2016届高考数学第二轮知识点强化练习题26.doc

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第一部分　一　7

一、选择题
1．(文)(2015·唐山市一模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由已知条件可得图形，如图所示，

设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.
[方法点拨]　解三角形的常见类型：
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解的讨论．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
(理)(2015·河南六市联考)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．2 D．2
[答案]　A
[解析]　由已知得：cosA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，∴bc＝3，
又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－2＝4，
∴b2＋c2＝6，∴b＋c＝2，解得b＝c＝，选A.
2．(2015·南昌市一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　因为cosA＝，所以sinA＝＝＝，
所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝.
由正弦定理＝，得b＝×sin45°＝.
3．(文)若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是(　　)
A．等腰三角形　 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
(理)(2015·合肥第一次质检)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为(　　)
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
[答案]　B
[解析]　依题意得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，2sinAcosB－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋＝，解得sin2A＝，因此sinA＝，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角形，故选B.
[易错分析]　本题易犯的主要错误是不能对所给恒等式进行有效化简、变形，由于公式应用错误或者化简过程的盲目性导致化简过程无效，这是很多考生在此类问题中常犯的错误．事实上，含有边和角的恒等式，一般方法是实施边和角的统一，如果边化角后无法运算，则可以尝试角化边．反之，如果角化边较繁，则可以尝试边化角，平时训练时就要注意归纳小结．
[方法点拨]　判断三角形形状时，一般先利用所给条件将条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形方面命题，故分析条件时，应着重从上述三角形满足的条件与已知条件的沟通上着手．
4．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
[答案]　D
[解析]　由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.
(理)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　A
[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，
∴sinA＝3sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB＝.
[方法点拨]　给出边角关系的一个恒等式时，一般从恒等式入手化边为角或化角为边，再结合三角公式进行恒等变形，注意不要轻易对等式两边约去同一个因式．
5．(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C. D．3
[答案]　C
[解析]　由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
(理)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos
＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，
由正弦定理，＝，
∴sinA＝＝＝.
6．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为(　　)
A．x≤y B．xy D．x≥y
[答案]　C
[解析]　y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)
＝cos(π－C)＝－cosC，
∵△ABC为锐角三角形，∴cosC>0，
∴y－x<0，∴y∴sin＝，
∴sin＝1，C＋＝，C＝.
8．(文)(2015·郑州市质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A. B.
C. D.或
[答案]　D
[解析]　由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，则∠A＝，则B＝，b＝＝，∴S△ABC＝bc＝××＝；若∠A≠，则sinB＝3sinA，由正弦定理得：b＝3a，又由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋9a2－3a2＝7a2，∴a＝1，b＝3，S△ABC＝absinC＝×1×3×＝，选D.
(理)(2015·衡水中学三调)已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.
二、填空题
9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
[答案]　15
[解析]　设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.
[方法点拨]　有关数列与三角函数知识交汇的题目，利用正余弦定理将数列关系式或数列问题转化为三角函数问题，用三角函数知识解决．
10．(文)(2014·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
[答案]　2
[解析]　本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，＝，
∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，
S＝×2×2＝2.
(理)(2014·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
[答案]　－
[解析]　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，
又∵b－c＝a，
∴b＝a，c＝a，
∴cosA＝＝＝－.
11．(2015·南京二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D为垂足，则·的值为________．
[答案]　
[解析]　利用余弦定理求出AC的长度，再利用面积公式求出BD，最后利用数量积的定义求解．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝4＋9－2×2×3×＝7，所以AC＝，由△ABC的面积公式可得×2×3×＝×BD，解得BD＝.所以·＝·(＋)＝||2＝.
[方法点拨]　解答三角函数与平面向量交汇的题目，先运用向量的有关知识(平行、垂直、数量积的坐标表示等)脱去向量外衣再运用三角函数知识解决．或先利用三角函数或解三角形的有关知识求出需要的量(边的长度、角的大小)再进行向量运算．
三、解答题
12．(文)(2015·新课标Ⅰ文，17)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[分析]　(1)本小题可先利用正弦定理，根据题设得出三角形的三条边长之间的关系，再利用余弦定理求出cos B；
(2)本小题中已知角B为直角，利用勾股定理列出方程，再结合(Ⅰ)中a、c的关系式求出边长c，即可求出△ABC的面积．
[解析]　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得
cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为S△ABC＝ac＝1.
(理)(2015·山西太原市一模)已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．
[解析]　(1)∵c＝2，C＝，由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，
∵△ABC的面积等于，∴absinC＝，∴ab＝4，
联立解得a＝2，b＝2；
(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
∴sinBcosA＝2sinAcosA，
①当cosA＝0时，则A＝，
②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，
联立解得a＝，b＝，
∴b2＝a2＋c2，∵C＝，∴A＝，
综上所述，A＝或A＝.
13．(文)(2015·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos的值．
[分析]　考查1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换．
(1)由面积公式可得bc的值，结合b－c＝2，可解得b，c.再由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sin C的值；
(2)直接展开求值．
[解析]　(1)在△ABC中，由cos A＝－，
得sin A＝，
由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，
又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos＝cos 2Acos －sin 2Asin
＝(2cos2A－1)－×2sin Acos A
＝.
(理)(2014·安徽理，16)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin(A＋)的值．
[解析]　(1)因为A＝2B，
所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正、余弦定理得a＝2b·，
因为b＝3，c＝1，
所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，
由于0等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．
∴cosB的最小值为.
(理)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求的值．
[解析]　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，所以＝.
15．(文)在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
[分析]　条件式a2tanB＝b2tanA是边a、b与角A、B的关系，可用正弦定理化边为角，将“切化弦”，然后，通过三角变形探究A与B之间的关系判断形状；也可以应用正弦定理和余弦定理化角为边，再通过代数变形探寻边之间的关系后判断形状．
[解析]　解法1：由正弦定理得
a＝2RsinA，b＝2RsinB.
∴(2RsinA)2＝(2RsinB)2，
∴sinAcosA＝sinBcosB.
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰或直角三角形
解法2：∵a2tanB＝b2tanA，
∴＝＝.
由正弦定理得＝.
由余弦定理得cosB＝，
cosA＝.
∴＝·＝，
整理得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴a＝b或a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰或直角三角形．
(理)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，π，与三角形内角和为π矛盾，
故B＝2C舍去．
∴B＋2C＝π.
∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C.
故△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，
∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝＝，
∴·＝accosB＝2－a2，
∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，
由即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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