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苏北数学建模联赛试题B题 篮球比赛问题运动员比赛过程的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一。篮球竞赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是判定运动队竞赛成绩的客观标准。某大学有12个学院，每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛。首先进行分组赛，共分两组，每组6支代表队；小组赛结束后，每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛。附表1和附表2（附表略）分别为第一组和第二组的比赛结果。请你根据这些数据，研究各个代表队的下列问题：（1）每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。（2）按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，将这些技术指标进行排序。（3）找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。（4）根据这两个小组赛的成绩，预测哪支代表队最有可能夺冠，并将这12支代表队的名次进行排序。（5）对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞技水平。篮球比赛问题摘 要篮球是世界上公认的三大球类运动之一，在世界各地都有着广泛而深远的影响。在我国篮球也是一项十分普及的运动，深受广大人民群众尤其是青少年的喜爱。本文主要针对某大学举办的一次校内篮球联赛，讨论了篮球比赛中每支参赛代表队的各项技术指标与其比赛成绩的关联关系，并根据各项指标对球队成绩的“整体”贡献度将其进行了排序，然后又探讨了各支参赛队伍的排名问题和影响其排名的关键场次问题。为此，我们先后建立了灰色系统关联模型、竞赛图理论排序模型和灰色理论预测模型。在灰色系统关联模型中，我们定义相关度这一指标来衡量各项技术指标与比赛成绩的关联关系，构建出衡量球队比赛成绩的指标体系，并且对每支球队的技战术水平进行了简要的分析，给出简单的改进意见。然后应用权变理论改进该模型，使其能够根据对球队成绩贡献的大小将各项技术指标排序，最后得到的排序结果与实际情况十分吻合。在对各支代表队的排序和关键场次的确定中，我们首先用竞赛图排序模型找出了各支球队的关键比赛场次，实质上这是一种穷举的方法，但通过优化我们达到了较小的算法复杂度实现穷举的效果，既保证了科学性和准确性，又体现出效率性。然后我们通过分析，认为不同的比赛赛制将对应不同的球队排序，为此我们采用男篮世锦赛的排名方法，并且在竞赛排序模型的基础上引入灰色预测模型，预测出信电学院将最有可能夺冠，并对其他各支代表队的排名进行了预测。具体的结果参见结果分析。最后我们还对上述各模型进行了优化，同时探讨了其他的技术指标与球队成绩相关性评价模型。关键字：灰色系统理论、灰色预测、竞赛图排序、关联度（系数）、权变理论一、问题重述与分析1.1问题重述（略）1.2问题分析（略）二、问题假设1、参赛各队存在客观的真正实力；2、在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比服从以它们真正实力对比为中心的相互独立的正态分布；3、题目给出的19项指标足以反映该球队的真实实力；4、小组赛的竞赛成绩是球队实力的真实反映，小组赛中各项技术统计能够代表球队的技战术水平；5、不存在球场不公平竞争现象，如裁判问题和假球问题等。三、符号说明全局符号说明如下：技术指标（因素数列）； ：基准指标（基准因素数列）；：比较指标（比较因素数列） ：场次号（时刻值）；：因素在时刻观察得到的值； ：比较数列对基准数列 在的关联系数；：分辨系数； ：残差；：两极最小差；：两极最大差。四、模型建立与求解4.1数据的整合由于题目中的数据是在WORD文档中，处理起来较为困难，根据后面模型建立与求解过程中的要求，我们首先对数据进行整合，将其导入EXCEL，同时统计出每支球队在小组赛六场比赛中的技术统计情况，具体表格见附录1，表中我们按照场次的先后顺序排序，标注出每支球队每场比赛的胜负关系和总的胜负关系，计算出每支球队在全部六场小组赛中的技术统计的总体情况。4.2灰色系统模型的建立：模型I 灰色系统相关模型根据问题分析和灰色理论相关原理，我们首先为各项技术指标建立一个灰色系统相关模型。假设为系统的多个因素，我们在这里即是多个技术指标。现在选取其中一个因素作为比较基准，可以表示为数列（称为基准数列）：其中表示时间序号，这里即是场次号，则表示因素在时刻观察得到的值。假设另外有个需要与基准因素比较的因素的数列（称为比较数列）：那么，比较数列对基准数列在的关联系数定义为：其中称为分辨系数，和分别称为两极最小差和两极最大差。一般来说，分辨系数。而且越大，则关联系数越大，分辨率也越高。反之，越小，则关联系数越小，分辨率也就越小。关联系数这一指标描述了比较数列与基准数列在某一时刻的关联程度，但是每一个时刻都有一个关联系数就显得过于分散，难以全面比较。因此，定义比较数列对基准数列的关联度为，作为衡量系统因素间的关联程度大小的唯一指标。这里我们还要注意两个问题，一个是在计算关联系数和关联度时，要求不同的技术指标数列具有相同的量纲单位，但显然本题中的量纲不统一，因此就需要我们对其进一步处理。我们采用的办法是以每支球队的第一场比赛的各项技术统计为标准，将其后每场比赛的各项技术统计与第一场的各项技术统计做商，得到一个新的相对技术统计矩阵，即为所要矩阵，我们称其为技术指标数据的初始化，以实现无量纲化：如原始序列：则可以构造其初始化序列：第二个问题是关联系数的定义公式其算出的数值均是正数，不能区分是正关联（两个技术指标成正比）还是负关联（两个技术指标成反比）。在计算的过程中，我们发现不区分正、负关联，可能的出比较怪异的结果，比如失误这一技术指标反而成为球队取胜的重要技术指标失误越多，胜率越大！我们采用下面的办法来判断是正关联还是负关联：取然后定义：1、若，则称因素和是正相关的； 2、若，则称因素和是负相关的；这样就可以区分各项技术指标与基准指标之间的关联度，避免出现上述的怪异结果。模型II 灰色系统预测GM模型根据灰色理论的相关原理，我们知道，一般可以用离散的随机数经过数的生成这一过程，变成随机性明显削弱的较有规律的生成数列，这样我们就可以利用这个数列对变化过程作较长时间的描述，甚至可以确定微分方程的系数，同时用其来对将来的情况进行一定精度的预测。设有N个原始数据数列：对它们分别做一次累加生成，得到N个生成数列：如果将生成数列的时刻看成连续的变量，又将生成数列看成关于时间的函数，即，那么只要生成数列对的变化率由影响，就可以建立下面的常微分方程：这个N个变量的一阶常微分方程模型记为。记（上述微分方程的参数列），又记：按照差分法把所得的常微分方程离散化，得到一个线形方程组，它的一般形式为：如果取残差，则为了得到估计值，可以解决下面的极值问题，即求使得残差的平方和达到最小时的值。当的时候，根据最小二乘法，可以算得：最终可以得到矩阵B为：这样常微分方程便确定下来了。我们可以运用该模型对事物的发展趋势进行描述，预测其发展变化情况。4.3球队技术指标灰色关联模型的建立与求解（解决第一问）：根据4.2中建立的灰色系统模型，我们来建立模型来探讨每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。这里我们认为在小组赛中，球队比赛成绩的衡量是以胜负场次数目作为标准的，胜的场次越多说明该球队成绩越好，反之则说明球队成绩较差。选取的基准技术指标是球队的胜负，胜记为1，负记为0。同时根据问题的分析2所述，选取13项技术指标来与球队的成进进行关联分析（注：我们在计算的时候，由于复杂度不高的原因，仍是按照19个指标来进行计算）。我们以数学学院为例，来描述技术指标灰色关联模型的建立和求解。对于其他学院我们则给出计算的结果和关联分析。数学学院小组赛的各项技术指标统计如下：场次胜负2分球3分球罚球篮板球助攻犯规失误抢断盖帽得分中次%中次%中次%进攻防守合计1胜生物学院264163.41%52520.00%162466.66%15264110161051832胜物理学院193554.28%71546.66%283873.68%7172411201786873胜化学学院214052.50%21118.18%233369.69%1023336121593714胜资源学院223956.41%1147.14%293778.37%621278211082765胜计算机学院163348.48%142653.84%142166.66%425291015187288总计5胜10418855.31%299131.86%11015371.89%421121544584703714405对各项指标数据进行初始化后得到下表：场次胜负2分球3分球罚球篮板球助攻犯规失误抢断盖帽得分中次%中次%中次%进攻防守合计11111111111111111111210.730.850.861.40.62.331.751.581.110.470.650.591.11.251.71.661.05310.810.980.830.40.440.911.441.371.050.670.880.80.60.751.51.830.86410.850.950.890.20.560.361.811.541.180.40.810.660.81.3111.620.92510.620.80.762.81.042.690.880.8810.270.960.7110.941.81.421.06得到矩阵A如下：111111111111111111110.730.850.861.40.62.331.751.581.110.470.650.591.11.251.71.661.0510.810.980.830.40.440.911.441.371.050.670.880.80.60.751.51.830.8610.850.950.890.20.560.361.811.541.180.40.810.660.81.3111.620.9210.620.80.762.81.042.690.880.8810.270.960.7110.941.81.421.06用Matlab编程实现上述算法，这里我们取经验值，程序xiangguandu.m另附，见附录2。算出结果如下：学院胜负2分球3分球罚球篮板球助攻犯规失误抢断盖帽得分中次%中次%中次%进攻防守合计数学学院5胜0.430.3645.89%0.3690.39336.14%0.410.4331.05%0.470.350.470.30.430.370.470.330.41i (n=52.956)0.00 -0.65 -0.29 -0.44 2.40 0.04 1.41 -0.19 -0.29 0.07 -1.53 0.08 -0.51 -0.30 -0.06 0.90 0.80 -2.00 -0.01 采用相同的方法，就可以算出十二个学院代表队的各项技术统计与其比赛成绩的相关度，结果见下表：第一组学院胜负2分球3分球罚球篮板球助攻犯规失误抢断盖帽得分中 次%中 次%中 次%进攻防守合计数学学院5胜0.44 0.36 0.46 0.37 0.40 0.36 0.41 0.44 0.31 0.47 0.35 0.47 0.30 0.44 0.37 0.47 0.34 0.41 i (n=52.956)-0.00 -0.65 -0.29 -0.44 2.40 0.04 1.41 -0.19 -0.29 0.07 -1.53 0.08 -0.51 -0.30 0.06 0.90 0.80 -2.00 -0.01 化学学院3胜2负0.39 0.49 0.45 0.47 0.48 0.40 0.61 0.53 0.52 0.42 0.77 0.55 0.54 0.50 0.57 0.46 0.49 0.36 i (n=53.05)1.00 0.70 -0.05 0.88 -0.13 -1.06 0.59 0.25 0.11 0.01 -1.57 1.18 0.38 3.50 -0.85 -0.69 0.56 12.00 0.37 物理学院3胜2负0.40 0.34 0.35 0.41 0.39 0.45 0.42 0.42 0.35 0.42 0.38 0.38 0.44 0.31 0.30 0.39 0.33 0.33 i (n=52.99)-1.00 0.45 0.59 -0.08 -0.25 0.12 -0.35 -0.53 -0.40 0.20 0.25 0.00 0.04 0.30 -0.64 -0.71 0.80 -0.50 0.07 生物学院2胜3负0.44 0.47 0.34 0.45 0.44 0.43 0.34 0.42 0.47 0.40 0.41 0.41 0.44 0.40 0.45 0.41 0.40 0.41 i (n=52.72)1.00 -0.17 -0.22 0.14 -3.00 -1.09 2.25 1.00 0.45 0.60 -1.00 0.00 -0.26 0.00 -0.76 -0.47 0.25 4.00 0.01 计算机学院1胜4负0.72 0.58 0.71 0.59 0.61 0.68 0.50 0.65 0.69 0.52 0.79 0.77 0.51 0.60 0.57 0.57 0.78 0.66 i (n=53.27)0.00 1.43 0.44 0.87 0.44 0.17 0.29 0.71 0.42 0.48 1.57 -0.75 -0.33 -0.47 0.14 -0.64 7.50 -0.50 0.90 资源学院1胜4负0.49 0.51 0.49 0.51 0.51 0.50 0.46 0.44 0.51 0.42 0.52 0.51 0.41 0.50 0.44 0.47 0.26 0.51 i (n=53.03)-1.00 -0.33 0.47 -0.80 -0.10 0.79 -0.66 -1.79 -1.78 0.19 1.60 -0.10 0.47 1.62 0.05 -0.38 2.67 6.00 -0.51 第二组学院胜负2分球3分球罚球篮板球助攻犯规失误抢断盖帽得分中 次%中 次%中 次%进攻防守合计信电学院5胜0.28 0.33 0.43 0.46 0.46 0.45 0.49 0.48 0.39 0.51 0.38 0.49 0.45 0.45 0.39 0.38 0.33 0.51 i(n=53.33)0.00 0.50 0.70 0.93 0.83 0.65 0.21 -1.22 -1.48 0.63 -0.94 -0.66 -0.77 -0.58 -0.95 -0.75 -0.40 -1.00 0.51 测绘学院3胜2负0.62 0.50 0.72 0.62 0.51 0.34 0.58 0.52 0.34 0.46 0.46 0.47 0.83 0.55 0.48 0.72 0.40 0.31 i(n=52.80)-1.00 0.92 0.68 -0.21 -1.42 0.38 -2.12 -0.43 -0.47 0.03 1.36 -0.68 0.07 -0.57 -0.50 -1.88 -0.64 0.00 -0.79 管理学院3胜2负0.45 0.33 0.53 0.26 0.56 0.51 0.43 0.47 0.41 0.70 0.62 0.44 0.66 0.59 0.53 0.48 0.54 0.41 i(n=53.25)1.00 0.57 0.08 0.46 1.33 -1.50 7.52 0.39 -0.17 0.60 -0.76 0.95 0.02 0.64 -0.50 -0.77 -0.33 3.33 0.62 机电学院3胜2负0.32 0.33 0.34 0.46 0.37 0.44 0.31 0.36 0.39 0.37 0.39 0.43 0.31 0.32 0.37 0.37 0.36 0.32 i(n=53.04)1.00 -0.13 0.05 -0.17 2.25 0.64 1.30 0.00 -0.44 0.63 1.44 0.91 1.06 -0.11 0.27 0.00 -1.44 3.00 0.28 能源学院1胜4负0.74 0.63 0.68 0.65 0.62 0.63 0.75 0.63 0.80 0.67 0.78 0.78 0.56 0.68 0.56 0.63 0.42 0.73 i(n=53.59)-1.00 1.00 0.53 0.37 4.00 2.77 0.51 -0.36 -0.19 -0.26 2.80 -0.50 0.16 9.00 -0.31 -0.80 -0.75 -4.00 1.13 地质学院5负0.87 0.87 0.76 0.73 0.83 0.76 0.75 0.74 0.93 0.62 0.83 0.77 0.64 0.76 0.90 0.86 0.67 0.87 i(n=52.72)-0.00 0.64 -0.18 0.77 -1.40 -0.48 -1.17 1.00 1.17 -0.12 -1.50 -1.06 -1.14 -0.75 -1.16 0.55 0.20 1.33 -0.59 4.4小组赛技术指标排序模型的建立与求解（解决第二问）：在4.3节探讨完各项技术指标与各队比赛成绩的关联关系后，我们来进一步研究一下小组赛中各项技术指标对比赛成绩的贡献大小，并依据贡献程度给出各项技术指标的排序。这里我们认为各项指标对成绩的贡献是对小组赛整体成绩的贡献，而不是对每个队成绩的贡献，但“对整体成绩的贡献”又是由“对各个代表队成绩的贡献”组成的一个有机的整体。因此，我们认为在采用灰色关联模型描述了各项技术指标与各队比赛成绩的关联关系后，还可以用这个模型来描述各项技术指标对比赛成绩的贡献大小。这里我们采用国际上公认的篮球积分规则，给出各支球队在小组赛中的得分，并且统计处各支球队在小组赛中各项技术指标的总体情况，得到下面的表格：学院积分2分球3分球罚球篮板球助攻犯规失误抢断盖帽得分中 次%中 次%中 次%进攻防守合计信电学院109015458.445812944.9610415168.875412017465127803817468数学学院1010418855.32299131.8711015371.9421121544584703714405管理学院813424953.82218923.68713564.448012520575112775222418测绘学院89119247.43410133.6611015570.97441061504811560424410机电学院810820353.23485407110666.894712317055124733913389化学学院89017750.855013038.46415969.453511715262116724313371物理学院813022358.33010229.41649468.09499914874119713810414生物学院77619339.37269327.967310470.1950116166379489155303能源学院69719350.264310939.45508161.733912716647106681611383资源学院69317852.254210639.62659568.424110114249123712611377计算机学院68817350.875315534.19649666.67491151645512470357399地质学院56216936.695114934.23447856.41388111943122613314321经过分析，我们认为通过求各项技术指标与积分情况的相关度，即可表示出各项技术指标对比赛成绩的贡献大小。但是，在计算中我们发现，仅仅采用4.3节中的算法简单的将各项技术指标与积分的相关度求出是远远不够的，首先在数据初始化的问题上就存在很大的漏洞。因为数据初始化的实质是统一每个因素在每个时刻的量纲，在这个模型中我们的“时刻”是各支球队，时刻是绝对相同的，而各个球队却存在着一定得差异性，这种差异性的存在将直接导致不同的相关度结果。其次，对于成绩不同的球队，其对“小组赛整体”的代表性是不同的，一般认为成绩越好的球队，其代表性应该越强。因此，就需要对前面的算法进行改进。为了解决这些问题，我们将权变理论引入到灰色相关模型中，具体的思想是：Step1：不考虑各个球队间的差异，分别以每支球队为标准，进行数据的初始化，然后按照4.3节算法进行求解，这样得到12组相关度数据；Step2：以球队的积分与满分10相比，商作为以这个球队为标准进行初始化时得到的相关度数据的权值。Step3：考虑正负相关问题，对加权后的数据进行符号处理，正相关为正号，负相关为负号；Step4：然后对这12组数据取平均值，所得到的结果即为各项技术指标与球队积分的相关度；Step5：我们用求得的相关度作为各项技术指标对球队成绩贡献大小的标准，对得到结果进行排序，这样就得到了各项技术指标的贡献度排序。按照上面的步骤，我们首先以不同的标准进行数据的初始化，得到12组数据，同时给各组数据加入权值，以数学学院为例如下，其余见附录3：初始化标准技术指标积分2分球3分球罚球篮板助攻犯规失误抢断盖帽得分次%次%次%合计数学学院相关度NaN0.50 0.41 0.40 0.46 0.24 0.46 0.47 0.47 0.53 0.44 0.41 0.35 0.47 i-5.90 -0.78 -2.67 5.23 -0.02 -6.33 -1.35 -2.90 -4.23 1.49 1.17 -6.24 -5.89 -2.85 n647.91 权值1sign(i/n)-+-+-然后考虑正负相关问题，将12组数据整合成下表：初始化标准权值2分球3分球罚球篮板助攻犯规失误抢断盖帽得分次%次%次%合计信电学院1.0000 0.5080 0.5760 -0.3081 0.4641 0.2495 0.4799 0.4302 0.4373 -0.4053 -0.4099 0.4077 0.3457 0.3983 数学学院1.0000 0.4980 0.4089 -0.3992 0.4587 0.2440 0.4645 0.4697 0.4698 -0.5250 -0.4431 0.4087 0.3473 0.4690 管理学院0.8000 0.2796 0.4579 -0.3370 0.4780 0.3000 0.4397 0.3458 0.3168 -0.3409 -0.4290 0.4133 0.4407 0.3984 测绘学院0.8000 0.3832 0.4029 -0.3074 0.4502 0.3885 0.4145 0.4141 0.4381 -0.3179 -0.4212 0.3687 0.4242 0.4044 机电学院0.8000 0.3351 0.4482 -0.3494 0.4205 0.3806 0.4231 0.4271 0.4211 -0.3257 -0.4087 0.3863 0.3480 0.4143 化学学院0.8000 0.4702 0.4313 -0.4336 0.4296 0.4904 0.4188 0.4237 0.3303 -0.3144 -0.3997 0.3692 0.3480 0.4014 物理学院0.8000 0.2706 0.4161 -0.3059 0.4480 0.4232 0.4232 0.4137 0.3087 -0.3148 -0.4001 0.3989 0.3520 0.3969 生物学院0.7000 0.2761 0.3964 -0.3261 0.4452 0.2664 0.3746 0.3374 0.4506 -0.3746 -0.3766 0.4680 0.4042 0.4396 能源学院0.6000 0.2957 0.3992 -0.4269 0.3894 0.3691 0.3679 0.3696 0.3248 -0.3537 -0.3595 0.4511 0.3613 0.3676 资源学院0.6000 0.2688 0.4117 -0.4239 0.3897 0.2523 0.3728 0.3386 0.3153 -0.3613 -0.3473 0.4400 0.3613 0.3711 计算机学院0.6000 0.2667 0.3995 -0.4559 0.4092 0.2592 0.3638 0.3634 0.3073 -0.3629 -0.3477 0.3907 0.3625 0.3887 地质学院0.5000 0.3275 0.4158 -0.4713 0.4036 0.2472 0.3669 0.3375 0.3109 -0.4165 -0.3568 0.4212 0.4453 0.3692 最后进行加权平均并进行排序：初始化标准权值2分球3分球罚球篮板助攻犯规失误抢断盖帽得分次%次%次%合计信电学院1.0000 0.5080 0.5760 -0.3081 0.4641 0.2495 0.4799 0.4302 0.4373 -0.4053 -0.4099 0.4077 0.3457 0.3983 数学学院1.0000 0.4980 0.4089 -0.3992 0.4587 0.2440 0.4645 0.4697 0.4698 -0.5250 -0.4431 0.4087 0.3473 0.4690 管理学院0.8000 0.2237 0.3663 -0.2696 0.3824 0.2400 0.3517 0.2767 0.2534 -0.2727 -0.3432 0.3307 0.3526 0.3187 测绘学院0.8000 0.3065 0.3223 -0.2459 0.3601 0.3108 0.3316 0.3312 0.3505 -0.2543 -0.3369 0.2949 0.3394 0.3236 机电学院0.8000 0.2680 0.3586 -0.2795 0.3364 0.3045 0.3385 0.3417 0.3369 -0.2606 -0.3270 0.3091 0.2784 0.3314 化学学院0.8000 0.3762 0.3451 -0.3469 0.3437 0.3923 0.3350 0.3390 0.2642 -0.2515 -0.3198 0.2953 0.2784 0.3211 物理学院0.8000 0.2165 0.3329 -0.2447 0.3584 0.3385 0.3385 0.3309 0.2470 -0.2518 -0.3201 0.3191 0.2816 0.3175 生物学院0.7000 0.1933 0.2775 -0.2283 0.3117 0.1865 0.2622 0.2362 0.3154 -0.2622 -0.2636 0.3276 0.2829 0.3077 能源学院0.6000 0.1774 0.2395 -0.2561 0.2337 0.2214 0.2207 0.2217 0.1949 -0.2122 -0.2157 0.2707 0.2168 0.2206 资源学院0.6000 0.1613 0.2470 -0.2543 0.2338 0.1514 0.2237 0.2032 0.1892 -0.2168 -0.2084 0.2640 0.2168 0.2226 计算机学院0.6000 0.1600 0.2397