相似三角形总复习模型总结.doc

三角形相似总复习
第一部分 相似三角形知识要点大全
知识点1.．相似图形的含义
把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）
解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．
（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．
（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．
例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？
分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．
解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．
例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．
解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．
知识点2．比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．
（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项．
（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。
(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．
例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求．
分析：求即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．
例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的长度．
分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．
知识点3．相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．
（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．
例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？
分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．
知识点4．相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．
解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；
（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；
（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；
（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；
（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．
注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．
例6．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D，E分别是AB，AC的中点吗？

注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别．
解：因为△ADE∽△ABC，所以，因为，
所以，所以D，E分别是AB，AC的中点．
知识点5．相似三角的判定方法
（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．
（3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．
例7．如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举．

分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC

条件一：∠1=∠B；条件二：∠2=∠ACB；条件三：，即AC2=AD·AB．

知识点6．相似三角形的性质
（1） 对应角相等，对应边的比相等；
（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
（3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
例8．如图，已知△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7
（1） 求DE、AE的长；
（2） 你还能发现哪些线段成比例．

分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即．

例9．已知△ABC∽△A1B1C1，，=，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2．

求（1）△A1B1C1的周长；（2）△A1B1C1的面积．
分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解．
易求出△A1B1C1的周长为30cm; △A1B1C1的面积90cm2
第二部分 相似三角形模型分析大全

一、 相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）
（平行） （不平行）

（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行） （不平行）

（三）母子型

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

（六） 双垂型：

二、 相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展

共享性

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第三部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：．

例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．
求证：（1）； （2）．A
C
D
E
B

例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
求证：．

相关练习：
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB

5． A
C
B
P
D
E
（第25题图）
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。

共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）．

一线三等角型相似三角形
C
A
D
B
E
F

例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE

例2：（1）在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.
①若点在线段上（如图），且，求线段的长；
②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A
B
C
备用图
A
B
C
备用图
A
B
C
P
Q

A
B
C
D

（2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.
A
B
C
D

A
B
C
D

例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．

C
D
A
B
P

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．

例4：如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．
（1）求证：△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长．

相关练习：
1、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
A
B
C
D
E

(1) 求证：△ABD∽△DCE；
(2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；
(3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当时，求BP的长．
E

D

C

B

A

（备用图）

E

D

C

B

A

P

（第25题图）

4、如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，
（1）写出图中与相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（4）若，试求的面积．

备用图

一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例2、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。

【练习2】
在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时，求证：
(2)、当，求的值
（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域

其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。
二．培训的及要求培训目的
安全生产目标责任书
为了进一步落实安全生产责任制，做到“责、权、利”相结合，根据我公司2015年度安全生产目标的内容，现与财务部签订如下安全生产目标：
一、目标值：
1、全年人身死亡事故为零，重伤事故为零，轻伤人数为零。
2、现金安全保管，不发生盗窃事故。
3、每月足额提取安全生产费用，保障安全生产投入资金的到位。
4、安全培训合格率为100%。
二、本单位安全工作上必须做到以下内容：
1、对本单位的安全生产负直接领导责任，必须模范遵守公司的各项安全管理制度，不发布与公司安全管理制度相抵触的指令，严格履行本人的安全职责，确保安全责任制在本单位全面落实，并全力支持安全工作。
2、保证公司各项安全管理制度和管理办法在本单位内全面实施，并自觉接受公司安全部门的监督和管理。
3、在确保安全的前提下组织生产，始终把安全工作放在首位，当“安全与交货期、质量”发生矛盾时，坚持安全第一的原则。
4、参加生产碰头会时，首先汇报本单位的安全生产情况和安全问题落实情况；在安排本单位生产任务时，必须安排安全工作内容，并写入记录。
5、在公司及政府的安全检查中杜绝各类违章现象。
6、组织本部门积极参加安全检查，做到有检查、有整改，记录全。
7、以身作则，不违章指挥、不违章操作。对发现的各类违章现象负有查禁的责任，同时要予以查处。
8、虚心接受员工提出的问题，杜绝不接受或盲目指挥；
9、发生事故，应立即报告主管领导，按照“四不放过”的原则召开事故分析会，提出整改措施和对责任者的处理意见，并填写事故登记表，严禁隐瞒不报或降低对责任者的处罚标准。
10、必须按规定对单位员工进行培训和新员工上岗教育；
11、严格执行公司安全生产十六项禁令，保证本单位所有人员不违章作业。
三、 安全奖惩：
1、对于全年实现安全目标的按照公司生产现场管理规定和工作说明书进行考核奖励；对于未实现安全目标的按照公司规定进行处罚。
2、每月接受主管领导指派人员对安全生产责任状的落

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