高中数列经典习题(含答案).pdf

1、在等差数列an中,a1=250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an的和,(1)70n200;(2)n 能被 7 整除.2、设等差数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12,S120,S130.()求公差 d 的取值范围；()指出 S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由.3、数列是首项为 23，公差为整数的等差数列，且前 6 项为正，从第 7 项开始变为负na的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为,求的最大值;(3)当nSnS是正数时,求 n 的最大值.nS4、设数列的前 n 项和.已知首项 a1=3,且+=2,试求此数列的通项公式nanS1nSnS1na及前 n 项和.nanS5、已知数列的前 n 项和n(n1)(n2),试求数列的前 n 项和.na31nSna16、已知数列是等差数列,其中每一项及公差 d 均不为零,设na=0(i=1,2,3,)是关于 x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;2122iiiaxaxa(2)设这些方程的另一个根为,求证,也成等差数列.im111m112m113m11nm7、如果数列中,相邻两项和是二次方程=0(n=1,2,3)的两个根,nana1nannncnxx32当 a1=2 时,试求 c100的值.8、有两个无穷的等比数列和,它们的公比的绝对值都小于 1,它们的各项和分别是nana1 和 2,并且对于一切自然数 n,都有,试求这两个数列的首项和公比.1na9、有两个各项都是正数的数列,.如果 a1=1,b1=2,a2=3.且,成等差数列,nanbnanb1na,成等比数列,试求这两个数列的通项公式.nb1na1nb10、若等差数列log2xn的第 m 项等于 n，第 n 项等于 m(其中 mn)，求数列xn的前mn 项的和。11、设an为等差数列,bn为等比数列,且 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出an及bn的前 10 项的和 S10及 T1012、已知等差数列an的前项和为 Sn，且 S13S6S14,a2=24(1)求公差 d 的取值范围；（2）问数列Sn是否成存在最大项，若存在求,出最大时的 n，若不存在,请说明理由13、设首项为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2n 项的为 6560，且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列的首项和公比14、设正项数列an的前 n 项和为 Sn，且存在正数 t，使得对所有正整数 n，t 与 an的等差中项和 t 与 Sn的等比中项相等，求证数列为等差数列，并求an通项公式及前 n 项nS和15、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列，且 na nbaq.17,5,1321bbb求的值；q求数列前项和.nbn16、若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值 答案：1、解：a1=250,d=2,an=250+2(n1)=2n252同时满足 70n200,n 能被 7 整除的 an构成一个新的等差数列bn.b1=a70=112,b2=a77=98,bn=a196=140其公差 d=98(112)=14.由 140=112+(n1)14,解得 n=19bn的前 19 项之和.2661421819)112(19S2、解：()依题意,有 02)112(1212112daS，即02)113(1313113daS)2(06)1(011211dada由 a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，.030724dd3724d()由 d0 可知 a1a2a3a12a13.因此,若在 1n12 中存在自然数 n,使得 an0,an+10,则 Sn就是 S1,S2,S12中的最大值.由于 S12=6(a6+a7)0,S13=13a70，即 a6+a70,a70.由此得 a6a70.因为 a60,a70,故在 S1,S2,S12中 S6的值最大.3、(1)由 a6=235d0 和 a7=236d0,得公差 d=4.(2)由 a60,a70,S6最大,S6=8.(3)由 a1=23,d=4,则=n(504n),设0，得 n12.5,整数 n 的最大值为 12.nS21nS4、a1=3,S1=a1=3.在 Sn+1Sn=2an+1中,设 n=1,有 S2S1=2a2.而 S2=a1a2.即a1a2a1=2a2.a2=6.由 Sn+1Sn=2an+1,(1)Sn+2Sn+1=2an+2,(2)(2)(1),得 Sn+2Sn+1=2an+22an+1，an+1an+2=2an+22an+1即 an+2=3an+1此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an的通项公式 an=.2,32,1,31时当时当nnn此数列的前 n 项和为 Sn=32323223n 1=3=3n.13)13(321n5、=n(n1)(n2)(n1)n(n1)=n(n1).当 n=1 时，nanS1nS3131a1=2,S1=1(11)(21)=2,a1=S1.则n(n1)是此数列的通项公式。31na)111()3121()211()1(143132121111121nnnnaaan1.11n1nn6、(1)设公共根为 p,则则-,02212iiiapapa023221iiiapapa得 dp2+2dp+d=0,d0 为公差,(p1)2=0.p=1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为1).(2)另一个根为,则(1)=.+1=即imimiiiadaa2221imiad2,易于证明是以为公差的等差数列.damii21111im217、解由根与系数关系,=3n,则()()=3,即na1na1na2nana1na=3.a1,a3,a5和 a2,a4,a6都是公差为3 的等差数列,由2nanaa1=2,a1+a2=3,a2=5.则=3k2,a100=152,=3k5,a101=148,c100=ka212 kaa100 a101=224968、设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r.则有.依据题设条件,有=1,=2,1,1rqqa1rb1,由上面的,可得(1q)2=2(1r).令 n=1,有(1q)121nnbraq22 nq1nr2=2(1r),设 n=2.则有(1q)2q2=2(1r)r,由和,可得 q2=r,代入 得(1q)2=2(1q2).由于 q1,有 q=,r=.因此可得 a=1q=,b=2(1r)=.319134916和经检验,满足的要求.3134qa91916rbnnba 29、依据题设条件,有由此可得=111)(21nnnnnnbbaaab)(2111nnnnnbbbbb.0,则 2。是等差数列.=)(2111nnnbbbnb11nnnbbbnbnb.2)1(2n又 =,=2212nbbannn2)1(2n22)1(nnna)1(21nn10、2m+n-111、解：设an的公差为 d，bn的公比为 q，则：解得：4221)21(2qdqd22,83qd32)22(3111,855451010110110qqbTdaS12、解：(1)由题意：0)(40711101487614101387613aaaaaSSaaaaSS)1748,3(01720822ddada （2）由（1）知，a100,a10+a110,a100a11，又公差小于零，数列an递减，所以an的前 10 项为正，从第 11 项起为负，加完正项达最大值。n=10 时，Sn最大。13、解：设该等比数列为an，且公比为 q若 q=1，则 Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故 q1。两式相除，得 1+qn=82，qn=81，65601180112121qqaSqqaSnnnn111qaq=a1+11，数列an为递增数列，前 n 项中最大的项为 an=a1qn-1=54811qa解得：a1=2,q=314、证明：由题意：即nntSat2nnattS2 当 n=1 时，tStSStattS121111,0)(,2当 n2 时，0)()(22121nnnnnnStSSStattS。0)(11tSStSSnnnn因为an为正项数列，故 Sn递增，不能对正整数 n 恒成立，0)(1tSSnn即数列为等差数列。公差为tSSnn1nSt，21,)1(tnStntnSSnntnanttStannn)12(,22所以数列为等差数列，an通项公式为 an=(2n-1)t 及前 n 项和 Sn=tn2。nS15、313 nn16、设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与bd、b、bd2 都成等比数列，有b=(bd1)(bd)b=(bd)(bd2)22 整理，得b=bdbdb=bd2b2d222222 bd=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得 d=4 或 d=0(舍)b=12