单因素方差分析的计算步骤.doc

一、 单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）,且有个水平，分别记为在每一种水平下，做次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做表示在第j个水平下的第i个试验值。结果如下表3.1：表3.1 单因素方差分析数据结构表观测值水平12为了考察因素对实验结果是否有显著性影响，我们把因素的个水平看成是个正态总体，而看成是取自第总体的第个样品，因此，可设。可以认为是因素的第个水平所引起的差异。因此检验因素的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：或者具体的分析检验步骤是：（一） 计算水平均值 令表示第种水平的样本均值， 式中，是第种水平下的第个观察值，表示第种水平的观察值次数（二）计算离差平方和 在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。 首先，总离差平方和，用代表，则，其中它反映了离差平方和的总体情况。其次，组内离差平方和，用表示，其计算公式为：其中反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。最后，组间平方和，用表示，的计算公式为：用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。 根据证明，之间存在着一定的联系，这种联系表现在：因为：在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，即 （三）计算平均平方 用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对来说，其自由度为，因为它只有一个约束条件，即。对来说，其自由度是，这里表示水平的个数，反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：对来说，其自由度为，因为对每一种水平而言，其观察值个数为，该水平下的自由度为，总共有个水平，因此拥有自由度的个数为。 与离差平方和一样，之间的自由度也存在着关系，即 这样对，其平均平方为： 对于，平均平方为： （四）方差分析表 由F分布知，F值的计算公式为： 为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表3.2：表3.2 方差分析表方差来源离差平方和（）自由度（）平均平方（）值组间组内总差异（五）作出统计判断对于给定的显著性水平，由分布表查出自由度为的临界值，如果，则拒绝原假设，说明因素对指标起显著影响；如果，则接受原假设，说明因素的不同水平对试验结果影响不显著。