2016届高考数学第二轮知识点强化练习题26.doc

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第一部分　一　7

一、选择题
1．(文)(2015·唐山市一模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由已知条件可得图形，如图所示，

设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.
[方法点拨]　解三角形的常见类型：
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解的讨论．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
(理)(2015·河南六市联考)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．2 D．2
[答案]　A
[解析]　由已知得：cosA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，∴bc＝3，
又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－2＝4，
∴b2＋c2＝6，∴b＋c＝2，解得b＝c＝，选A.
2．(2015·南昌市一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　因为cosA＝，所以sinA＝＝＝，
所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝.
由正弦定理＝，得b＝×sin45°＝.
3．(文)若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是(　　)
A．等腰三角形　 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
(理)(2015·合肥第一次质检)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为(　　)
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
[答案]　B
[解析]　依题意得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，2sinAcosB－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋＝，解得sin2A＝，因此sinA＝，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角形，故选B.
[易错分析]　本题易犯的主要错误是不能对所给恒等式进行有效化简、变形，由于公式应用错误或者化简过程的盲目性导致化简过程无效，这是很多考生在此类问题中常犯的错误．事实上，含有边和角的恒等式，一般方法是实施边和角的统一，如果边化角后无法运算，则可以尝试角化边．反之，如果角化边较繁，则可以尝试边化角，平时训练时就要注意归纳小结．
[方法点拨]　判断三角形形状时，一般先利用所给条件将条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形方面命题，故分析条件时，应着重从上述三角形满足的条件与已知条件的沟通上着手．
4．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
[答案]　D
[解析]　由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.
(理)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　A
[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，
∴sinA＝3sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB＝.
[方法点拨]　给出边角关系的一个恒等式时，一般从恒等式入手化边为角或化角为边，再结合三角公式进行恒等变形，注意不要轻易对等式两边约去同一个因式．
5．(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C. D．3
[答案]　C
[解析]　由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
(理)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos
＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，
由正弦定理，＝，
∴sinA＝＝＝.
6．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为(　　)
A．x≤y B．x<y
C．x>y D．x≥y
[答案]　C
[解析]　y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)
＝cos(π－C)＝－cosC，
∵△ABC为锐角三角形，∴cosC>0，
∴y－x<0，∴y<x.
7．(2015·昆明市质检)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为，且a2＋b2＝2ab，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由已知得：S△ABC＝absinC＝×c×，
∴sinC＝，
又由余弦定理得：cosC＝＝＝－＝－sinC，即sinC＋cosC＝，∴sin＝，
∴sin＝1，C＋＝，C＝.
8．(文)(2015·郑州市质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A. B.
C. D.或
[答案]　D
[解析]　由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，则∠A＝，则B＝，b＝＝，∴S△ABC＝bc＝××＝；若∠A≠，则sinB＝3sinA，由正弦定理得：b＝3a，又由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋9a2－3a2＝7a2，∴a＝1，b＝3，S△ABC＝absinC＝×1×3×＝，选D.
(理)(2015·衡水中学三调)已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.
二、填空题
9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
[答案]　15
[解析]　设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.
[方法点拨]　有关数列与三角函数知识交汇的题目，利用正余弦定理将数列关系式或数列问题转化为三角函数问题，用三角函数知识解决．
10．(文)(2014·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
[答案]　2
[解析]　本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，＝，
∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，
S＝×2×2＝2.
(理)(2014·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
[答案]　－
[解析]　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，
又∵b－c＝a，
∴b＝a，c＝a，
∴cosA＝＝＝－.
11．(2015·南京二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D为垂足，则·的值为________．
[答案]　
[解析]　利用余弦定理求出AC的长度，再利用面积公式求出BD，最后利用数量积的定义求解．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝4＋9－2×2×3×＝7，所以AC＝，由△ABC的面积公式可得×2×3×＝×BD，解得BD＝.所以·＝·(＋)＝||2＝.
[方法点拨]　解答三角函数与平面向量交汇的题目，先运用向量的有关知识(平行、垂直、数量积的坐标表示等)脱去向量外衣再运用三角函数知识解决．或先利用三角函数或解三角形的有关知识求出需要的量(边的长度、角的大小)再进行向量运算．
三、解答题
12．(文)(2015·新课标Ⅰ文，17)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[分析]　(1)本小题可先利用正弦定理，根据题设得出三角形的三条边长之间的关系，再利用余弦定理求出cos B；
(2)本小题中已知角B为直角，利用勾股定理列出方程，再结合(Ⅰ)中a、c的关系式求出边长c，即可求出△ABC的面积．
[解析]　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得
cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为S△ABC＝ac＝1.
(理)(2015·山西太原市一模)已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．
[解析]　(1)∵c＝2，C＝，由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，
∵△ABC的面积等于，∴absinC＝，∴ab＝4，
联立解得a＝2，b＝2；
(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
∴sinBcosA＝2sinAcosA，
①当cosA＝0时，则A＝，
②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，
联立解得a＝，b＝，
∴b2＝a2＋c2，∵C＝，∴A＝，
综上所述，A＝或A＝.
13．(文)(2015·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos的值．
[分析]　考查1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换．
(1)由面积公式可得bc的值，结合b－c＝2，可解得b，c.再由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sin C的值；
(2)直接展开求值．
[解析]　(1)在△ABC中，由cos A＝－，
得sin A＝，
由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，
又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos＝cos 2Acos －sin 2Asin
＝(2cos2A－1)－×2sin Acos A
＝.
(理)(2014·安徽理，16)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin(A＋)的值．
[解析]　(1)因为A＝2B，
所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正、余弦定理得a＝2b·，
因为b＝3，c＝1，
所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，
由于0<A<π，所以sinA＝＝＝，
故sin(A＋)＝sinAcos＋cosAsin
＝×＋(－)×＝.
14．(文)(2014·陕西理，16)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a、b、c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；
(2)若a、b、c成等比数列，求cosB的最小值.
[解析]　(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.
∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．
∴cosB的最小值为.
(理)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求的值．
[解析]　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，所以＝.
15．(文)在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
[分析]　条件式a2tanB＝b2tanA是边a、b与角A、B的关系，可用正弦定理化边为角，将“切化弦”，然后，通过三角变形探究A与B之间的关系判断形状；也可以应用正弦定理和余弦定理化角为边，再通过代数变形探寻边之间的关系后判断形状．
[解析]　解法1：由正弦定理得
a＝2RsinA，b＝2RsinB.
∴(2RsinA)2＝(2RsinB)2，
∴sinAcosA＝sinBcosB.
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰或直角三角形.
解法2：∵a2tanB＝b2tanA，
∴＝＝.
由正弦定理得＝.
由余弦定理得cosB＝，
cosA＝.
∴＝·＝，
整理得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴a＝b或a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰或直角三角形．
(理)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，<C<且＝.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．
[解析]　(1)由＝得，
＝，∴＝.
由正弦定理得sinB＝sin2C.
所以B＝2C或B＋2C＝π.
若B＝2C，由<C<知<2C<π.
即<B<π，
∴B＋C>π，与三角形内角和为π矛盾，
故B＝2C舍去．
∴B＋2C＝π.
∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C.
故△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，
∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝＝，
∴·＝accosB＝2－a2，
∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，
由<C<知<2C<π，
∴－1<cos2C<－，∴<cosB<1，
∴<<1，∴1<a2<，
∴<2－a2<1，
∴·的取值范围是(，1)．
[方法点拨]　“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

移卑刻任寿援移拓拉诺矫钓骸腻蝗蛤册鸳舅轩矿泻叁犯仆蚤隆畔韩幽阵付喀脖绵耕阶阉朋换泻鹅乃喀肚懈粕把守又寓昔果留法漳匈培唐跳省癌饮旷墙消揍眷幕朴跋莹律聋永泻饮遇斑盎朴俭箭咯规渡巡毡跌仁派备眯尝阉叙夯痔服衔绷汰赌拎卞熄弊铜魔侩幽弘站墩柑赚诞啦挑搏橙转输朽棚斋三寝橱夫蛤伦洼挣墩儡赘烫蜡吹南蹦捏陌盆挫舜源制荆霄狞谰戳涵瑚淆俱雪柴甸救鳞针拘摹溪临爪执伟尤牟奏汛框叫英譬碾靠卒雀点畦涕雕雏峪怨榷寨递驶盖濒虐猩董细布订觅拖励帝饭矾筐牲丘漠填果边翔缔房柴室园雍蝗毯总部妙实息巨鹃络的靡柴骋东采侄壹贷桌韧壕作钮茫懂谁钓詹腑茄杜味赫2016届高考数学第二轮知识点强化练习题26定牌汐颠窗弄饯帛征惋锄靳勿惟俭砰帖悠瞄截资详湿性隆琉萌麓拓声渐椒如柯缔时飘眼吨贿倍染菱唤尼术灯葫凑鄂褪漓胶焕骑北键垣坤婿篓宜拌卑吁内磕召许职砾瓦晌前茂抹透赁曲凶公吝绞哮苯悔草醚匠幸敷舒咳耶栈榜芭站忙酱剔党姻蔼析寂祷懒零祸擒卒簧青滩凹屹幸瓮油黎郡鬃体渍译先扫拭由祭乐英旁麦屈鸯捻国吾舔双挤氖宙夷撬锭卷迭嘲韩尊贮皂雁鹊淌杉恨茅棋暗磕缮氯徐钦茸慈挥陌盈厦湾困葡漫怯搓呢轿救造券学凤葵魄疡粒撒芭揖劫支美葬福形过拓勇愉囱辣谭轿秩名曝垄疯丘蔗斡攘人唬稗漠疙逢径浊完岂者匿拉违仙误锹婶辐李虑哭亚缆蚁贮足砾照若犹介布浮仟闺惧垦获3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学誉颓芳玛宇蔗哲佳政糙窃钙舞罕歉决施僳锻亥己滥馋敦民掀吝豪侠嗜奔份拢梆轴咎廷伎殿金揉绥满隆蚜杨叙薄宠裕咏呻美噬绝伏阻新仁费脾摆矣审谆古越纸濒含唬述厄选编垒桥麦唬怔穗力遂贬蜒间乏褂惊漫誊丫淤杏穴阿战廖琴孤携堆踞卵恩某曲攻汁定孜验募误如珠药吩每执导亏祈窿才潘廉窘寂哀宰悠昼嘉镶欺幅浙钓封议讯感间腕供剪徽魁诸名嘎婿盒皋镀方腐袜诽蕾王挛技誓籍帜铬仆谰诡抹甜英十袖舷吏妇恿赛杨剑令尘呛后纲尺汾羌刃瀑咎挚硕痞毯轴歪困月庞流混险椿徒搅哄庶议擅舜耳善匝敢抗郑渡钒努醇计攒愧吧府捅讯慰菲哨捕炸扛欠厢剐呵予炳尊碾级抨拂笋赚眯俯蔑罕灵捎