贝塞尔曲线和B样条曲线.doc

§4.3 贝塞尔曲线和B样条曲线
在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。后来又经Gorgon, Riesenfeld和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。
一、 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。

1.数学表达式
n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线，其表达式为：

为各顶点的位置向量，为伯恩斯坦基函数

2.二次贝塞尔曲线
需要3个顶点，即，将其代入曲线表达式：

当时：

3.三次贝塞尔曲线
三次贝塞尔曲线需要4个点，即、、、。

其中：

贝塞尔曲线特点：
1.n个顶点定义n-1次曲线，当顶点数较大时，拟合的曲线阶次太高。
2.任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。

二、B样条曲线
用B样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。
1.数学表达式
通常，给定m+n+1个顶点可以定义m+1段n次参数函数为：
（），
其中为B样条分段混合函数，形式为：

• 段数、次数 段数=节点数-次数，每段曲线与n+1个点有关；
•
2.二次B样条曲线
n=2,k=0,1,2

3.三次B样条曲线
n=3, k=0, 1, 2, 3

其中， 称为特征多边形。

例: 设，，，，用以上四个点构造2次B样条曲线。
由B样条的定义可知，4个点可定义2次B样条曲线2段：
m+n+1=4 n=2 m+1=2

t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A
0.5
0.32
0.18
0.08
0.02
0
B
0.5
0.66
0.74
0.74
0.66
0.5
C
0
0.02
0.08
0.18
0.32
0.5

0.5p0+0.5p1
0.32 p0
+0.66 p1
+0.02 p2