单因素方差分析的计算步骤.doc

一、 单因素方差分析的计算步骤
假定实验或观察中只有一个因素（因子）,且有个水平，分别记为在每一种水平下，做次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做表示在第j个水平下的第i个试验值。结果如下表3.1：
表3.1 单因素方差分析数据结构表
观测值
水平

1

2

为了考察因素对实验结果是否有显著性影响，我们把因素的个水平看成是个正态总体，而看成是取自第总体的第个样品，因此，可设。
可以认为是因素的第个水平所引起的差异。因此检验因素的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：
或者

具体的分析检验步骤是：
（一） 计算水平均值
令表示第种水平的样本均值，

式中，是第种水平下的第个观察值，表示第种水平的观察值次数
（二）计算离差平方和
在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用代表，则，

其中它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用表示，其计算公式为：

其中反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用表示，的计算公式为：

用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，之间存在着一定的联系，这种联系表现在：

因为：

在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，

即

（三）计算平均平方
用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对来说，其自由度为，因为它只有一个约束条件，即。对来说，其自由度是，这里表示水平的个数，反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：

对来说，其自由度为，因为对每一种水平而言，其观察值个数为，该水平下的自由度为，总共有个水平，因此拥有自由度的个数为。
与离差平方和一样，之间的自由度也存在着关系，即

这样对，其平均平方为：

对于，平均平方为：

（四）方差分析表
由F分布知，F值的计算公式为：

为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表3.2：
表3.2 方差分析表
方差来源
离差平方和（）
自由度（）
平均平方（）
值
组间
组内
总差异

（五）作出统计判断
对于给定的显著性水平，由分布表查出自由度为的临界值，如果，则拒绝原假设，说明因素对指标起显著影响；如果，则接受原假设，说明因素的不同水平对试验结果影响不显著。