多边形与平行四边形试题及答案.pdf

多边形与平行四边形一、选择题1（2016黑龙江大庆）下列说法正确的是（）A对角线互相垂直的四边形是菱形B矩形的对角线互相垂直C一组对边平行的四边形是平行四边形D四边相等的四边形是菱形【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确故选【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键2（2016湖北十堰）如图所示，小华从 A 点出发，沿直线前进 10 米后左转 24，再沿直线前进 10 米，又向左转 24，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走的路程是（）A140 米 B150 米 C160 米 D240 米【考点】多边形内角与外角【分析】多边形的外角和为 360每一个外角都为 24，依此可求边数，再求多边形的周长【解答】解：多边形的外角和为 360，而每一个外角为 24，多边形的边数为 36024=15，小明一共走了：1510=150 米故选 B【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为 24求边数3.（2016四川广安3 分）若一个正 n 边形的每个内角为 144，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（）A7B10C35D70【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线【分析】由正 n 边形的每个内角为 144结合多边形内角和公式，即可得出关于 n 的一元一次方程，解方程即可求出 n 的值，将其代入中即可得出结论【解答】解：一个正 n 边形的每个内角为 144，144n=180（n2），解得：n=10这个正 n 边形的所有对角线的条数是：=35故选 C4.（2016四川广安3 分）下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内有一个角是直角的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形两边及一角对应相等的两个三角形全等一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题【解答】解：错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形正确的只有，故选 A5.（2016四川凉山州4 分）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 1080，那么原多边形的边数为（）A7B7 或 8C8 或 9D7 或 8 或 9【考点】多边形内角与外角【分析】首先求得内角和为 1080的多边形的边数，即可确定原多边形的边数【解答】解：设内角和为 1080的多边形的边数是 n，则（n2）180=1080，解得：n=8则原多边形的边数为 7 或 8 或 9故选：D6（2016江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，ABC=90，AB=BC=2，E、F 分别是 AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF若四边形ABCD 的面积为 6，则 BEF 的面积为（）A2 B C D3【考点】三角形的面积【分析】连接 AC，过 B 作 EF 的垂线，利用勾股定理可得AC，易得 ABC的面积，可得BG 和ADC 的面积，三角形ABC 与三角形 ACD 同底，利用面积比可得它们高的比，而GH 又是 ACD 以 AC 为底的高的一半，可得GH，易得 BH，由中位线的性质可得EF 的长，利用三角形的面积公式可得结果【解答】解：连接 AC，过 B 作 EF 的垂线交 AC 于点 G，交 EF 于点 H，ABC=90，AB=BC=2，AC=4，ABC 为等腰三角形，BHAC，ABG，BCG 为等腰直角三角形，AG=BG=2SABC=ABAC=22=4，SADC=2，=2，GH=BG=，BH=，又EF=AC=2，SBEF=EFBH=2=，故选 C7（2016浙江省舟山）已知一个正多边形的内角是 140，则这个正多边形的边数是（）A6B7C8D9【考点】多边形内角与外角【分析】首先根据一个正多边形的内角是 140，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可【解答】解：360=36040=9答：这个正多边形的边数是 9故选：D8.（2016,湖北宜昌，5，3 分）设四边形的内角和等于 a，五边形的外角和等于 b，则a 与 b 的关系是（）Aab Ba=b Cab Db=a+180【考点】多边形内角与外角【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论【解答】解：四边形的内角和等于 a，a=（42）180=360五边形的外角和等于 b，b=360，a=b故选 B【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键9.（2016广东茂名）下列说法正确的是（）A长方体的截面一定是长方形B了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是普查C一个圆形和它平移后所得的圆形全等D多边形的外角和不一定都等于 360【考点】多边形内角与外角；截一个几何体；平移的性质；全面调查与抽样调查【专题】多边形与平行四边形【分析】A、长方体的截面不一定是长方形，错误；B、调查日光灯的使用寿命适合抽样调查，错误；C、利用平移的性质判断即可；D、多边形的外角和是确定的，错误【解答】解：A、长方体的截面不一定是长方形，错误；B、了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是抽样调查，错误；C、一个圆形和它平移后所得的圆形全等，正确；D、多边形的外角和为 360，错误，故选 C【点评】此题考查了多边形内角与外角，截一个几何体，平移的性质，以及全面调查与抽样调查，弄清各自的定义及性质是解本题的关键10.(2016 年浙江省丽水市年浙江省丽水市)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则OBC 的周长为（）A13B17C20D26【考点】平行四边形的性质【分析】由平行四边形的性质得出 OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出OBC的周长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，OBC 的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17故选：B11.（2016 年浙江省宁波市）年浙江省宁波市）如图是一个由 5 张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 S1，另两张直角三角形纸片的面积都为 S2，中间一张正方形纸片的面积为 S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A4S1B4S2C4S2+S3D3S1+4S3【考点】平行四边形的性质【分析】设等腰直角三角形的直角边为 a，正方形边长为 c，求出 S2（用 a、c 表示），得出 S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为 a，正方形边长为 c，则 S2=（a+c）（ac）=a2c2，S2=S1S3，S3=2S12S2，平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S12S2=4S1故选 A【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型12.（2016 年浙江省衢州市）年浙江省衢州市）如图，在ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若A=135，则MCD 的度数是（）A45B55C65D75【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形对角相等，求出BCD，再根据邻补角的定义求出MCD 即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，A=BCD=135，MCD=180DCB=180135=45故选 A13.（2016 年浙江省温州市）年浙江省温州市）六边形的内角和是（）A540 B720 C900 D1080【考点】多边形内角与外角【分析】多边形内角和定理：n 变形的内角和等于（n2）180（n3，且 n 为整数），据此计算可得【解答】解：由内角和公式可得：（62）180=720，故选：B14（2016.山东省临沂市，3 分）一个正多边形的内角和为540，则这个正多边形的每一个外角等于（）A108 B90 C72 D60【考点】多边形内角与外角【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n2）=540，即可求得 n=5，再由多边形的外角和等于360，即可求得答案【解答】解：设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n2）=540，解得：n=5，故这个正多边形的每一个外角等于=72故选 C【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识注意掌握多边形内角和定理：（n2）180，外角和等于36015（2016.山东省泰安市，3 分）如图，在ABCD 中，AB=6，BC=8，C 的平分线交 AD于 E，交 BA 的延长线于 F，则 AE+AF 的值等于（）A2B3C4D6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出F=FCB，证出 BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出 AF=BFAB=2，AE=ADDE=2，即可得出结果【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AD=BC=8，CD=AB=6，F=DCF，C 平分线为 CF，FCB=DCF，F=FCB，BF=BC=8，同理：DE=CD=6，AF=BFAB=2，AE=ADDE=2，AE+AF=4；故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键二、填空题1（2016湖北十堰）如图，在ABCD 中，AB=2cm，AD=4cm，ACBC，则DBC 比ABC 的周长长4cm【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论【解答】解：在ABCD 中，AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，ACBC，AC=6cm，OC=3cm，BO=5cm，BD=10cm，DBC 的周长ABC 的周长=BC+CD+BD（AB+BC+AC）=BDAC=106=4cm，故答案为：4【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键2.(2016四川资阳)如图，AC 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则ACB=36【考点】多边形内角与外角【分析】由正五边形的性质得出B=108，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形，B=108，AB=CB，ACB=2=36；故答案为：363.(2016四川自贡)若 n 边形内角和为 900，则边数 n=7【考点】多边形内角与外角【分析】由 n 边形的内角和为：180（n2），即可得方程 180（n2）=900，解此方程即可求得答案【解答】解：根据题意得：180（n2）=900，解得：n=7故答案为：7【点评】此题考查了多边形内角和公式此题比较简单，注意方程思想的应用是解此题的关键4.(2016云南)若一个多边形的边数为 6，则这个多边形的内角和为 720 度【考点】多边形内角与外角【分析】根据多边形的内角和公式求解即可【解答】解：根据题意得，180（62）=720故答案为 720【点评】此题是多边形的内角和外角，主要考差了多边形的内角和公式，解本题的关键是熟记多边形的内角和公式5.（2016广东梅州）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线BD 于点 F，若，则_3DECSBCFS答案答案：4考点考点：平行四边形的性质，三角形的面积，三角形的相似的判定与性质。解析解析：因为 E 为 AD 中点，ADBC，所以，DFEBFC，所以，所以，1，12EFDEFCBC12DEFDCFSEFSFC13DEFDECSS又，所以，4。14DEFBCFSSBCFS6.（2016广东深圳）如图，在ABCD 中，以点为圆心，以任意长为,5,3BCABB半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半BCBA、QP、QP、PQ21径作弧，两弧在内交于点 M，连接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为ABC_.答案答案：.2考点考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。解析解析：依题意，可知，BE 为角平分线，所以，ABECBE，又 ADBC，所以，AEBCBE，所以，AEBABE，AEAB3，ADBC5，所以，DE532。7.（2016广东深圳）如图，四边形是平行四边形，点 C 在 x 轴ABCO,6,2ABOA的负半轴上，将 ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形 ADEF，AD 经过点 O，点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上.若点 D 在反比例函数的图像上，则 k 的值为)0(yxxk_.答案答案：34考点考点：平行四边形的性质，反比例函数。解析解析：如图，作 DM轴x由题意BAO=OAF,AO=AF,ABOC所以BAO=AOF=AFO=OAFAOF=60=DOMOD=AD-OA=AB-OA=6-2=4MO=2，MD=32D(-2，-)32k=-2（）=32-348（2016四川巴中）如图，ABCD 中，AC=8，BD=6，AD=a，则 a 的取值范围是1a7【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系【分析】由平行四边形的性质得出 OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果【解答】解：如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=AC=4，OD=BD=3，在AOD 中，由三角形的三边关系得：43AD4+3即 1a7；故答案为：1a79（2016江苏泰州）五边形的内角和是540【考点】多边形内角与外角【分析】根据多边形的内角和是（n2）180，代入计算即可【解答】解：（52）180=540，故答案为：54010（2016江苏无锡）如图，已知OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x=1 和 x=4 上，O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为5【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质【分析】当 B 在 x 轴上时，对角线 OB 长的最小，由题意得出ADO=CEB=90，OD=1，OE=4，由平行四边形的性质得出 OABC，OA=BC，得出AOD=CBE，由 AAS证明AODCBE，得出 OD=BE=1，即可得出结果【解答】解：当 B 在 x 轴上时，对角线 OB 长的最小，如图所示：直线 x=1 与 x 轴交于点D，直线 x=4 与 x 轴交于点 E，根据题意得：ADO=CEB=90，OD=1，OE=4，四边形 ABCD 是平行四边形，OABC，OA=BC，AOD=CBE，在AOD 和CBE 中，AODCBE（AAS），OD=BE=1，OB=OE+BE=5；故答案为：511（2016江苏省扬州）若多边形的每一个内角均为 135，则这个多边形的边数为8【考点】多边形内角与外角【分析】先求出每一外角的度数是 45，然后用多边形的外角和为 36045进行计算即可得解【解答】解：所有内角都是 135，每一个外角的度数是 180135=45，多边形的外角和为 360，36045=8，即这个多边形是八边形故答案为：812（2016辽宁沈阳）若一个多边形的内角和是 540，则这个多边形是五边形【考点】多边形内角与外角【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可【解答】解：设多边形的边数是 n，则（n2）180=540，解得 n=5，故答案为：五【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键13（2016呼和浩特）已知平行四边形 ABCD 的顶点 A 在第三象限，对角线 AC 的中点在坐标原点，一边 AB 与 x 轴平行且 AB=2，若点 A 的坐标为（a，b），则点 D 的坐标为（2a，b）（2a，b）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质【分析】根据平行四边形的性质得到 CD=AB=2，根据已知条件得到 B（2+a，b），或（a2，b），由于点 D 与点 B 关于原点对称，即可得到结论【解答】解：如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB=2，A 的坐标为（a，b），AB 与 x 轴平行，B（2+a，b），点 D 与点 B 关于原点对称，D（2a，b）如图 2，B（a2，b），点 D 与点 B 关于原点对称，D（2a，b），综上所述：D（2a，b），（2a，b）三、解答题1.（2016湖北鄂州）（本题满分 8 分）如图，ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A、C 两点作 AEBD，CFBD，垂足分别为 E、F，延长 AE、CF 分别交 CD、AB 于M、N。（1）（4 分）求证：四边形 CMAN 是平行四边形。（2）（4 分）已知 DE4，FN3，求 BN 的长。【考点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理【分析】（1）通过 AEBD，CFBD 证明 AECF，再由四边形 ABCD 是平行四边形得到ABCD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形 CMAN 是平行四边形；（2）先证明两三角形全等得 DE=BF=4，再由勾股定理得 BN=5【解答】证明：AEBD CFBD AECF 又四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD四边形 CMAN 是平行四边形 （4 分）由知四边形 CMAN 是平行四边形CM=AN.又四边形 ABCD 是平行四边形 AB=CD，MDE=NBF.AB-AN=CD-CM，即 DM=BN.在MDE 和NBF 中 MDE=NBF DEM=BFN=90DM=BN MDENBFDE=BF=4，（2 分）由勾股定理得 BN=5（4 分）.BFFN224322答：BN 的长为 5.【点评】本题主要考查了平行四边形的判定及其性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；灵活运用判定、性质及定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键2.（2016湖北黄冈）（满分 7 分）如图，在 ABCD 中，E，F 分别为边AD，BC 的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF 于点 G，H.求证：AG=CH A E DG H B F C（第 17 题）【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。根据 E，F 分别是 AD，BC的中点，得出 AE=DE=AD，CF=BF=BC；运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形 BEDF 是平行四边形，从而得到BED=DFB，再运用等角的补角相等得到AEG=DFC；最后运用 ASA 证明AGECHF，从而证得 AG=CH.【解答】证明：E，F 分别是 AD，BC 的中点，AE=DE=AD，CF=BF=BC.1 分又ADBC，且 AD=BC.DEBF，且 DE=BF.四边形 BEDF 是平行四边形.BED=DFB.AEG=DFC.5 分又ADBC，EAG=FCH.在AGE 和CHF 中AEG=DFCAE=CFEAG=FCHAGECHF.AG=CH3.（2016四川达州7 分）如图，在ABCD 中，已知 ADAB（1）实践与操作：作BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明【考点】平行四边形的性质；作图基本作图【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF；画出图形即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出BAE=AEB，证出 BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出 BE=AF，即可得出结论【解答】解：（1）如图所示：（2）四边形 ABEF 是菱形；理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DAE=AEB，AE 平分BAD，BAE=DAE，BAE=AEB，BE=AB，由（1）得：AF=AB，BE=AF，又BEAF，四边形 ABEF 是平行四边形，AF=AB，四边形 ABEF 是菱形4.（2016四川达州11 分）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+6（a0）交 x 轴与 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），将直尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45放置，边 WZ 经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点 D，直尺被 x 轴截得的线段 EF=2，且CEF 的面积为 6（1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使得ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）将直尺以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向左平移，设平移的时间为 t 秒，平移后的直尺为 WXYZ，其中边 XY所在的直线与 x 轴交于点 M，与抛物线的其中一个交点为点 N，请直接写出当 t 为何值时，可使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质【分析】（1）根据三角形的面积公式求出 m 的值，结合点 C 的坐标利用待定系数法即可求出 a 值，从而得出结论；（2）假设存在过点 P 作 y 轴的平行线，交 x 轴与点 M，交直线 AC 于点 N根据抛物线的解析式找出点 A 的坐标设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，点 P 的坐标为（n，n2+2n+6）（2n4），由点 A、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 AC 的解析式，代入 x=n，即可得出点 N 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出 SACP关于 n 的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）根据直尺的摆放方式可设出直线 CD 的解析式为 y=x+c，由点 C 的坐标利用待定系数法即可得出直线 CD 的解析式，联立直线 CD 的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点 D 的坐标，令直线 CD 的解析式中 y=0，求出 x 值即可得出点 E 的坐标，结合线段 EF 的长度即可找出点 F 的坐标，设出点 M 的坐标，结合平行四边形的性质以及C、D 点坐标的坐标即可找出点 N 的坐标，再由点 N 在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间 t 的一元二次方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）SCEF=EFyC=2m=6，m=6，即点 C 的坐标为（4，6），将点 C（4，6）代入抛物线 y=ax2+2x+6（a0）中，得：6=16a+8+6，解得：a=，该抛物线的解析式为 y=x2+2x+6（2）假设存在过点 P 作 y 轴的平行线，交 x 轴与点 M，交直线 AC 于点 N，如图 1 所示令抛物线 y=x2+2x+6 中 y=0，则有x2+2x+6=0，解得：x1=2，x2=6，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（6，0）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，点 P 的坐标为（n，n2+2n+6）（2n4），直线 AC 过点 A（2，0）、C（4，6），解得：，直线 AC 的解析式为 y=x+2点 P 的坐标为（n，n2+2n+6），点 N 的坐标为（n，n+2）SACP=PN（xCxA）=（n2+2n+6n2）4（2）=（n1）2+，当 n=1 时，SACP取最大值，最大值为，此时点 P 的坐标为（1，）在直线 AC 上方的抛物线上存在一点 P，使得ACP 的面积最大，面积的最大值为，此时点 P 的坐标为（1，）（3）直尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45放置，设直线 CD 的解析式为 y=x+c，点 C（4，6）在直线 CD 上，6=4+c，解得：c=10，直线 CD 的解析式为 y=x+10联立直线 CD 与抛物线解析式成方程组：，解得：，或，点 D 的坐标为（2，8）令直线 CD 的解析式 y=x+10 中 y=0，则 0=x+10，解得：x=10，即点 E 的坐标为（10，0），EF=2，且点 E 在点 F 的左边，点 F 的坐标为（12，0）设点 M 的坐标为（122t，0），则点 N 的坐标为（122t2，0+2），即 N（102t，2）点 N（102t，2）在抛物线 y=x2+2x+6 的图象上，（102t）2+2（102t）+6=2，整理得：t28t+13=0，解得：t1=4，t2=4+当 t 为 4或 4+秒时，可使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形5.（2016四川凉山州8 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，EF 过点 O 且与 BC、AD 分别交于点 E、F试猜想线段 AE、CF 的关系，并说明理由【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】先猜出 AE 与 CF 的关系，然后说明理由即可，由题意可以推出四边形 AECF 是平行四边形，从而可以推出 AE 与 CF 的关系【解答】解：AE 与 CF 的关系是平行且相等理由：在，ABCD 中，OA=OC，AFEC，OAF=OCE，在OAF 和OCE 中，OAFOCE（ASA），AF=CE，又AFCE，四边形 AECF 是平行四边形，AECF 且 AE=CF，即 AE 与 CF 的关系是平行且相等6.（2016广东茂名）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，BAC=DCA，BCA=DAC，在ABC 和CDA 中，ABCCDA（ASA），AB=CD，BC=DA【考点】平行四边形的性质【分析】（1）根据题意容易得出结论；（2）连接 AC，与平行四边形的性质得出 ABCD，ADBC，证出BAC=DCA，BCA=DAC，由 ASA 证明ABCCDA，得出对应边相等即可【解答】（1）已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA；故答案为：BC=DA；（2）证明：连接 AC，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，BAC=DCA，BCA=DAC，在ABC 和CDA 中，ABCCDA（ASA），AB=CD，BC=DA；故答案为：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，BAC=DCA，BCA=DAC，在ABC 和CDA 中，ABCCDA（ASA），AB=CD，BC=DA【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质，证明三角形全等是解决问题的关键7.（2016 年浙江省台州市）年浙江省台州市）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形（1）三等角四边形 ABCD 中，A=B=C，求A 的取值范围；（2）如图，折叠平行四边形纸片 DEBF，使顶点 E，F 分别落在边 BE，BF 上的点 A，C处，折痕分别为 DG，DH求证：四边形 ABCD 是三等角四边形（3）三等角四边形 ABCD 中，A=B=C，若 CB=CD=4，则当 AD 的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 AC 的长【考点】四边形综合题【分析】（1）根据四边形的内角和是 360，确定出A 的范围；（2）由四边形 DEBF 为平行四边形，得到E=F，且E+EBF=180，再根据等角的补角相等，判断出DAB=DCB=ABC，即可；（3）分三种情况分别讨论计算 AB 的长，从而得出当 AD=2 时，AB 最长，最后计算出对角线 AC 的长【解答】解：（1）A=B=C，3A+ADC=360，ADC=3603A0ADC180，03603A180，60A120；（2）证明：四边形 DEBF 为平行四边形，E=F，且E+EBF=180DE=DA，DF=DC，E=DAE=F=DCF，DAE+DAB=180，DCF+DCB=180，E+EBF=180，DAB=DCB=ABC，四边形 ABCD 是三等角四边形（3）当 60A90时，如图 1，过点 D 作 DFAB，DEBC，四边形 BEDF 是平行四边形，DFC=B=DEA，EB=DF，DE=FB，A=B=C，DFC=B=DEA，DAEDCF，AD=DE，DC=DF=4，设 AD=x，AB=y，AE=y4，CF=4x，DAEDCF，y=x2+x+4=（x2）2+5，当 x=2 时，y 的最大值是 5，即：当 AD=2 时，AB 的最大值为 5，当A=90时，三等角四边形是正方形，AD=AB=CD=4，当 90A120时，D 为锐角，如图 2，AE=4AB0，AB4，综上所述，当 AD=2 时，AB 的长最大，最大值是 5；此时，AE=1，如图 3，过点 C 作 CMAB 于 M，DNAB，DA=DE，DNAB，AN=AE=，DAN=CBM，DNA=CMB=90，DANCBM，BM=1，AM=4，CM=，AC=8.（2016 年浙江省温州市）年浙江省温州市）如图，在方格纸中，点 A，B，P 都在格点上请按要求画出以 AB 为边的格点四边形，使 P 在四边形内部（不包括边界上），且 P 到四边形的两个顶点的距离相等（1）在图甲中画出一个ABCD（2）在图乙中画出一个四边形 ABCD，使D=90，且A90（注：图甲、乙在答题纸上）【考点】平行四边形的性质【分析】（1）先以点 P 为圆心、PB 长为半径作圆，会得到 4 个格点，再选取合适格点，根据平行四边形的判定作出平行四边形即可；（2）先以点 P 为圆心、PB 长为半径作圆，会得到 8 个格点，再选取合适格点记作点 C，再以 AC 为直径作圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点 D，即可得【解答】解：（1）如图：（2）如图，9.（2016 年浙江省温州市）年浙江省温州市）如图，E 是ABCD 的边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：ADEFCE（2）若BAF=90，BC=5，EF=3，求 CD 的长【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ADBC，ABCD，证出DAE=F，D=ECF，由 AAS 证明ADEFCE 即可；（2）由全等三角形的性质得出 AE=EF=3，由平行线的性质证出AED=BAF=90，由勾股定理求出 DE，即可得出 CD 的长【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD，DAE=F，D=ECF，E 是ABCD 的边 CD 的中点，DE=CE，在ADE 和FCE 中，ADEFCE（AAS）；（2）解：ADEFCE，AE=EF=3，ABCD，AED=BAF=90，在ABCD 中，AD=BC=5，DE=4，CD=2DE=810（2016上海）已知：如图，O 是ABC 的外接圆，=，点 D 在边 BC 上，AEBC，AE=BD（1）求证：AD=CE；（2）如果点 G 在线段 DC 上（不与点 D 重合），且 AG=AD，求证：四边形 AGCE 是平行四边形【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出B=ACB，再根据全等三角形的判定得ABDCAE，即可得出 AD=CE；（2）连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AHBC，再由垂径定理得 BH=CH，得出 CG 与 AE 平行且相等【解答】证明：（1）在O 中，=，AB=AC，B=ACB，AEBC，EAC=ACB，B=EAC，在ABD 和CAE 中，ABDCAE（SAS），AD=CE；（2）连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H，=，OA 为半径，AHBC，BH=CH，AD=AG，DH=HG，BHDH=CHGH，即 BD=CG，BD=AE，CG=AE，CGAE，四边形 AGCE 是平行四边形【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键11（2016四川巴中）已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 至点 E，使AE+CD=AD连结 CE，求证：CE 平分BCD【考点】平行四边形的性质【分析】由平行四边形的性质得出 ABCD，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质得出E=DCE，由已知条件得出 BE=BC，由等腰三角形的性质得出E=BCE，得出DCE=BCE 即可【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB=CD，AD=BC，E=DCE，AE+CD=AD，BE=BC，E=BCE，DCE=BCE，即 CE 平分BCD12（2016.山东省青岛市）已知：如图，在ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 上的点，且 AE=CF，直线 EF 分别交 BA 的延长线、DC 的延长线于点 G，H，交 BD 于点 0（1）求证：ABECDF；（2）连接 DG，若 DG=BG，则四边形 BEDF 是什幺特殊四边形？请说明理由【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AB=CD，BAE=DCF，由 SAS 证明ABECDF 即可；（2）由平行四边形的性质得出 ADBC，AD=BC，证出 DE=BF，得出四边形 BEDF 是平行四边形，得出 OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出 EFBD，即可得出四边形BEDF 是菱形【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，BAE=DCF，在ABE 和CDF 中，ABECDF（SAS）；（2）解：四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC，AE=CF，DE=BF，四边形 BEDF 是平行四边形，OB=OD，DG=BG，EFBD，四边形 BEDF 是菱形13.（2016江苏南京）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，延长CE 到点 F，使.(1)求证：(2)用直尺和圆规在 AD 上作出一点 P，使BPCCDP（保留作图痕迹，不写作法）。考点考点：平行四边形的性质，两直线平行的性质，三角形的内角和，尺规作图。解析解析：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC CEDBCF CEDDCED180，BCFFBCF180，D180CEDDCE，F180BCFFBC又DCEFBC，DF 4 分（2）图中 P 就是所求作的点 7 分14（2016江苏苏州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点E（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若 AC=8，BD=6，求 ADE 的周长【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABCD，ACBD，AECD，AOB=90，DEBD，即 EDB=90，AOB=EDB，DEAC，四边形 ACDE 是平行四边形；（2）解：四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，AO=4，DO=3，AD=CD=5，四边形 ACDE 是平行四边形，AE=CD=5，DE=AC=8，ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=1815（2016江苏省宿迁）如图，已知 BD 是ABC