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八年级数学知识大纲(北师版)
八年级数学上册知识大纲(北师版)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
(1) 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。
(2) 割补法证明勾股定理
2 能得到直角三角形吗
(1) 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。
(2) 勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17；7,24,25…
3 蚂蚁怎样走最近——最短路径问题(长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等)
第二章 实数
1 数不够用了
(1) 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
(2) 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2 平方根
(1) 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即。
(2) 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)，记为。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
(3) 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
3 立方根
(1) 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫三次方根)。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
(2) 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
4 公园有多宽
5 用计算器开方
6 实数
(1) 有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。
(2) 实数也可以分为正实数、0、负实数。
(3) 实数与数轴上的点一一对应。
7 二次根式
(1) 二次根式：一般地，式子叫做二次根式。
(2) 二次根式乘除运算法则：
(3) 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
第三章 位置与坐标
1 确定位置
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
2 平面直角坐标系
(1) 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条坐标轴的正方向。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的坐标原点。
(2) 有序数对与坐标
(3) 各象限与坐标轴上点的特点
(4) 在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一对有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。
3 坐标与对称轴
关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标形同，横坐标互为相反数。
第四章 一次函数
1 函数
(1) 函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，则称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
(2) 表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法。
2 一次函数
一次函数：若两个变量x和y之间的关系式可以表示为(k，b为常数，)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量，y是因变量).特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
3 一次函数的图像
(1) 把一函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。
(2) 作函数图像的一般步骤：列表、描点、连线。
(3) 一次函数图象性质
在一次函数()的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标为(,0)，与y轴的交点坐标为(0,b)，函数图像与k，b的关系如下表(b=0时为正比例函数)：

注：由上表可知，正比例函数图象是一条过原点的直线。
4 确定一次函数表达式
(1) 方法：待定系数法
(2) 步骤：①设：设一次函数表达式；②代：将已知两点代入中，列出关于k，b的方程；③求：解方程，求出k，b的值；④写：把求出的k，b值代入到表达式中。
5 一次函数的应用
第五章 二元一次方程组
1 谁的包裹多
(1) 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
(2) 二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
(3) 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解；二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
2 解二元一次方程组
(1) 基本思想：消元
(2) 代入法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
(3) 加减法：当两个方程中未知数x(或y)的系数相等(或相反)时，通过两式相减(或相加)消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
3 鸡兔同笼
4 增收节支
5 里程碑上的数
6 二元一次方程与一次函数
(1) 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数图象相同，是一条直线。
(2) 一般地，从图形的角度看，解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点坐标。
7 三元一次方程组
(1) 三元一次方程：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程。
(2) 三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。
(3) 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。
(4) 解三元一次方程组

第六章 数据的分析
1 平均数
(1) 算术平均数：一般地，对于n个数，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为。
(2) 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度不同，在计算平均数时，往往给每个数据一个权。
2 中位数与众数
(1) 中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
(2) 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
(3) 平均数、中位数和众数的特征

3 从统计图估计数据的代表
4 数据的波动
(1) 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。
(2) 方差：各个数据与与平均数差的平方的平均数叫做方差，即

其中，是的平均数，s2是方差。
(3) 标准差：方差s2的算术平方根叫做标准差。
(4) 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。
第七章 证明(一)
1 你能肯定吗
2 定义与命题
(1) 定义：对名称或术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是给它们的定义。
(2) 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断，那么它就不是命题。
(3) 每个命题都是由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题可以写成“如果…，那么…”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
(4) 正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题。要说明一个命题是假命题，通常需要举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例。
(5) 公认的真命题称为公理；推理的过程称为证明；经过证明的真命题称为定理。
(6) 定理：对顶角相等；同角(等角)的补角相等；同角(等角)的余角相等。
3 直线平行的判定
定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说：内错角相等，两直线平行。
定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说：同旁内角互补，两直线平行。
定理3：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说：同位角相等，两直线平行。
4 平行线的性质
定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单说：两直线平行，同位角相等。
定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单说：两直线平行，内错角相等。
定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说：两直线平行，同旁内角互补。
5 三角形内角和定理
(1) 三角形内角和定理：三角形内角和等于180o。
(2) 推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
(3) 推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
(1) 全等三角形判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)
(2) 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(3) 等腰三角形性质定理：等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角。
(4) 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。简述为：等腰三角形三线合一。
(5) 等边三角形性质定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60o。
(6) 等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简述为：等角对等边。
(7) 反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾得结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。
(8) 等边三角形判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。
(9) 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2 直角三角形
(1) 直角三角形性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。
(2) 直角三角形判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形(勾股定理)。
(3) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
(4) 直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)。
3 线段的垂直平分线
定理1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
定理2：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
4 角平分线
定理1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1 不等关系
一般地，用符号“<”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
2 不等式的基本性质
不等式基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变。
不等式基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
3 不等式的解集
(1) 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
(2) 求不等式的解集的过程叫做解不等式。
4 一元一次不等式
(1) 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。
(2) 解不等式：利用不等式性质解一元一次不等式，注意化系数为1时，除以负数不等号方向要改变。
5 一元一次不等式与一次函数
6 一元一次不等式组
(1) 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组。
(2) 一元一次不等式组中，各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；求一元一次不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
第三章 图形的平移与旋转
1 图形的平移
(1) 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。
(2) 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等。
(3) 一个图形 依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得到的图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的。
2 图形的旋转
(1) 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。
(2) 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
3 中心对称
(1) 如果把一个图形绕某着一点旋转180o，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。两个图形关于一个点对称简称两个图形成中心对称。
(2) 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。
(3) 把一个图形绕某个点旋转180o，如果旋转后的图形能与原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
4 简单的图案设计
第四章 因式分解
1 因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也成分解因式。
2 提公因式法
(1) 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
(2) 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫做提公因式法。
(3) 注：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数变为正数。在提出“－”号时，多项式的各项都要变号；当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解。
3 公式法
(1) 把乘法公式反过来，就可以得到。
(2) 把乘法公式反过来，可得到，形如的式子称为完全平方式。
(3) 根据因式分解与整式乘法的关系，可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
第五章 分式与分式方程
1 认识分式
(1) 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式。如果B中含有字母，那么称为分式，A称为分式的分子。B称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为0。
(2) 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为：。
(3) 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分；分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式。
2 分式的乘除法
(1) 分式乘除法的法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为分子，把分母相乘的积作为分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用式子表示：。
3 分式的加减法
(1) 同分母分式加减法运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。字母表示：。
(2) 根据分式的基本性质，把异分母分式化为同分母分式的过程叫做分式的通分。异分母分式通分时，通常通常取最简公分母作为共同的分母。
(3) 异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法进行计算。字母表示：。
4 分式方程
(1) 分母中含有字母的方程叫做分式方程。
(2) 使得原分式方程的分母为零的根叫做分式的增根。
(3) 解分式方程时，须注意验根。
第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
(1) 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
(2) 性质定理：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。
2 平行四边形的判定
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行线间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
3 三角形的中位线
(1) 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2) 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
4 多边形的内角和与外角和
定理1：n边形的内角和等于(n-2)·180o.
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
定理2：多边形的外角和都等于360o。