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梯形、中位线

【知识概要】
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似．
通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：
1．平移腰：过一顶点作一腰的平行线；
2．平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；
3．过底的顶点作另一底的垂线．
熟悉以下基本图形、基本结论

【课堂练习】
1. ( “希望杯”邀请赛试题) 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是 ．
思路点拨 平移腰，构造等腰三角形、平行四边形．
注 平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题设条件集中到同一三角形中来．

2. (全国初中数学联赛试题)已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
思路点拨 给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底．
注 给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角形的问题讨论，请读者思考，设为梯形的上、下底，c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件?

3.(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC
(2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由．

4. 如图，已知梯形ABCD中，BC∥AD，AD=3，BC=6，高=2，P是BC边上的一个动点，直线过P点，且m∥DC交梯形另外一边于E，若BP=x，梯形位于直线m左侧的图形面积为y
(1)当3<x≤6时，求y与x之间的关系式；
(2)当0≤x≤3时，求y与x之间的关系式；
(3)若梯形ABCD的面积为S，当y=时，求x的值．

5. 如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠AOD=120°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点．
(1)判断△SPQ的形状并证明你的结论；
(2)若AB=5，CD=3，求△PQS的面积；
（3），求的值．

6.如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

7．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD，
(1)求BC、AD的长度．
(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以lcm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t 的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

8.如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

　　分析 由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．
　　解 过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即

　　又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，
　　由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，　

从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中，

9.如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．

　　分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．
　　证 连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知∠C=45°，　从而∠NDC=45°．
　　在△NDC中， ∠DNC=90°(=∠DNB)，
　　所以ABND是矩形，所以AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．
　　△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又AD=BN，
　　所以 AD=BF．
10.如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．

　　分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F，(或BC)．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以
AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，
　　所以AG=8．这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．
　　解 取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD(或BC)，

　　过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知
　　AG2=AB2-BG2　=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82，
　　所以 AG=8，　从而 AH=GH=4，所以　S△ABE=S△AEF+S△BEF

11. 如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．

　　(1)求证：ADCF是等腰梯形；
　　(2)若△ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．
　　分析 欲证ADCF是等腰梯形．归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．
　　解 (1)因为AB∥DF，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以EA=ED．
　　又 AC=DF，所以 EC=EF．
　　所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD∥CF．不难证明△ACD≌△DFA(SAS)，所以 AF=DC．
若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．
　　综上所述，ADCF是等腰梯形．
　　(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF． ①
　　由于△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)， ②
　　AF=3(厘米)， ③
　　FC=AC-3， ④
　　将②，③，④代入①
四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米)．

12.如图2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角
∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．

　　分析 首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可．注意到△OAB与△OCD均是等边三角形，P，R分别是它们边上的中点，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半．问题获解．
　　证 因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC与BD成60°角，所以，△ODC与△OAB均为正三角形．连接BP，CR，则BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以
　　又RP是△OAD的中位线，所以

　　因为 AD=BC， ③
　由①，②，③得PQ=QR=RP，即△PQR是正三角形．
　　说明 本题证明引人注目之处有二：
　　(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA上的中点P，可带来BP⊥OA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质．
　　(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀使△PQR的三边相等．　　
13．如图2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．　

14.如图，ABC中，E,F分别是AB,BC的中点，M,N是AC的三等分点，EM与FN交于D,求证：四边形ABCD是平行四边形

15.如图所示，在ABC中，BD,CE为两条角平分线，M是DE中点，过点M作MNBC于N，DHAB于点H,ELAC于L，求证，EL+DH=2MN

16.如图所示，P为等腰ABC底边BC上一点，过点P作PFBC，交AB于点E,交CA的延长线与点F,ADBC于点D,求证PE+PF=2AD

17.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是对角线BD,AC的中点，直线EF交AB于点P,交CD于点Q,求证：

18.如图所示，P为ABC内一点，且PEAB,PFAC,D是BC边上中点，若求证：DE=DF

19.如图所示，D为ABC边的中点，ABE与ACF为正三角形，M,N分别为BE,CF的中点，求证:DM=DN

19．已知在矩形ABCD中，AD>AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N
(1)求证：S梯形ABMN＝S梯形CDNM
(2)当M、N满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合(只写出满足的条件，不要求证明)；
(3)在(2)的条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的，求的值．

【课后作业】

1．在四边形ABCD中，AD=BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，则四边形ABCD的面积为 ．
2．如图，有两棵树，一棵树高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
3．如图，在梯形ABCD中，AD=BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC= ，梯形ABCD的面积为 ．

4．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为( )
A． B．2S C． D．
5．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，则AB等于( )
A． B． C．a+b D．a+2b

6．四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4㎝，平行四边形ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为( )
A．49cm B．43cm C．41cm D．46cm
7．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则作对角线所用的竹条至少需( )
A．30m B．30cm C．60㎝ D．60m

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC＝30°，求证：AC=MN．

9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上一动点，PE⊥AB，PF⊥CD，问PE+PF的值是否为一定值?若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．

10．如图，梯形ABCD中，AD=BC，BC=3AD，E为腰AB上一点．
(1)若CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；
(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1，S2，，若2 S1=3 S2，求．

11．如图，ABQR是直角梯形，∠A=∠B=90°，P在AB上，且RP=PQ=a，RA＝，QB=，∠RPA=75°，∠QPB=45°，则AB= ．
12．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，BC＝BD，AD=AB＝4cm，∠A=120，则梯形ABCD的面积为 ．

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=l0cm，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为 ．
14．梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，则此梯形面积为 ．
15．用4条线段a=14，b=13，c=9， d=7作为4条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为( )
A．13．5 B．11．5 C． 11 D．10．5
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，E、M、F、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，已知BC=7，MN=3，则EF的长为( )
A． 4 B． C．5 D．6

17．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题：
①如果AB+DC=BC∠BEC=90°；
②如果∠BEC＝90°AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分线∠BEC=90°，
④如果AB+DC=BCCE是∠DCB的平分线，其中真命题的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．在直角梯形ABCD中，底AB=13，CD=8，AD⊥AB并且AD=12，则A到BC的距离为( )
A．12 B．13 C． D．10．5