导数研究函数零点问题.doc

利用导数研究方程的根
函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
1、已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.
.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.

因此,

所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)
2、已知函数(,为自然对数的底数).
(1)求函数的极值;
(2)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
(1),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值.
(2)当时,.
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
(*)
在上没有实数解.
①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.
②当时,方程(*)化为.
令,则有.
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:

当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为.
所以当时,方程(*)无实数解,
解得的取值范围是.
综上,得的最大值为.
3、已知函数，，且在区间上为增函数．
（1） 求实数的取值范围；
（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，

令得或由（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：

—

↗
极大值
↘
极小值
↗
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即 ∴，解得
综上，所求的取值范围为
4、 已知函数是实数集R上的奇函数，函数是区间[一1，1]上的减函数．
(I)求a的值；
(II) 若在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围．
(Ⅲ) 讨论关于x的方程的根的个数。
解：（I）是奇函数，则恒成立. （II）又在[－1，1]上单调递减，
令
则.
（III）由（I）知
令，，
当上为增函数；
上为减函数，
当时，而，
、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解. ②当时，方程有一个根.
③当时，方程有两个根.
5、.已知函数且在上的最大值为，
（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
（I）在上恒成立，且能取到等号
在上恒成立，且能取到等号

在上单调递增

（II）
①当时，在上单调递增
在上有唯一零点
②当时，当上单调递减
存在唯一使

得：在上单调递增，上单调递减

得：时，，
时，，在上有唯一零点
由①②得：函数在内有两个零点。
6、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：
（1）的解析式；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
解：（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：，∴
（2）设切点Q，

过

令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：；因此所求实数的范围为：

7、已知（为常数）在时取得一个极值，
（1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数；
（2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围．
解：（1）∵函数在时取得一个极值，且，
， ．
或时，或时，时，
， 在上都是增函数，在上是减函数． ∴使在区间上是单调函数的的取值范围是
（2）由（1）知．设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为：． 将点代人上述方程，整理得：．
∵经过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实根． 设，则
，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故 得：．
其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。
二．培训的及要求培训目的
安全生产目标责任书
为了进一步落实安全生产责任制，做到“责、权、利”相结合，根据我公司2015年度安全生产目标的内容，现与财务部签订如下安全生产目标：
一、目标值：
1、全年人身死亡事故为零，重伤事故为零，轻伤人数为零。
2、现金安全保管，不发生盗窃事故。
3、每月足额提取安全生产费用，保障安全生产投入资金的到位。
4、安全培训合格率为100%。
二、本单位安全工作上必须做到以下内容：
1、对本单位的安全生产负直接领导责任，必须模范遵守公司的各项安全管理制度，不发布与公司安全管理制度相抵触的指令，严格履行本人的安全职责，确保安全责任制在本单位全面落实，并全力支持安全工作。
2、保证公司各项安全管理制度和管理办法在本单位内全面实施，并自觉接受公司安全部门的监督和管理。
3、在确保安全的前提下组织生产，始终把安全工作放在首位，当“安全与交货期、质量”发生矛盾时，坚持安全第一的原则。
4、参加生产碰头会时，首先汇报本单位的安全生产情况和安全问题落实情况；在安排本单位生产任务时，必须安排安全工作内容，并写入记录。
5、在公司及政府的安全检查中杜绝各类违章现象。
6、组织本部门积极参加安全检查，做到有检查、有整改，记录全。
7、以身作则，不违章指挥、不违章操作。对发现的各类违章现象负有查禁的责任，同时要予以查处。
8、虚心接受员工提出的问题，杜绝不接受或盲目指挥；
9、发生事故，应立即报告主管领导，按照“四不放过”的原则召开事故分析会，提出整改措施和对责任者的处理意见，并填写事故登记表，严禁隐瞒不报或降低对责任者的处罚标准。
10、必须按规定对单位员工进行培训和新员工上岗教育；
11、严格执行公司安全生产十六项禁令，保证本单位所有人员不违章作业。
三、 安全奖惩：
1、对于全年实现安全目标的按照公司生产现场管理规定和工作说明书进行考核奖励；对于未实现安全目标的按照公司规定进行处罚。
2、每月接受主管领导指派人员对安全生产责任状的落

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