排列组合题型总结.pdf

排列组合常见题型及解题策略排列组合常见题型及解题策略一一.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.1.1.五人并排站成一排，如果五人并排站成一排，如果必须相邻且必须相邻且在在的右边，那么不同的排法种数的右边，那么不同的排法种数,A B C D E,A BBA有（有（）A A、6060 种种 B B、4848 种种 C C、3636 种种 D D、2424 种种解析：把解析：把视为一人，且视为一人，且固定在固定在的右边，则本题相当于的右边，则本题相当于 4 4 人的全排列，人的全排列，种，答案：种，答案：,A BBA4424A 2、（、（2009 四川卷理）四川卷理）3 3 位男生和位男生和 3 3 位女生共位女生共 6 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.A.360360 B.B.188188 C.C.216216 D.D.9696 3 3、6 6 位同学站成一排，位同学站成一排，3 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有位女生中有且只有两位女生相邻的排法有（），种其中男生甲站两端的有种其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有，符合条件的排法故共有 288288 22223242C A A A=4321222223232A C A A A=144二二.相离问题插空法相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.1.1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A A、14401440 种种 B B、36003600 种种 C C、48204820 种种 D D、48004800 种种解析：除甲乙外，其余解析：除甲乙外，其余 5 5 个排列数为个排列数为种，再用甲乙去插种，再用甲乙去插 6 6 个空位有个空位有种，不同的排法种数是种，不同的排法种数是55A26A种，选种，选.52563600A A B2 2、书架上某层有、书架上某层有 6 6 本书，新买本书，新买 3 3 本插进去，要保持原有本插进去，要保持原有 6 6 本书的顺序，有本书的顺序，有 种不同的插法种不同的插法（具体数字作答）（具体数字作答）【解析解析】：111789A A A=5043 3、高三（一）班学要安排毕业晚会的高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 4 各音乐节目，各音乐节目，2 2 个舞蹈节目和个舞蹈节目和 1 1 个曲艺节目的演出顺序，个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析解析】：不同排法的种数为不同排法的种数为5256A A360036004 4、某工程队有某工程队有 6 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 6 项工程的不同项工程的不同排法种数是排法种数是 【解析解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 5 个空中，可得个空中，可得有有25A2020 种不同排法。种不同排法。5 5、某市春节晚会原定、某市春节晚会原定 1010 个节目，导演最后决定添加个节目，导演最后决定添加 3 3 个与个与“抗冰救灾抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的 1010 个节目的相对顺序不变，个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为则该晚会的节目单的编排总数为 种种.【解析解析】：11191011A A A=9906 6、马路上有编号为、马路上有编号为 1 1，2 2，33，9 9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析解析】：把此问题当作一个排对模型，在：把此问题当作一个排对模型，在 6 6 盏亮灯的盏亮灯的 5 5 个空隙中插入个空隙中插入 3 3 盏不亮的灯盏不亮的灯35C种方法种方法,所以满足条件的关灯方案有所以满足条件的关灯方案有 1010 种种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决模型可使问题容易解决.7 7、3 3 个人坐在一排个人坐在一排 8 8 个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？【解析解析】：解法解法 1 1、先将、先将 3 3 个人（各带一把椅子）进行全排列有个人（各带一把椅子）进行全排列有 A A，*，在四个空，在四个空33中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 A A 种，所以每个人左右两边都空位的排法有种，所以每个人左右两边都空位的排法有14=24=24 种种.3314AA解法解法 2 2：先拿出：先拿出 5 5 个椅子排成一排，在个椅子排成一排，在 5 5 个椅子中间出现个椅子中间出现 4 4 个空，个空，*再让再让 3 3 个人每人个人每人带一把椅子去插空，于是有带一把椅子去插空，于是有 A A=24=24 种种.348 8、停车场划出一排停车场划出一排 1212 个停车位置，今有个停车位置，今有 8 8 辆车需要停放辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？车方法有多少种？【解析解析】：先排好：先排好 8 8 辆车有辆车有 A A 种方法，要求空车位置连在一起，则在每种方法，要求空车位置连在一起，则在每 2 2 辆之间及其两端的辆之间及其两端的 9 988个空档中任选一个，将空车位置插入有个空档中任选一个，将空车位置插入有 C C 种方法，所以共有种方法，所以共有 C C A A 种方法种方法.191988注：题中注：题中*表示元素，表示元素，表示空表示空.三三.定序问题缩倍法定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.1.1.五人并排站成一排，如果五人并排站成一排，如果必须站在必须站在的右边（的右边（可以不相邻）那么不同的可以不相邻）那么不同的,A B C D EBA,A B排法种数是（排法种数是（）A A、2424 种种 B B、6060 种种 C C、9090 种种 D D、120120 种种解析：解析：在在的右边与的右边与在在的左边排法数相同，所以题设的排法只是的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 5 个元素全排列数的一个元素全排列数的一BABA半，即半，即种，选种，选.551602A B2 2、将、将 A A、B B、C C、D D、E E、F F 这这 6 6 个字母排成一排，若个字母排成一排，若 A A、B B、C C 必须按必须按 A A 在前，在前，B B 居中，居中，C C 在后的原在后的原则（则（A A、B B、C C 允许不相邻），有多少种不同的排法？允许不相邻），有多少种不同的排法？【解析解析】：法一：法一：法二：法二：36A66331AA四四.标号排位问题分步法标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成个元素，如此继续下去，依次即可完成.1 1、.将数字将数字 1 1，2 2，3 3，4 4 填入标号为填入标号为 1 1，2 2，3 3，4 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（号与所填数字均不相同的填法有（）A A、6 6 种种 B B、9 9 种种 C C、1111 种种 D D、2323 种种解析：先把解析：先把 1 1 填入方格中，符合条件的有填入方格中，符合条件的有 3 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 331=9331=9 种填法，选种填法，选.B2 2、将数字将数字 1 1，2 2，3 3，4 4 填入标号为填入标号为 1 1，2 2，3 3，4 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（号与所填数字均不相同的填法有（）A A、6 6 种种 B B、9 9 种种 C C、1111 种种 D D、2323 种种高高考考资资源源网网 【解析解析】：先把：先把 1 1 填入方格中，符合条件的有填入方格中，符合条件的有 3 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3 33 31=91=9 种填种填法，选法，选B.3 3、编号为编号为 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5 的五个人分别去坐编号为的五个人分别去坐编号为 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5 的五个座位，其中有且只有的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（两个的编号与座位号一致的坐法是（）A A 1010 种种 B B 2020 种种 C C 3030 种种 D D 6060 种种 答案：答案：B B4 4、同室、同室 4 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则 4 4 张贺张贺年卡不同的分配方式共有年卡不同的分配方式共有()（A A）6 6 种种（B B）9 9 种种（C C）1111 种种（D D）2323 种种 【解析解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为 a a、b b、c c、d d。第一步，甲取其中一张，有第一步，甲取其中一张，有 3 3 种等同的方式；种等同的方式；第二步，假设甲取第二步，假设甲取 b b，则乙的取法可分两类：，则乙的取法可分两类：（1 1）乙取）乙取 a a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2 2）乙取）乙取 c c 或或 d d（2 2 种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有原理和乘法原理，一共有种分配方式。种分配方式。故选（故选（B B）3129()5 5、五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有、五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有()高高考考资资源源网网 （A A）6060 种种（B B）4444 种种（C C）3636 种种（D D）2424 种种 答案：B 五五.有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.1.1.有甲乙丙三项任务，甲需有甲乙丙三项任务，甲需 2 2 人承担，乙丙各需一人承担，从人承担，乙丙各需一人承担，从 1010 人中选出人中选出 4 4 人承担这三项任务，人承担这三项任务，不同的选法种数是（不同的选法种数是（）A A、12601260 种种 B B、20252025 种种 C C、25202520 种种 D D、50405040 种种解析：先从解析：先从 1010 人中选出人中选出 2 2 人承担甲项任务，再从剩下的人承担甲项任务，再从剩下的 8 8 人中选人中选 1 1 人承担乙项任务，第三步从人承担乙项任务，第三步从另外的另外的 7 7 人中选人中选 1 1 人承担丙项任务，不同的选法共有人承担丙项任务，不同的选法共有种，选种，选.21110872520C C C C2 2、1212 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 4 人，则不同的分配方案有（人，则不同的分配方案有（）A A、种种 B B、种种 C C、种种 D D、种种4441284C C C44412843C C C4431283C C A444128433C C CA答案：答案：.A六不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法六不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法1 1 、有、有 6 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高高考考资资源源网网 （1）分成分成 1 1 本、本、2 2 本、本、3 3 本三组；本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 1 本，一个人本，一个人 2 2 本，一个人本，一个人 3 3 本；本；（3）分成每组都是分成每组都是 2 2 本的三个组；本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人分给甲、乙、丙三人，每个人 2 2 本；本；（5）分给分给 5 5 人每人至少人每人至少 1 1 本。本。【解析解析】：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）332516CCC33332516ACCC33222426ACCC222426CCC2111115554321544C C C C C CAA2 2、将、将 4 4 名大学生分配到名大学生分配到 3 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）种（用数字作答）高高考考资资源源网网 【解析解析】：第一步将：第一步将 4 4 名大学生按，名大学生按，2 2，1 1，1 1 分成三组，其分法有分成三组，其分法有21142122CCCA;第二步将分好的三组分配到第二步将分好的三组分配到 3 3 个乡镇，其分法有个乡镇，其分法有33A所以满足条件得分配的方案有所以满足条件得分配的方案有211342132236CCCAA说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.3 3、5 5名志愿者分到名志愿者分到3 3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A A）150150种种 (B)180(B)180种种 (C)200(C)200种种 (D)280(D)280种种 【解析解析】：人数分配上有：人数分配上有 1,2,21,2,2 与与 1,1,31,1,3 两种方式，若是两种方式，若是 1,2,21,2,2，则有，则有3113521322C C CAA6060 种，若种，若是是 1,1,31,1,3，则有则有1223542322C C CAA9090 种，所以共有种，所以共有 150150 种，选种，选 A A4 4、将将 9 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）A A7070 B B140140C C280280D D840840 答案答案 ：（：（A A ）5 5、将将 5 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（案有（）（A A）种）种（B B）种）种 （C C）种）种（D D）种）种【解析解析】：将：将 5 5 名实习教师分配到高一年级的名实习教师分配到高一年级的 3 3 个班实习，每班至少个班实习，每班至少 1 1 名，最多名，最多 2 2 名，则将名，则将 5 5 名名教师分成三组，一组教师分成三组，一组 1 1 人，另两组都是人，另两组都是 2 2 人，有人，有12542215CCA种方法，再将种方法，再将 3 3 组分到组分到 3 3 个班，共个班，共有有331590A种不同的分配方案，选种不同的分配方案，选 B.B.6 6 、某外商计划在四个候选城市投资、某外商计划在四个候选城市投资 3 3 个不同的项目个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超且在同一个城市投资的项目不超过过 2 2 个个,则该外商不同的投资方案有（则该外商不同的投资方案有（）种）种 高高考考资资源源网网 A A1616 种种 B B3636 种种 C C4242 种种 D D6060 种种【解析解析】：按条件项目可分配为：按条件项目可分配为2,1,0,0与与1,1,1,0的结构，的结构，2223343243362460C C AC A 故选故选D D；7 7、（、（1 1）5 5 本不同的书，全部分给本不同的书，全部分给 4 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A A、480480 种种 B B、240240 种种 C C、120120 种种 D D、9696 种种 答案：答案：B.（2 2）1212 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 4 人，则不同的分配方案人，则不同的分配方案有多少种？有多少种？答案：答案：高高考考资资源源网网 44431284333AAC C C8 8 、有甲乙丙三项任务，甲需有甲乙丙三项任务，甲需 2 2 人承担，乙丙各需一人承担，从人承担，乙丙各需一人承担，从 1010 人中选出人中选出 4 4 人承担这三项任人承担这三项任务，不同的选法种数是（务，不同的选法种数是（）A A、12601260 种种 B B、20252025 种种 C C、25202520 种种 D D、50405040 种种【解析解析】：先从：先从 1010 人中选出人中选出 2 2 人承担甲项任务，再从剩下的人承担甲项任务，再从剩下的 8 8 人中选人中选 1 1 人承担乙项任务，第三人承担乙项任务，第三步从另外的步从另外的 7 7 人中选人中选 1 1 人承担丙项任务，不同的选法共有人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C 种，选种，选C.9.9.某高校从某系的某高校从某系的 1010 名优秀毕业生中选名优秀毕业生中选 4 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？高高考考资资源源网网 【解析解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都若甲乙都不参加，则有派遣方案不参加，则有派遣方案48A种；种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 3 种方法，然后安排其余学生有种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有方法，所以共有383A；若乙参加而甲不参加同理也有若乙参加而甲不参加同理也有383A种；种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 7 种方法，然后再种方法，然后再安排其余安排其余 8 8 人到另两个城市有人到另两个城市有28A种，共有种，共有287A方法方法.所以共有不同的派遣方法总数为所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088AAAA种种1010、四个不同球放入编号为四个不同球放入编号为 1 1，2 2，3 3，4 4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次种，再排：在四个盒中每次排排 3 3 个有个有34A种，故共有种，故共有2344144C A 种种.11.11.（1 1）4 4 名优秀学生全部保送到名优秀学生全部保送到 3 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？种？解析：把四名学生分成解析：把四名学生分成 3 3 组有组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种，故共有24C33A种方法种方法.234336C A 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2 2）5 5 本不同的书，全部分给本不同的书，全部分给 4 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A A、480480种种 B B、240240 种种 C C、120120 种种 D D、9696 种种答案：答案：.B七七.名额分配问题隔板法名额分配问题隔板法:1 1、1010 个三好学生名额分到个三好学生名额分到 7 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：解析：1010 个名额分到个名额分到 7 7 个班级，就是把个班级，就是把 1010 个名额看成个名额看成 1010 个相同的小球分成个相同的小球分成 7 7 堆，每堆至少一个，堆，每堆至少一个，可以在可以在 1010 个小球的个小球的 9 9 个空位中插入个空位中插入 6 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为分配方案为种种.6984C 2 2、把、把 2020 个相同的球全放入编号分别为个相同的球全放入编号分别为 1 1，2 2，3 3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？编号数，则有多少种不同的放法？3 3、向、向 1 1，2 2，3 3 号三个盒子中分别放入号三个盒子中分别放入 0 0，1 1，2 2 个球后还余下个球后还余下 1717 个球，然后再把这个球，然后再把这 1717 个球分成个球分成3 3 份，每份至少一球，运用隔板法，共有份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。种。高高考考资资源源网网 120216C4 4、1010 个三好学生名额分到个三好学生名额分到 7 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析解析】：1010 个名额分到个名额分到 7 7 个班级，就是把个班级，就是把 1010 个名额看成个名额看成 1010 个相同的小球分成个相同的小球分成 7 7 堆，每堆至少堆，每堆至少一个，可以在一个，可以在 1010 个小球的个小球的 9 9 个空位中插入个空位中插入 6 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为不同的分配方案为6984C 种种.高高考考资资源源网网 变式变式 1 1：7 7 个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种种变式变式 2 2：马路上有编号为：马路上有编号为 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9 的的 9 9 盏路灯，为节约用电，可以把其盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有的关灯办法有 种种5 5、将、将 4 4 个相同的白球、个相同的白球、5 5 个相同的黑球、个相同的黑球、6 6 个相同的红球放入个相同的红球放入 4 4 各不同的盒子中的各不同的盒子中的 3 3 个中，使得个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？高高考考资资源源网网 【解析解析】：1 1、先从、先从 4 4 个盒子中选三个放置小球有个盒子中选三个放置小球有34C种方法。种方法。2 2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4 4 个相同的白球、个相同的白球、5 5 个相同的黑球、个相同的黑球、6 6 个相同的红球所产生的个相同的红球所产生的 3 3 个、个、4 4 个个 5 5 个空挡中分别插入两个个空挡中分别插入两个板。各有板。各有23C、24C、25C种方法。种方法。3 3、由分步计数原理可得、由分步计数原理可得34C23C24C25C=720=720 种种八八.限制条件的分配问题分类法限制条件的分配问题分类法:1.1.某高校从某系的某高校从某系的 1010 名优秀毕业生中选名优秀毕业生中选 4 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案若甲乙都不参加，则有派遣方案种；种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 3 种方法，然后种方法，然后48A安排其余学生有安排其余学生有方法，所以共有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有若乙参加而甲不参加同理也有种；种；若甲乙都参若甲乙都参38A383A383A加，则先安排甲乙，有加，则先安排甲乙，有 7 7 种方法，然后再安排其余种方法，然后再安排其余 8 8 人到另外两个城市有人到另外两个城市有种，共有种，共有方法方法.28A287A所以共有不同的派遣方法总数为所以共有不同的派遣方法总数为种种.433288883374088AAAA九九.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计数，最后总计.1 1、由数字、由数字 0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A A、210210 种种 B B、300300 种种 C C、464464 种种 D D、600600 种种解析：按题意，个位数字只可能是解析：按题意，个位数字只可能是 0 0，1 1，2 2，3 3，4 4 共共 5 5 种情况，分别有种情况，分别有个，个，55A个，合并总计个，合并总计 300300 个个,选选.1131131131343333323333,A A AA A AA A AA AB2 2、从、从 1 1，2 2，33，100100 这这 100100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 7 整除，这两个数的取法整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 7 整除时，他们的乘积就能被整除时，他们的乘积就能被 7 7 整除，将这整除，将这 100100 个数组成个数组成的集合视为全集的集合视为全集 I,I,能被能被 7 7 整除的数的集合记做整除的数的集合记做共有共有 1414 个元素个元素,不能被不能被 7 7 整除整除7,14,21,98A 的数组成的集合记做的数组成的集合记做共有共有 8686 个元素；由此可知，从个元素；由此可知，从中任取中任取 2 2 个元素的个元素的1,2,3,4,100A A取法有取法有，从，从中任取一个，又从中任取一个，又从中任取一个共有中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有，两种情形共符合要求的取法有214CAA111486C C种种.2111414861295CC C3 3、从、从 1 1，2 2，3 3，100100 这这 100100 个数中任取两个数，使其和能被个数中任取两个数，使其和能被 4 4 整除的取法（不计顺序）有多整除的取法（不计顺序）有多少种？少种？解析：将解析：将分成四个不相交的子集，能被分成四个不相交的子集，能被 4 4 整除的数集整除的数集；1,2,3,100I 4,8,12,100A 能被能被 4 4 除余除余 1 1 的数集的数集，能被，能被 4 4 除余除余 2 2 的数集的数集，能被，能被 4 4 除余除余 3 31,5,9,97B 2,6,98C 的数集的数集，易见这四个集合中每一个有，易见这四个集合中每一个有 2525 个元素；从个元素；从中任取两个数符合要；中任取两个数符合要；3,7,11,99D A从从中各取一个数也符合要求；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；,B DC所以符合要求的取法共有所以符合要求的取法共有种种.211225252525CC CC4 4、有有 1111 名外语翻译人员，其中名外语翻译人员，其中 5 5 名是英语译员，名是英语译员，4 4 名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出从中找出 8 8 人，使他们可以组成翻译小组，其中人，使他们可以组成翻译小组，其中 4 4 人翻译英语，另人翻译英语，另 4 4 人翻译日人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的语，这两个小组能同时工作，问这样的 8 8 人名单可以开出几张？人名单可以开出几张？34111235244544253412454412354445CCCCCCCCCCCCCCCC变式：变式：.有有 1111 名外语翻译人员名外语翻译人员,其中有其中有 5 5 名会英语名会英语,4,4 名会日语名会日语,另外两名英另外两名英,日语都精通日语都精通,从中选从中选出出 8 8 人人,组成两个翻译小组组成两个翻译小组,其中其中 4 4 人翻译英语人翻译英语,另另 4 4 人翻译日语人翻译日语,问共有多少不同的选派方式问共有多少不同的选派方式?答案答案 ：185185 十十.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.()()()()n ABn An Bn AB从从 6 6 名运动员中选出名运动员中选出 4 4 人参加人参加 41004100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？种不同的参赛方案？解析：设全集解析：设全集=6 6 人中任取人中任取 4 4 人参赛的排列人参赛的排列，A=A=甲跑第一棒的排列甲跑第一棒的排列，B=B=乙跑第四棒的排列乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种种.()()()()n In An Bn AB43326554252AAAA十一十一.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。元素。1 1、1 1 名老师和名老师和 4 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有解析：老师在中间三个位置上选一个有种，种，4 4 名同学在其余名同学在其余 4 4 个位置上有个位置上有种方法；所以共种方法；所以共13A44A有有种。种。143472A A 2 2、有、有 4 4 名男生，名男生，5 5 名女生，排成一行，下列情形各有多少种不同排法？名女生，排成一行，下列情形各有多少种不同排法？（1 1）甲不在排头；）甲不在排头；（2 2）甲不在排头，乙不在排尾；）甲不在排头，乙不在排尾；（3 3）甲不在两端；）甲不在两端；（4 4）甲乙站两端；）甲乙站两端；（5 5）甲乙不能站排头，排尾；）甲乙不能站排头，排尾；（6 6）甲乙相邻，而丙不能站排头排尾。）甲乙相邻，而丙不能站排头排尾。十二十二.多排问题单排法多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。1 1、6 6 个不同的元素排成前后两排，每排个不同的元素排成前后两排，每排 3 3 个元素，那么不同的排法种数是（个元素，那么不同的排法种数是（）A A、3636 种种 B B、120120 种种 C C、720720 种种 D D、14401440 种种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 6 个不同的元素排成一排，共个不同的元素排成一排，共种，种，66720A 选选.C2 2、8 8 个不同的元素排成前后两排，每排个不同的元素排成前后两排，每排 4 4 个元素，其中某个元素，其中某 2 2 个元素要排在前排，某个元素要排在前排，某 1 1 个元素排在个元素排在后排，有多少种不同排法？后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某解析：看成一排，某 2 2 个元素在前半段四个位置中选排个元素在前半段四个位置中选排 2 2 个，有个，有种，某种，某 1 1 个元素排在后半段个元素排在后半段24A的四个位置中选一个有的四个位置中选一个有种，其余种，其余 5 5 个元素任排个元素任排 5 5 个位置上有个位置上有种，故共有种，故共有种种14A55A1254455760A A A 排法排法.十三十三.“.“至少至少”“至多至多”问题用间接排除法或分类法问题用间接排除法或分类法:1.1.从从 4 4 台甲型和台甲型和 5 5 台乙型电视机中任取台乙型电视机中任取 3 3 台，其中至少要甲型和乙台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的型电视机各一台，则不同的取法共有取法共有 （）A A、140140 种种 B B、8080 种种 C C、7070 种种 D D、35