1DDO，11112cos32coscos263ABBABOB BO130ABO说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便。21coscoscos例 3已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值。ABCDACBCD 解：过作平面于点，连接，AAO BCDO,CO BO DO，是正三角形的外心，ABACADOBCD设四面体的边长为，则，a33COa，即为与平面所成角，90AOCACOACBCD，所以，与平面所成角的余弦值为3cos3ACOACBCD33五课堂练习：课本第 45 页练习第 1，2，3 题；第 47 页习题 9.7 的第 1 题。六小结：1线面角的概念；2及应用步骤：在图形中所表示的角。12coscoscos12,七作业：课本第 45 页练习第 4 题、第 47 页习题 9.7 的第 2 题。补充：1 如图，是平面的斜线，在平面内，且满足，又已知PABAC90BAC，求和平面所成的角。60PABPAC PA2如图，已知正方形所在平面，且，求和PA ABCD24,6 10PCPBPDPC平面所成的角。ABCDODCBAAPCBABCDP