导数知识点归纳和练习.pdf

一、相关概念一、相关概念1.1.导数的概念：导数的概念：f（x）=。00limxxy0limxxxfxxf)()(00注意：注意：（1 1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，00 xxyxy就说函数在点 x 处不可导，或说无导数。0（2 2）是自变量 x 在 x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。x00 xy2 2导数的几何意义导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x，f（x）处的切000线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x，f（x）处的切线的斜率是 f（x）。000相应地，切线方程为 yy=f/（x）（xx）。0003.3.导数的物理意义导数的物理意义若物体运动的规律是 s=s（t），那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v=（t）。s若物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t），则该物体在时刻 t 的加速度 a=v（t）。二、导数的运算二、导数的运算1 1基本函数的导数公式基本函数的导数公式:（C 为常数）0;C 1;nnxnx;(sin)cosxx;(cos)sinxx ();xxee;()lnxxaaa 1ln xx;.1l glogaaoxex2 2导数的运算法则导数的运算法则法则法则 1 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)vuvu法则法则 2 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv法则法则 3 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。vu2vuvvu3.3.复合函数的导数复合函数的导数形如 y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：x()分解求导回代。法则：y|=y|u|或者.XUX()()*()fxfx三、导数的应用三、导数的应用1.1.函数的单调性与导数函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果如果，则，则在此区间上为在此区间上为)(xfy f)(x0)(xf增函数；如果增函数；如果，则，则在此区间上为减函数。在此区间上为减函数。f0)(x)(xf（2）如果在某区间内恒有恒有，则为常数为常数。f0)(x)(xf2 2极点与极值：极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3 3最值：最值：在区间a，b上连续的函数 f在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内)(x连续函数 f（x）不一定有最大值，例如。3(),(1,1)f xxx（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分四、定积分1.概念概念设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb 把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点 i（i1，2，n）作和式Innif1(i)x（其中x 为小区间长度），把 n即x0 时，和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作：badxxf)(，即(i)badxxf)(ninf1limx。这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：C；dxxm111mxmC（mQ，m1）；dx0 x1dxlnxC；dxexC；C；sinxC；xedxaxaaxlnxdxcoscosxC（表中 C 均为常数）。xdxsin2.2.定积分的性质定积分的性质（k 为常数）；babadxxfkdxxkf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中 acb)。3.3.定积分求曲边梯形面积定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa，xb（ab），x 轴及一条曲线 yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。badxxfS)(如果图形由曲线 y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设 f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积 SS 曲边梯形 AMNBS 曲边梯形 DMNC。babadxxfdxxf)()(214.4.牛顿牛顿布莱尼茨公式布莱尼茨公式如果 f(x)是区间a,b上的连续函数,并且 F(x)=f(x),则baf x dxF bF a()()()【练习题练习题】题型题型 1：导数的基本运算：导数的基本运算【例 1】（1）求的导数；)11(32xxxxy（2）求的导数；)11)(1(xxy（3）求的导数；2cos2sinxxxy（4）求 y=的导数；xxsin2（5）求 y的导数。xxxxx9532解析：（1）,2311xxy.2332xxy（2）先化简,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy（3）先使用三角公式进行化简.xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy（4）y=；xxxxx222sin)(sin*sin)(xxxxx22sincossin2（5）yx233x219xy*（x）x）*（）2321(x2321x2123x。1)11(292xx题型题型 2：导数的几何意义：导数的几何意义【例 2】已经曲线 C：y=x3x+2 和点 A(1,2)。（1）求在点 A 处的切线方程？（2）求过点A 的切线方程？（3）若曲线上一点 Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x1，则 Q点坐标为 _,切线方程为_思考：导数不存在时，切线方程为什么？【例 3】（06 安徽卷）若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（）A B C D430 xy450 xy430 xy430 xy【例 4】（06 全国 II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为21yxx（）（A）（B）（C）（D）220 xy330 xy10 xy 10 xy 解析：（1）与直线垂直的直线 为，即在某一点的480 xyl40 xym4yx导数为 4，而，所以在(1，1)处导数为 4，此点的切线为，34yx 4yx430 xy故选 A；（2），设切点坐标为，则切线的斜率为 2，且，21yx 00(,)xy01x 20001yxx于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得200001(21)()yxxxxx 0 或4，代入可验正 D 正确，选 D。0 x题型题型 3：借助导数处理单调性、极值和最值：借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】（06 江西卷）对于 R 上可导的任意函数 f（x），若满足（x1）0，则必fx（）有（）Af（0）f（2）2f（1）B.f（0）f（2）2f（1）Cf（0）f（2）2f（1）D.f（0）f（2）2f（1）【例 6】（06 天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图)(xf),(ba)(xf),(ba象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）)(xf),(baA1 个 B2 个 C3 个 D 4 个【例 7】（06 全国卷 I）已知函数。（）设，讨论的单 11axxf xex0a yf x调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。0,1x 1f x a解析：（1）依题意，当 x1 时，f（x）0，函数 f（x）在（1，）上是增函数；当 x1 时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故 f（x）当 x1 时取得最小值，即有 f（0）f（1），f（2）f（1），故选 C；（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，)(xf),(ba)(xf),(ba函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由)(xf),(ba负到正的点，只有 1 个，选 A。（3）：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对 f(x)求导数得 f(x)=eax。ax2+2a(1x)2()当 a=2 时,f(x)=e2x,f(x)在(,0),(0,1)和(1,+)均大于 0,所以 f(x)在2x2(1x)2(,1),(1,+).为增函数；()当 0a0,f(x)在(,1),(1,+)为增函数.；()当 a2 时,01,令 f(x)=0,解得 x1=,x2=；a2aa2aa2a当 x 变化时,f(x)和 f(x)的变化情况如下表:x(,)a2a(,)a2aa2a(,1)a2a(1,+)f(x)f(x)f(x)在(,),(,1),(1,+)为增函数,f(x)在(,)为减函数。a2aa2aa2aa2a()()当 0f(0)=1；()当 a2 时,取 x0=(0,1),则由()知 f(x0)1 且 eax1，1+x1x得：f(x)=eax 1.综上当且仅当 a(,2时,对任意 x(0,1)恒有 f(x)1+x1x1+x1x1。【例 8】（06 浙江卷）在区间上的最大值是（）32()32f xxx1,1(A)2 (B)0 (C)2 (D)4【例 9】（06 山东卷）设函数 f(x)=（）求 f(x)的单调区3223(1)1,1.xaxa其中间；（）讨论 f(x)的极值。解析：（1），令可得 x0 或 2（2 舍去），当2()363(2)fxxxx x()0fx1x0 时，0，当 0 x1 时，0，所以当 x0 时，f（x）取得最大值()fx()fx为 2。选 C；（2）由已知得，令，解得 。()6(1)fxx xa()0fx 120,1xxa（）当时，在上单调递增；1a 2()6fxx()f x(,)当时，随的变化情况如下表：1a()61fxx xa(),()fxf xxx(,0)0(0,1)a1a(1,)a()fx+00()f xA极大值A极小值A从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在()f x(,0)(0,1)a上单调递增。(1,)a（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在1a()f x1a()f x处取得极大值，在处取得极小值。0 x 1xa31(1)a