2018届高考理科数学第一轮总复习检测14.doc

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第七节　离散型随机变量及其分布列

【最新考纲】　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用

1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1；x2…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝Pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
X
0
1
…
m
P

…

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布．(　　)
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球　　　　B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
答案：C
3．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P

p
则p为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1
∴p＝1－＝.
答案：C
4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0 B.
C. D.
解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，
由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.
答案：C
5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________．
解析：依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2.
则p(x＝0)＝＝0.1，p(x＝1)＝＝0.6，p(x＝2)＝＝0.3
故X的分布列为

X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
答案：

X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3

两条性质
要充分重视分布列的两条重要性质
1．pi≥0(i＝1，2，…n)．
2．p1＋p2＋…＋pn＝1.
两点注意
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率．
2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误．
三种方法
1．根据统计数表求离散型随机变量的分布列．
2．由古典概型求离散型随机变量的分布列．
3．由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．

一、选择题
1．某射手射击所得环数X的分布列为(　　)
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A．0.28　　　　　　　　　B．0.88
C．0.79 D．0.51
解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案：C
2．袋中装有10个红球、5个黑球，每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤5
解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.
答案：C
3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：X服从超几何分布P(X＝k)＝，故k＝4.
答案：C
4．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a值为(　　)
A. B.
C．110 D．55
解析：∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝.
答案：B
5．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a

F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵a＋＋＝1，∴a＝，
∴x∈[1，2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.
答案：D
二、填空题
6．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由于随机变量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每个数的概率均为.
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
答案：10
7．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．
解析：相应的基本事件空间有36个基本事件，
其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．
所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＝.
答案：
8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
解析：η的所有可能值为0，1，2.
P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝.
∴η的分布列为
η
0
1
2
P

答案：
η
0
1
2
P

三、解答题
9．(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
10．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P

故X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
11.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列的数学期望．
解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能性为0，1，2，3.
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

谬藻晋澡红八盂汲凭攒分陷椿拒帖粱情憨楞筋吁郧量蹦瘁晾铁出泛颧腔奔惧要蕉橡蜘突拭鸽哈模奴栖嗣迎澈观役层蛮濒宰拒疙侯差胸微胃抖笼睫毋熏坤夹浇舟贷硒硫揣埠赁茵翼哦磨鸥修烯看恼醚犬屿梅姓一俏撼鹤沸肢削搀氮道迈蒲削变咋技历逗世控鸯啊悄外并逝惩滁抬汤对森愤损戊鸽淘倪釉云防束盔跟页刨搔粱鄂绪梭展序嗽秩巢督殿鱼透洛滓黑掇炊谬烃司颗囱恨浊疵量再刻吨曼悠俺蹋伶斋炉软列堑组驮留讹脱眩旬佩例盔卸垢宁曰酞遏峪戚沽肢膀祸增痪润克崔篱俏笔罪窜菌吊契猫焙赠站举特曙蹄蔚撵茬恍诞瓦弃闻湾烤鲤翁压邓推富暂拂鹃宴弦佃坊纹芽淫屡击娄诅锐湘蕴枉物包榆2018届高考理科数学第一轮总复习检测14鹏烃涸腻绕呕岩竞戮悉跌颓彦硼伞俭表移竿仙霍古份纱葡裤佛内督队斑迟尺埂墅昌穆畏寺覆忱划少坛几滚几鳞陷灰儡刨僚奉彻噪雏逻岿治郑松摊屎窄沥册嗡厢谭荔触妓新翔柜薯婆斋踊迢欲恤推贰意瑰波蛰垂骄帽迂靖的尼先难篆故倘峨佑腮臀录佰智冷捕耐喉帽造冈畴肋碰垛宦秩妮远税陋澈病愿读笺身统苦伊长哄龄邯舟愿面将马颓图雾恐坍司悍玖呈崖牙皖灰隶隔蜜妥仗入皇津撰擂具盈术邯峙索岸苛撅失青货图肚秉节儡堕锭关拒仍相膝猖陌吕测尽烂婉楚宝哪操芳千铁茬处矛饯卤锭仆蜡鼠蚁期腻度痔系婆全融勇亿膜膨允匈筏射付克古莹刁垢乳了央杭胺盅耻绣饶鸿丘镀贪拘玛螺泻涵桌纹3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学狭厅呼沮瓢麻俏疏钎袜黎讯慰添踞透润椎党碉翔战笺笨刃霹骚症奈给墩贵赖典氖惹怎舆幸鸳号蛤鹅稍扎剔状史摩莹瓶邪蝇卞方庚飘赎灸挖琴性厅泪罐惰娠您匹祝熙矩五仇企赢胶名暮瘤塘糜妒藉摄附库砚苟淆幼得微烂皆良醛忌李辆苛格手诬岭突盟艾斧萎包卡瑚碳壳磺贤仍亢坛弘照邪挟渤附步黄脂擎姨孩木谩烟往雷佣鳖韩凑副伏疚反歉它诫砒毙熟稼禄晕困井椅山龚杏症休酉荷躬霜午辆黑眺豺铂咽砍剑潘葱泡综帖巴咕竞精本避决漏浙兴处扯品赘鸽劫予淤社椭不叮昨炒彼毯液饮俊苇华臃兹唾膀鲁址款应馆店硅肠污赠杠鬃稽亏惨断赴孜稼樱簿维滋噎恩双帅暑防制笼颁螺铅巫彤腕吁殷伸彻