学位论文-—moorepenrose逆及其应用数学.doc

本科毕业论文（设计）题 目 Moore-Penrose逆及其应用 院（系） 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 XXXX 学 号 090020135 指导教师 XXXX职称 XXXXX 论文字数 7300 完成日期: 年 月 日 巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名： 日期： 年 月 日巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）Moore-Penrose逆及其应用 摘 要 Moore-Penrose广义逆矩阵，顾名思义，它是由Moore和Penrose发现并完善的，它有许多不同的定义形式，例如Moore定义、Penrose定义等等。本文在第一章中介绍了一种简单的M-P逆的定义以及延伸的M-P广义逆矩阵逆的定义，同时我们还介绍了当矩阵满足M-P方程的不同条件时所得到的不同矩阵，如减号逆等。我们在第二节中介绍了M-P逆的部分性质，例如，唯一性和存在性等。此外在第三节中我们给出了M-P逆的具体求法，例如满秩分解法、奇异值分解法等。最后还介绍了M-P逆在其它领域中的应用，例如，在经济学、控制论、概率论和网络理论等领域有着深刻的应用。 关键词：Moore-Penrose广义逆；矩阵；应用I巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）Moore-Penrose inverse and its applicationAbstract As the name implies，Moore-Penrose generalized inverse matrix is discovered and promoted by Moore and Penrose, and it has many different forms, such as Moore definition, or Penrose definition, etc. This article in the first chapter introduces a simple definition of M-P inverse and extend the definition of inverse M-P，at the same time, we also introduced matrix M-P equation of different conditions of different matrix, such as inverse minus sign. We are in the second section introduces the properties of inverse M-P, for example, the uniqueness and existence. In addition we are given in section 3 M-P inverse specific calculation methods, such as full rank decomposition method, singular value decomposition method, etc. Finally, it also introduced the M-P inverse application in other areas, for example, in areas such as economics, cybernetics, theory of probability, and network theory has a profound application. Key words: Moore-Penrose generalized inverse matrix, Matrix, applicationI 目 录中文摘要英文摘要引言11. Moore-Penrose广义逆21.1 MoorePenrose广义逆的定义21.2 Moore-Penrose广义逆的性质41.3 Moore-Penrose广义逆的计算方法61.3.1 奇异值分解法61.3.2 满秩分解法81.3.3 其它分解法112. Moore-Penrose广义逆的应用142.1 Moore-Penrose逆在求解线性方程组中的应用142.2 Moore-Penrose逆在矩阵论中的应用17结束语20参考文献21巢湖学院2013届本科毕业论文（设计） 引 言每当我们遇到一个新的概念时，我们首先应该谈到它的历史，主要是这个概念由谁提出、什么时候提出的以及之后的应用都是我们应该了解的方面。就如本文的重点Moore-Penrose广义逆这个概念而言，我们可以从很多的文献资料查出它的历史：在1920年左右数学家Moore提出了一个新的概念，它就是“广义逆”。但是由于当时的社会情况以及Moore本身在当时并不是很出名，所以这个发现就此沉默它并没有引起当时的科学界的重视，时间一直过了30多年到了20世纪中叶，当时的著名数学家Penrose又将这个概念重新提出，并且在数学界引起了广泛的关注。因为它能够解决当时许多领域的研究问题，例如它在代数课程的基本运用，并且在矩阵理论中也成为了一个研究热点。目前，它已经在许许多多的领域中有了巨大的进展，在一些数学领域如概率统计、数值分析、测量学等领域中有了很多内容，其它领域如经济学、社会学以及在现代领域起主导的网络理论等领域有了不同程度的应用。例如一些具体的如M-P逆在分块矩阵中的表达式的研究及其在控制论和系统安全中的应用；M-P逆在经济学中常常用来的一些计算的应用；分块矩阵在数值计算中的应用，尤其是应用到满秩分解法；关于M-P逆的上下界和最小二乘问题的计算在许多领域中都有着广泛的应用。在本文第一节中，我们分别介绍了M-P逆的关键性定义和M-P矩阵逆的定义问题，在第二节中本文举出了一些M-P逆的简单性质，例如它的存在性和唯一性等，在第三节中更介绍了几种常用的M-P逆的计算方法并且给出了一些例题加以验证，最后在本文第二章中我们还介绍了在解线性方程组中我们经常用M-P逆来进行计算并进行了一些解释与运用，最后我们介绍了它在分块矩阵中的应用，以及它的各种计算、性质等。通过这些计算、性质以及应用等内容，我们可以更好的学习M-P逆，并且在学习中掌握这些内容并加以运用的过程，从而更好的理解其它领域中M-P逆的内容，为我们更深入的学习提供一个良好的平台。1. Moore-Penrose广义逆在1920年左右数学家Moore提出了一个新的概念，它就是“广义逆”.但是由于当时的社会情况以及Moore本身在当时并不是很出名，所以这个发现就此沉默它并没有引起当时的科学界的重视，时间一直过了30多年到了20世纪中叶，当时的著名数学家Penrose又将这个概念重新提出，并且在数学界引起了广泛的关注。因为它能够解决当时许多领域的研究问题，M-P逆才成为了矩阵研究中的热点。1.1 Moore-Penrose广义逆的定义M-P逆是经过数十年的发展，分别由Moore和Penrose进行研究、整理而出的一个摡念，它有许多其它形式的定义，以下给出的是一个比较简单的定义。定义1.1.11对于任意给定的一个矩阵，如果存在某个矩阵，且，同时也满足以下四个条件 其中、为复共轭转置矩阵。那么我们就称矩阵为的一个M-P逆，记为，并且把上面所列的四个方程叫做矩阵的Moore-Penrose方程，或者也可以简称为M-P方程。出于研究的需要，我们对矩阵的M-P四个方程都作出了一定的解释，使得对M-P逆的运用产生了很大的方便，由于不同的应用，我们又常常将满足部分M-P方程的矩阵叫做弱逆。为了下文引用的便利，我们还给出了以下的关于M-P逆矩阵的定义，并且增加了一些其它的关于M-P逆矩阵的内容。定义1.1.22对于任意给定的一个矩阵，如果存在某个矩阵，使得,并且满足M-P方程中全部或其中一部分方程，那么我们就称矩阵为的广义逆矩阵。按照广义逆矩阵定义,我们将矩阵满足的M-P方程中的全部或其中一部分作一个归纳，并给出相应的定义，下面，我们给出了矩阵满足M-P各个方程中的记法。 如果广义逆矩阵只满足M-P方程中的一个方程，并将其记为第个方程，那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 如果广义逆矩阵只满足M-P方程中的两个方程，并将其记为第个方程，那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 如果广义逆矩阵只满足M-P方程中的三个方程，并将其记为第个方程，那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 如果广义逆矩阵全部满足M-P方程中的方程，那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 在上述的四种广义逆矩阵中，只有第四类广义逆矩阵具有唯一性，其余的三类广义逆矩阵都不具有唯一性，并且我们能够找出一些同一类型的其它矩阵。定义1.1.3 对于上述的满足M-P方程中矩阵中，我们可以通过计算得知这些广义逆矩阵一共有15种，即 ，在这些矩阵中我们在学习中经常应用的有5种，下文中重点介绍了这5种矩阵: ，其中的广义逆矩阵称为减号逆，或g逆，记为; ，其中的广义逆矩阵称作自反广义逆，记为; ，我们经常将这个广义逆矩阵称为最小范数广义逆，并且可以将它记为的形式; ，我们经常将这个广义逆矩阵称为最小二乘广义逆，并且可以将它记为的形式;，其中矩阵满足全部四个条件，其中,所以我们可以将它称作Moore-Penrose逆或者是加号逆，并且可以将它记为的形式。1.2 Moore-Penrose广义逆的性质性质1(唯一性) 对任意给定的一个矩阵，并且有，设矩阵、，其中和均满足M-P四个方程，则=。 证明 因此，唯一性得证，所以广义逆矩阵是唯一的。性质2(存在性)3 对任意给定的秩为的矩阵，即，那么如果它满足M-P四个方程，则它的M-P逆是存在的，即它具有存在性。证明 ：当时，矩阵为零矩阵，显然我们可以得到零矩阵满足定义1.1.1中的方程(1) (4)。当0时，我们对矩阵A作满秩分解，使得, 其中是秩为的矩阵，是秩为的矩阵，即,，通过计算可知与均是阶非奇异矩阵，并且与的M-P逆分别是 与，那么就有 = ，= 。令矩阵 = ，那么就可以得到 =。由此验证矩阵满足定义2.1.1中的方程(1) (4)，所以矩阵是的M-P逆。 综上所述，命题成立，存在性得证 。性质34 对任意给定的秩为的矩阵，使得，那么如果这个矩阵满足M-P四个方程，那么我们可以得到以下结论:(1)如果矩阵可逆，那么;(2);(3)=;(4);(5);(6);(7);(8)。性质4 对任意给定的矩阵，使得，如果这个矩阵满足M-P四个方程，那么我们可以得到以下结论：(1)=;(2);(3)(4)如果当矩阵是列满秩时，那么这个矩阵的M-P逆为 ； 如果当矩阵是列满秩时，那么这个矩阵的M-P逆为 ；(5)如果当矩阵有满秩解时：=BC，那么则有。性质5 对任意给定的矩阵，使得，如果这个矩阵是可逆矩阵，那么一定存在，并且有.证明 矩阵是可逆的 综合上述几个性质，我们可以得到以下的两个结论。对任意给定的矩阵和，并且使得， ， 如果有，那么在一般情况下这一等式是不成立的；但是当矩阵、是满秩分解的时候，我们通过一系列证明可以得到这个等式是成立的，即成立，这个结论我们可以在文献中找到我们就不详细介绍了。对于来说，我们常常有等式成立，但是如果将换成时，等式不成立，也就是等式是不成立，即，这个结论我们同样也可以在文献中找到。1.3 Moore-Penrose广义逆的计算在本节中我们将重点介绍一些M-P广义逆的计算方法，例如利用将矩阵进行奇异值分解来求M-P逆的方法、利用将矩阵进行满秩分解来求的方法以及其它的分解方法，从而能够用不同的方法解题。1.3.1 奇异值分解法 奇异值分解法是一种简单的解题方法，通过这个方法，我们可以快速的解决问题，以下是它的具体解题过程。 对任意给定的矩阵，并且，如果将矩阵作奇异值分解，那么 其中= 如果矩阵, 并且0是矩阵的奇异值，并且矩阵、是酉矩阵，于是令 = ,那么直接可知满足四个Moore-Penrose方程，即 =这样我们就可以得到它的M-P逆。例1. 已知= 求 解 ：先将矩阵作奇异值分解，那么就能够得到=. =所以可以求的的特征值为：=0或10，那么矩阵的奇异值就为。并且对应于特征值=0和=10的标准正交特征向量组为 , , 于是，令 = 因此，可得= =令 = ，那么 、 为标准正交组。再令 =那么，我们可以得到矩阵的奇异值分解为 求= =1.3.2 满秩分解法 满秩分解法也是一种比较简单的求解方法，同时也是应用最多的一种方法，下面我们给出了它的具体方法。定义1.3.15 对于任意给定的矩阵，它的秩为，即 ，如果存在矩阵以及 ,使得，那么就能称这两个矩阵为矩阵的一个满秩分解。注意：如果当矩阵为列满秩矩阵时，那么它的列数就等于秩；如果当矩阵为行满秩矩阵时，那么它的行数就等于秩。 如果当矩阵的满秩分解不唯一时。对任意给定的的矩阵 （r阶可逆方阵）则有 其中矩阵，。定理1 如果一个矩阵中的元素不全为0，那么我们可以将它进行满秩分解。证明：设对于任意给定的矩阵，它的秩为，即 ，那么就一定存在可逆矩阵，使得，那么就得到 = ，其中。将矩阵化成, 并且把矩阵分块成= 的形式，其中 ,那么我们就可以得到矩阵的M-P逆为= 是满秩分解的。例2. = ，求其满秩分解。解：对 作初等变换，化为最简式 则= 那么，可以得到 = ，= ，= ， 那么 定理2 设对于任意给定的秩为r的矩阵，即 ，如果有列满秩并且 行满秩，使得，它是的一个满秩分解，则矩阵的M-P逆为 证明：由性质1、性质2可知，秩为的矩阵，它的M-P广义逆矩阵存在且唯一。 当0时，我们对矩阵作满秩分解，使得，其中是秩为的矩阵，是秩为的矩阵，即，通过计算可知与均是阶非奇异矩阵，并且与的M-P逆分别是 与 ，那么我们有 = ，= ，又因为，所以 = ，所以可得 = 。 例1的第二种解法：已知= ，求解： = 所以得 =, =1,0，-1于是得 =1,0，-1 =2 ，=-1,2 =5 ，所以可得 = -1,2= 1.3.3 其它的解法方法1 对于任意给定的矩阵，当mn时，我们设矩阵，那么对矩阵进行合同变换，可以得到，设矩阵时，可以得到矩阵的满秩分解为，再求出，那么可得，从而得到;当nm时，同理我们也可以设令设矩阵，那么对矩阵B进行合同变换，使得，设矩阵时，可以得到矩阵的满秩分解为，再求出，那么可得，从而得到。综上所述，当mn时， ，当nm时， 。方法26 根据文献中结论:可得迭代方法定理3对于任意给定的矩阵使得 则有下面两个结论。 设矩阵，如果矩阵满足，那么矩阵的M-P逆为, （2）设矩阵，如果矩阵满足，那么矩阵的M-P逆为。证明 如果矩阵的M-P逆为，那么我们就可以得到, 所以有 ，当矩阵, 并且满足，命题成立。同理（2）成立。方法3 对于任意给定的矩阵，使得 当时，则可以得到矩阵的M-P逆为, 矩阵, 矩阵满足方程, 那么我们就可以用以下的方法求解矩阵方程的某一解。 设迭代格式，则它所产生的矩阵列为, 我们可以设矩阵为方程的解，由此我们可以得到矩阵的特征多项式为 , 那么我们便可以得到以下方程 并且使得方程, 所以 于是当方程时, 有 显然能够推得，其中矩阵的特征多项式为，并且由它的迭代格式容易得到, 则可以得到其中一个特征多项式, 设, 我们便可得, 并由此算得, 则 , 设 ,则 ；若时，同理可得，其中矩阵，并且矩阵满足方程：选取的迭代格式为，则它们所产生的矩阵列为，的特征多项式为, 显然能够推得格式中的特征多项式，易得, 则可以得到其中一个特征多项式，设，那么就可以得到, 并由此推得,那么就有 ，则它的M-P逆为 例3 =，求. 解 =2, +1=9， ， , 的特征多项式为2-+，取， 得 = 2. Moore-Penrose广义逆的应用2.1 Moore-Penrose逆在线性方程组中应用在前面的介绍中，我们知道对于任意一个矩阵，如果它有M-P逆，那么它必然满足M-P方程，因此，在求解线性方程组我们便常常用到M-P逆。1. 广义逆矩阵。定义2.1.17 对于任意给定的矩阵，使得，如果存在一个矩阵满足方程，那么我们就能够将这个矩阵称为的广义逆矩阵，记为。对于任意给定的矩阵，我们总是能够找到它的，并且能够找到不只一个。求这样的办法有好几种，讲矩阵进行初等变换然后再求解是常用的一种解题方法：设存在可逆矩阵、，使的成为矩阵的等价标准形式，其中，为矩阵的秩，r为阶单位矩阵，那么我们可以得到 = = = 所以我们能够得到为 = 2. 最小范数逆定义2.1.27 对于任意给定的矩阵使得，如果存在一个矩阵满足、 ，那么我们就能够将这个矩阵称为的最小范数逆，记为。显然，对于任意给定的矩阵，我们总是能够找到它的，并且能够找到不只一个。如果我们想要求，方法如下。当矩阵行满秩时，即，；当矩阵在一般情况下，。3. 最小二乘逆定义2.1.37 对于任意给定的矩阵，使得，如果存在一个矩阵满足、 ，那么我们就能够称这个矩阵为的最小二乘逆，记为，显然，对于任意给定的矩阵，我们总是能够找到它的，并且能够找到不只一个。如果我们想要求，方法如下： 当矩阵列满秩时，即，；当矩阵在一般情况下，。4. 加号逆. 根据前面所列举的定义，我们可以得到，它的解法如下: 方法1 按照前文所述的方法求出、，再作矩阵乘法时可以得到 = 方法2 满秩分解法：先对矩阵A作初等变换，求得可逆矩阵P、Q，使得 =解得 令 从而得矩阵的满秩分解式为 其中，矩阵是型列满秩矩阵，矩阵是型行满秩矩阵，矩阵的秩为，然后，通过计算我们可以的，那么矩阵的加号逆是 如果矩阵能够满秩分解的话，那么我们能够显然得到正好是，即 , 那么，由上面的结论我们能够验证定义2.1.1所说的内容，即矩阵的、以及，它们都是的一种。5. M-P逆与线性方程组。 在学习中，我们通常会遇到解方程组的问题，例如： 对于任意的矩阵，使得方程，则我们可以求得它的通解， 若时，则我们能够解出它的解， =+ 然后我们再设的解的最小范数为。 那么= 若，那么无解，在解它的过程中，我们常常用近似的方法求解。用这种方法求出的解我们常常称之为最小二乘解，则=+，或者可以变形为 =+ 综上所述，我们求的解，通常都是求它的最小二乘，并且可以求出有许多这样的解。所以如果我们要求的解的话，我们也可以求它的最佳逼近， =则 例 解下面的线性方程组解 设则它的一个广义逆矩阵为= 其中：是任意常数.2.2 Moore-Penrose逆在矩阵论中的应用性质18 对于任意给定的矩阵，使得，如果设这个矩阵存在M-P逆，并将其记为，那么无论矩阵作怎样的行与行、列与列对换，它在对换之后的矩阵的M-P逆就在的基础上，作相应的列与列、行与行对换，便可以得到变换之后的。性质28 对于任意给定的矩阵 , ，其中，则 证明 我们可以得到下面的过程 = = ，又因为 = = ，又因为 = = ，所以我们可以得到它的M-P逆 定义2.2.17 对于任意给定的矩阵，使得，则矩阵的M-P逆为，通常我们对矩阵的分块有如下两种形式：(1) 二分块，通常是按列或按行将矩阵分块成两个子矩阵，即=，或=。(2) 四分块, 通常是将矩阵分块成四个子矩阵，即 =，并且其中的及可以不必是方阵。定理19 对于任意给定的矩阵，设，当矩阵，矩阵，并且，那么我们有 (1)其中 (2)且（2）中的逆矩阵一定存在，并且可以得到 (3)那么最后得到 (4)根据定理我们得到了按列二分块矩阵的M-P逆的一个公式，即。推论110 对于定理1中的矩阵，当时，我们有 和 推论211 设 ，那么我们可以有 并且 结束语在本文中，我们比较详细的介绍了M-P逆的定义、性质以及它的计算问题，这些都是M-P逆的基础内容，通过查阅文献和资料，我们了解了M-P逆的历史，同时我们也知道了它的一系列应用。近年来，广义逆矩阵不仅仅在矩阵领域中的研究越来越深入，并且还在线性空间中的研究中起了一个非常重要的作用，更是在数值分析、数理统计、概率论和网络理论等领域有着广泛的应用。通过M-P逆的学习，我们可以将许多知识联系起来，从而能够更全面的了解M-P逆的内容，从而能让学习变得更加便捷。通过M-P逆的学习，我们也可以养成独立查阅文献的能力，独立研究论文的能力。通过本次论文的编写，我也学会了总结、整理资料的方法、步骤，更学会了怎样才能写出一篇好的论文。 参考文献1何旭初广义逆矩阵的基本理论和计算方法M上海科学技术出版社1984, 173-178.2高珍珍广义逆矩阵及其应用J伊犁师范学院学报2011,(2)：1-7.3单竞生浅论M-P广义逆矩阵J封大学学报1994,(2)：64-68.4付宏伟M-P广义逆的一些性质J孝感学院学报2010,7：11-13.5王玉文、李志伟Banach空间中Moore-Penrose广义逆与不适定边值之问题J系统科学与数学1995,15(2)：176-184.6张静、求矩阵的广义逆J内蒙古大学学报2005,36(4)：379-582.7傅鹂分块矩阵Mo6re-Penrose广义逆的一个表达式J重庆大学学报1994,17(3):86-91.8尹钊贾、肖晖Moore-Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解J中央财经大学数学实践与认知2009,39(9)：241-244.9王宏兴、刘晓冀整环上矩阵的一类加权Moore-Penrose逆J山东大学学报2010,45(10)：90-92.10郑克旺M-P广义逆矩阵若干等价性定义J河北轻化工学院学报1991，(3)：18-22.11李益永,杨庆之广义逆矩阵几种算法的复杂度比较J南开大学学报(自然科学版)2012,45(5)：7-10.21