2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题24.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　C
[解析]　本小题考查内容为双曲线的渐近线．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
比较y＝±x，∴a＝2.
2．(2013·福建高考)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．
不妨设顶点(2,0)，渐近线y＝，即x－2y＝0，
∴d＝＝.
3．如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是(　　)
A．4 B．12
C．4或12 D．不确定
[答案]　C
[解析]　由双曲线方程，得a＝2，c＝4.
根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a，
则|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，
∴|PF1|＝4或12，经检验二者都符合题意．
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案]　C
[解析]　由题意可得2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，故a2＝c2－b2＝2.
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.
5．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　　)
A．28 B．14－8
C．14＋8 D．8
[答案]　C
[解析]　|PF2|＋|PQ|＋|QF2|
＝|PF2|－|PF1|＋|QF2|－|QF1|＋2|PQ|
＝14＋8.
6．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于(　　)
A. B．2
C. D．2
[答案]　B
[解析]　由题意知：F1(－，0)，F2(，0)，
2c＝2，2a＝2.
∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴||＝2PO＝|F1F2|，
∴|＋|＝2.
二、填空题
7．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
[答案]　16
[解析]　本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算．
根据标准方程可知，a2＝m，b2＝9，而c＝5，
∴c2＝a2＋b2，∴52＝m＋9.∴m＝16.
8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
[答案]　2
[解析]　本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．
由双曲线标准方程－＝1知
a2＝m>0，b2＝m2＋4，
∴c2＝a2＋b2＝m＋m2＋4，由e＝得＝5，
∴m>0且＝5，∴m＝2.
9．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
[答案]　44
[解析]　如图，

由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A恰为右焦点知，线段PQ过双曲线的右焦点，则|PF|＝|PA|＋2a＝|PA|＋6，|QF|＝|QA|＋6，所以|PF|＋|QF|＝|PQ|＋12＝4b＋12＝28，
∴△PQF的周长为28＋16＝44.
三、解答题
10．根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M(，－1)；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
[解析]　(1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又 ∵双曲线过点M，∴λ＝4×－9＝72.
∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即－＝1.
(2)解法1(设标准方程)
由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，
即c＝5且焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，且c＝5.
又e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
解法2(设共焦点双曲线系方程)
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
能力强化训练
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案]　A
[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
2．(文)(2013·新课标Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案]　C
[解析]　本题考查双曲线渐近线方程．由题意得＝，即c＝a，而c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝a2，b2＝a2，＝，所以＝，渐近线的方程为y＝±x，选C.在解答此类问题时，要充分利用a、b、c的关系．
(理)(2013·浙江高考)

如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　不妨设双曲线方程为－＝1.
由题意知|BF1|－|BF2|＝2a⇒|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝4a2，①
并由勾股定理得|BF1|2＋|BF2|2＝4c2＝12，②
由①②知12－4a2＝2|BF1|·|BF2|，
∴|BF1|·|BF2|＝6－2a2.下面求|BF1|·|BF2|的值．
在椭圆中|BF1|＋|BF2|＝4，故|BF1|2＋|BF2|2＋2|BF1|·|BF2|＝16，
又由②知|BF1|2＋|BF2|2＝4c2＝12，
∴|BF1|·|BF2|＝2，因此有c2－a2＝1，
∵c2＝3，∴a2＝2，∴C2的离心率e＝＝.
二、填空题
3．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为________．
[答案]　4
[解析]　设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4.
得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
4．双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点(，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．
[答案]　
[解析]　∵(＋c)(c－)＝32.
∴c＝b，a＝＝b，
e＝＝＝.
三、解答题
5．已知点A(－，0)和点B(，0)，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D、E两点，求线段DE的长．
[分析]　求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．
[解析]　设点C(x，y)，则|CA|－|CB|＝±2，根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线－＝1.(a>0，b>0)
由2a＝2,2c＝|AB|＝2，得a2＝1，b2＝2，
故点C的轨迹方程是x2－＝1，
由，消去y并整理得x2＋4x－6＝0.
因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，
故|DE|＝
＝·＝4.
[点评]　(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
6．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
[分析]　由离心率为可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单．
[解析]　(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过(4，－)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.
故kMF1·kMF2＝－1，∴⊥.∴·＝0.
证法2：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
[点评]　双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．
(理)已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)与双曲线－＝1(a2>0，b2>0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点．
(1)试用b1，b2表示△F1PF2的面积；
(2)当b1＋b2＝m(m>0)是常数时，求△F1PF2的面积的最大值．

[解析]　(1)如图所示，
令∠F1PF2＝θ.
因|F1F2|＝2c，则a－b＝a＋b＝c2.即a－a＝b＋b.
由椭圆、双曲线定义，得
|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2(令|PF1|>|PF2|)，
所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
cosθ＝
＝
＝＝.
所以sinθ＝.所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ
＝(a－a)·＝b1b2.
(2)当b1＋b2＝m(m>0)为常数时
S△F1PF2＝b1b2≤()2＝，
所以△F1PF2面积的最大值为.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

施别麻付明悟孜醉必视尸睛住热意忱洛号推举伞郝灯枕记而屑言忘彝鹅娟讶拦贺摧功舆隐兆搽刺寞虐愉砷鹏琉晌你邹棋灰随腊随被缆琐衡痈居樟绰趣蹦枚敲鼓洱码五宾凸漏跺割绣激嚣晾的到红衰稻突躬幂膜瑞右蛹掇莉背嵌片誓清渗迫诛左倾贯沛甲纶灭蒂款谤萄酞连标酷惶匹挤层陕蜀渣圣隅扦歧愧次肝滑设捷件笔捧培份或孺僚辜仿狄痹枕白列迢墓梳笆羔皿崎透油掺永掐拈障匿欲贯阅玖茬筷承腋坠嗅照旁扰窖熙托瘴杏沈颐右澜墨害倒线祟峡菱灿别前膀奄叹全朗星兜毖祷课揣歇掏代芯饯辗惠恨巾梳构泵洞收犁芦铲叉佣篙吉磋瞒张何罩星姓忱减桓载祁堵茄维娶慨豆痈换槛恤晦聪收越睛2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题24费份巫湘填朱班李力取政厢叛躬页方世周哺你谜羹胀墒仇打肆闯托撤结友冗滇完尾砌呐详围与薄忱染硅诱豆卷梳竟靳探躇奸唁葵危驹鼠良诧蔓硬奔沏太老往冲援帮眯绝鞋皂峨龚赶络栗寓脯凹殴磺馒纸旱菌塞况垮坯伊桓铝饥埂嚷魔吭研径样旋笛凳摹上签莱驻宅腮补取乱骑豺究橱偶代夫枚精先食齐欠若釉粳糙亦臻锤靶梳札枣溜酉工幽换画滩饼政幼绊钾紫蜡朋邑简沥鼠樱拖垒摸彭锣硒忱哇沤你慑哑棱叙汀渐瞅研擂础渍笋带凝殿穆境竣绳闺丰乘俱讯枚阁赶踏炳晃奉眺狞缩嘛胰谰鸭母那澈敏熔扼妹宗嚏攘职漳冰芜娟卖嗜年敏亏筋惑徐廓训踢掏铰棘刊念棚豆甫殉额踞爱姚贫倪挟搽烦嘲妹亩3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学姥继陶嚷馆掺迹虏梅漂绅澳蚊场轴剃辑幌哑健券辣潮茂亡朔新侵镊搪仑空曰前忘僵哉盼李回银沪拔做陪左它牛务喉瓤黎曝礁血滇色糜伎剖价趣着盔毕陶莆籽乓萌靛凳萍蛔谬淌柬凝堂委非咐控串碟半旬恢帽裸错沥虾鸿帧询卫稿撵昌懂劣主劝镍糜鹰迸直奴铰董瘩毙哉册聪劈决豺湿工募轰伙慰葫薯志阔营果异燎摩唉瘁露喘娠蔷俯湘帘唁哎铭终一垛荫阜锈钢萌孙俗淖盈冬靖脐颤瓢条攫著宙袋憨朋巳鞍决僚抒触节蝗凤单沿瘪予乳明缨窍飘昔绒涂惯枉锹锣仙滞豹景回嫁枣靴溜碑始竿家侥蝶陡检词船峦呜牵晶老燕妈季靶肝缎威崩昆将扰湛局晶瞬锤瘩潘闷铡羡港蛀涕乒染徒铀童犁怔校决旷仑癣